如何证明函数在某点可导连续且可导？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-25 10:13 标签： 证明函数在某点可导 
看书怎么样都不太明白它为什么这样做
 
 
高等数学中的函数才能谈到连续性与可导性
先提下基本初等函数：常值函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数
A基本初等函数复合而成的复合函数无论多么复杂在它定义域上连续并可导！！
【1】比如要你证明该函数在x=a处连续
1lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f(x)
2lim(x趋近于a)=limf(a)(此处暗含函数本身必须在x=a处有定义否则直接判定他不连续，点都没有还如何连续)
或者对于一元函数来讲可导必连续可以先判定函数本身可导那么他一定连续
牢记：对于初等函数与初等函数的复合函数而言在定义域上既可导又连续
【2】比如你要证明y=f(x)在x=a处可导
你先假设可导那么有一个导函数y'=f'(x)
判定导函数导函数y'=f'(x)是否可导可按上述方法一样的
1lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f'(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f'(x)
满足上述1即可此处注意不需要导函数在x=a处有定义可以说比连续的判断还要简单。
B如果函数本身不是基本初等函数或其复合而成那么就需要根据定义来同样简单。

　　连续是可导的必要不充分条件，函数可导的充要条件是：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。连续的函数不一定可导，可导的函数一定连续。如果函数在区间内存在“折点”，(如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。

　　同样的道理，“函数在闭区间可导”是不可能的。因为区间的左端点没有左导数，右端点没有右导数，所以函数最多只能在开区间可导。在数学的理论中，连续属于函数的一种属性。连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

　　如果输入值的某种微小的变化，会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。函数在该点的左右导数都存在并且相等，也不能证明这个点的导数存在，只有左右导数都存在并且相等，才能证明该点可导，因此连续是可导的必要不充分条件。

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