求解这道定积分几何题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-14 10:01 标签： 定积分的几何意义例题


定积分的几何应用一般用于求平面区域的面积、空间立体的体积和曲线段的长度。它们的求解都可以基于元素法(或称为微元法)，即“分割取近似，作和求极限”来构建定积分模型。

一、微元法(元素法)构建积分模型的步骤

1、确定所求量可用定积分模型计算

(1) 所求量具有可加性；

(2) 可由一个区间及定义在该区间上的一元函数确定.

将所求量 映射到一个变量区间 . 在直角坐标系下可以将量投影到一直线，并建立数轴、确定变量(如： 轴、变量 ).特别注意，能画图的一定画图!

在 内任取一小区间 , 求其对应部分量 的近似值，一般直接用 处确定所求量的属性代替整个小区间上的属性，得到积分微元

【注】积分微元表达式必须为变量微元 乘以变量 的函数表达式.

在 分布的区间 上求和，即以近似部分量作为被积表达式在区间 上求定积分.

最后计算定积分即得所求量 .

二、平面区域面积的积分

直接利用定积分方法计算平面区域的面积基于简单类型的平面区域面积的计算，也具有相对固定的一般思路，参考步骤如下.

1、直角坐标系下面积计算的一般步骤

第一步：写出围成区域的各条边界曲线的方程。

第二步：将区域分割成为简单的X-型区域（在所取的x变量的取值范围内做垂直于x轴的直线穿过区域，上下边界的交点分别在只需要用一个初等函数表达式描述的曲线上）或简单Y-型区域（用垂直于y轴的直线穿过区域，左右边界的交点分别在只需要用一个初等函数表达式描述的曲线上）的并，相应图形如下：


即区域夹在平行于y轴的两直线之间，并可由上下两条边界曲线确定. 用不等式可以描述为


即区域夹在平行于x轴的两直线之间，并可由左右两条边界曲线确定.用不等式可以描述为

对于X-型区域（在x可能的取值范围内做垂直于x轴的直线穿过区域，交点不多于两个）与Y-型区域(在y可能的取值范围内做垂直于y轴的直线穿过区域，交点不多于两个)，可以通过垂直于坐标轴的直线将其分割成简单类型区域的并。而对于一般的区域，则可以同时借助于垂直于x与垂直于y轴的直线分割成简单区域的并，比如下图.


第三步：对于简单的X-型区域与简单Y-型区域，基于曲边梯形面积的计算公式与定积分的几何意义，分别以x为积分变量、以y为积分变量，有如下的面积计算公式：

其中 分别表示上下边界曲线的函数表达式.

其中 分别表示右左边界曲线的函数表达式.

第四步：分别计算所有简单区域类型的面积，然后基于面积的可加性，将所有面积计算结果求和即得最终的面积计算公式。

【注】计算面积采取尽可能少分割的方式计算，比如有的区域虽然不是简单X-型区域，但是可能为简单的Y-型区域，这个时候就可以考虑不对区域进行分割成简单X-型区域来计算，而直接采用简单Y-型区域的计算公式。

2、曲边扇形面积的计算

在极坐标系下的曲边扇形是指由曲线


曲边扇形的面积计算公式为

三、立体体积的定积分计算方法

用定积分计算空间立体的体积一般仅仅适用于已知截面面积的立体体积的计算，对于这样的问题的类型及计算步骤可以概括如下：

1、已知截面面积立体体积的计算

第一步：确定一条直线作为坐标轴，直线选取的原则是空间立体可以夹在垂直于该直线（数轴）两个平面之间。在设定直线上的原点和方向构建数轴以后，定积分的积分限就为两个垂直平面所夹的区间[a,b]。如果不考虑坐标轴或坐标系，则直接确定立体分布的一个变量变化的区间[a,b].

第二步：在区间内任取x，做垂直于数轴的平面截立体区域得到一个截面，对于截面的面积计算不管x的位置在区间内的任何位置，都可以描述成一个统一的函数表达式A(x)，则立体的体积即为

【注1】对于不具有统一表达式的立体，则可以在区间内的适当位置做垂直于数轴的平面对立体区域进行分割，将其分割成若干个可以用统一表达式描述截面面积的立体区域，然后分别使用上面的公式计算相应立体的体积，最后利用体积的可加性，对求得的各体积求和即得总的立体体积。比如通过大球面连接而成的半球体和圆柱体构成的立体体积的计算！

【注2】数轴选择的不同可能有不同的积分模型。一旦确定变量及区间以后，通过对区间的分割，可能会产生不同的立体体积分割方式，也会产生不同截面，从而对应不同的定积分模型。具体可以参见课件中例题（立体体积的例1、例5、例7）。

【注3】如果不建立数轴，则可以根据确定的区间所对应的实际意义，同样通过去变量微元分割的立体方式计算近似体积来获得积分模型，比如极坐标计算方法(极角范围及分割方式)和例题中环体的计算结果可能对应的积分模型(练习3，可以通过圆环的中心线的截面来近似计算环体的体积).

以坐标轴为旋转轴的旋转体体积的计算公式：

3、柱壳法求旋转体体积

对于曲线段长度的计算的思路与方法比较固定，基于弧微分计算公式，可以参考如下步骤来完成：

第一步：构建曲线段的方程描述形式，形式有一元函数表达式，参数方程和极坐标方程。对于极坐标方程可以转换为参数方程来计算，即有

对于一元函数也可以转换为参数方程描述形式，即

第二步：确定参变量的取值范围，即积分区间t∈[a,b].

第三步：基于参数方程的弧微分计算公式，写出[t,t+d t]范围内的弧长近似值，即

第四步：求和取极限即得曲线段长度（弧长）s的积分模型，即

第五步：利用定积分的计算方法计算定积分得到曲线段的长度.

基于数学软件的不定积分、定积分的计算与近似数值计算方法，以及计算结果正确性、有效性的验证，可以参见如下的两个推文：



高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下在的在线课堂专题讲座选项了解！

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单高数线代下的高等数学概率其他选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

●高等数学、线性代数、概率统计等课程完整推送内容参见公众号底部菜单高数线代下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！

●历届考研真题及详细参考解答浏览考研帮助菜单中考研指南真题练习选项

●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部竞赛实验下竞赛试题与通知选项

●全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下的在线课堂专题讲座选项了解！

特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。

我要回帖

更多关于 定积分的几何意义例题 的文章

 

随机推荐