进入无穷级数章节，我们研究的重点是级数的敛散性问题，更多的是对以前学过的求极限的知识的运用。

第一部分只会涉及其中的数项级数，

根据每一项的特征，级数又分为了数项级数和函数项级数。

首先介绍的是数项级数。

这便是级数敛散性的定义，也是我们判断级数敛散性的第一个手段——求出部分和（前n项和），判断这个部分和是否有极限。

利用等比数列前n项和公式，但是要注意公比为1、-1的情况需要单独考虑。

虽然计算部分和的极限来判断级数是否收敛这种方法很直接、易懂，但是很多情况下我们很难求出部分和，更不用说求出其极限了。因此，判断级数的敛散性，我们需要用更加方便的判断方法，在后面我们会陆续学到。

 收敛级数的和、差均收敛；

收敛级数与发散级数的和、差必定发散；

发散级数的和、差的敛散性不确定。

 这个性质启发我们，有时候我们可以忽略无穷级数的部分有限项，仅考虑剩下的项，此时敛散性不变。

4. 收敛级数可以任意加括号（而不改变收敛性），发散级数可以任意去括号（而不改变发散性）

如：考虑通项为的级数，发散级数不可以任意加括号，可能会改变敛散性。

 既然是级数收敛的必要条件，那么我们在判断一个级数是否收敛的时候，最开始就应该看看这个条件是否成立，一旦不成立，级数一定发散。

首先判断n趋向于正无穷大时，极限是否为零。

满足级数和式的每一项都是非负的实数的级数，是正项级数。

这里介绍一个简单的定理，是针对正项级数而言的：

正项级数收敛  正项级数的部分和数列有上界

考虑正项级数部分和的是否有界。用到一个重要不等式  将分式转化为对数式，再根据对数运算法则处理。

知识点1：正项级数敛散性的判定

对于正项级数，我们有五种方法，是

• 比值判别法（达朗贝尔判别法）
• 根值判别法（柯西判别法）

在正式介绍这三种方法之前，我们首先需要记住一下可以下面两个级数的敛散性，以此方便后面的解题。

解读：要想使用比较判别法，就最好将一个未知的正项级数放大为一个收敛的级数，或者缩小为一个发散的级数。这两种情况下，比较法生效。 

使用关键：会适当地放缩

比较法需要我们牢记等比级数、p级数这两把标尺，即它们的敛散性情况，这样我们才可以明确待求敛散性的级数该怎么操作、敛散性如何。 

（1）形式和调和级数有点像，估计是发散的，就将其缩小，即放大分母，-1去掉即可。

（2）向等比级数转化，估计是收敛的，就将其放大，即减小分母，1去掉即可。

一般地，我们需要首先预判一下这个级数的敛散性，如果它可能收敛，就将它放大，反之缩小，最后的放缩结果最好是等比级数或者p级数这样的“标尺”，方便我们判断。

注意到通项分母比分子次数更高，它有可能收敛；可以向p级数放大转化，放大分子，减小分母，将所有的常数项要么缩小为0，要么放大为n，即可得到p级数。

当做一个结论记忆即可，有时候可以直接用。 

解读：比阶判别法是比较判别法的极限形式，理解为同阶的级数敛散性相同。

使用关键：可能涉及等价无穷小的知识，与极限的运算紧密关联

由于比阶法涉及极限问题，以及同阶之类的情况，我们需要回忆极限一章学过的一些结论，包括重要极限、洛必达法则等。

我们知道  （也可以当即验证）

下面给出两个例子，是想具体地展示我们怎么选取级数来用比阶法，以及整个思考过程

给出的待求敛散性级数的通项如果是分式，且分式仅含有n的某次幂的形式，那么比阶法很适用，因为我们要比的级数就是1/n 的某次幂（p级数），很容易判断出敛散性。

（2） 分子为n的零次幂，分母（最高）为n的3次幂，我们就选取的p级数通项就是 （它是收敛的）,

两者同阶，敛散性一致，均收敛。

（3）分子是1/2次的，分母是1次的，我们就选取的p级数通项是（它是发散的），

两者同阶，敛散性一致，均发散。

比值判别法（达朗贝尔判别法）

解读：比值判别法操作起来很直接，它不需要其他的级数作为判定标尺，使用本身即可判定。它和后面的根值法将会是判定正项级数敛散性的首选方法。

首选比值法，计算一个极限即可。 

关于上面用到的重要极限，有一点说明：

其实e是它的一个上限，下面这个不等关系很重要。

判断下列级数的敛散性。

根值判别法（柯西判别法）

解读：当级数的通项中有n次幂时，根值判别法很适用。

注意：对于比值判别法和根值判别法，当算出来的极限值为1时，此时比值法、根值法失灵，需要更换方法了。 

由判断级数的敛散性转化为判断一个广义积分的敛散性。

 这也是一个结论性的级数，其敛散性可以记下来。

以上的这五种判别方法，都是针对正项级数才能使用的方法（负项级数加上负号转化为正项级数也可以使用），在不清楚级数是否是正项级数的情况下，不能贸然使用。

判断正项级数敛散性的大致步骤：

1. 首先判断通项在n趋向于无穷大时极限是否为0（级数收敛的必要条件）
2. 然后选用比较法、比阶法；
3. 用定义判断（求部分和）。 

        既有正项、又有负项的级数，称为任意项级数。为了能够将研究任意项级数的问题向研究正项级数的问题转化，我们需要对任意项级数作出一些处理。

• 绝对收敛与条件收敛 

我们把任意项级数中正项和负项分别抽离组成新的正向级数（负项都添加负号即可），分别称为正部级数和负部级数：

证明方法略（用到了比较法，它们都是正项级数）

        注意这是判断级数收敛的充分条件，也就是说一个级数收敛，它也可能并不绝对收敛（此时它就是我们所说的条件收敛），一般来说我们并不能这样判断：

        3. 但是也有例外情况，如果我们使用了比值法或者根值法判断出来原级数并不绝对收敛，那么它时发散的。即

正项与负项相间的级数，为交错级数，它也是一种比较特殊的级数，形如：

知识点2：莱布尼茨判别法

 莱布尼茨判别法专用于判定交错级数的敛散性，注意两个使用条件

判断下面的级数的敛散性。

它是一个交错级数，并且满足两个使用条件，所以由莱布尼兹判别法，它收敛。 

至此，我们已经学习了正项级数审敛法、任意项级数的绝对收敛和条件收敛、交错级数的莱布尼茨判别法，已经初步具备了判断任意一个级数敛散性的能力。而题目的考查往往也是比较综合性的，很多时候需要我们判断完级数收敛之后，仍需要我们判断它属于何种收敛（绝对收敛、条件收敛）。

比如，我们首先用莱布尼茨判别法判断出来一个交错级数是收敛的（但是不知道是否是绝对收敛），这个时候我们还需要再判断通项的绝对值组成的正项级数的敛散性即可（它若收敛，即为绝对收敛，否则为条件收敛）。

知识点3 ：综合判断级数敛散性

首先，我们发现题目给出的级数的形式很像交错级数，但是这里并不是，因为分母的符号会变化，并不是恒大于零（或者恒小于零也可），不过好在它是一个等差数列，形如

可以看出，一定有这样的特点：从数列的某一项开始，往后每一项的符号不会变化， 那么我们就可以忽略前面这有限项，仅考虑后面的级数（级数敛散性不变）

 所以原级数收敛，现在还需要判断它是否绝对收敛：

所以它条件收敛。 

4. 初等函数在定义区间内连续

连续函数加减乘除、复合 ——> 结果还是连续

1. 定型：若为已定式，直接代入求解；若为未定式，见2；

2. 无穷小 \(\to\) 泰勒，洛必达，四则运算

• 必须要分左右极限来求的情况：

不可局部代值，除非是非零因子

展开原则：相消不为0且上下同阶

• 注意使用条件。洛完结果不唯一就不能洛
• 乘除法中的非0项可以先算

• 存在N，其后所有数都接近A

• 收敛一定有界，有界不一定收敛

• 保号性：(要注意是后面才保号，前面无关)

• 1. 转化为函数（连续化处理）

• 1. 分子分母同阶时，放缩分母使得分子可加

• • 利用不定积分的计算型定义

• 原理：单调有界必有极限， 方法：数学归纳法

• 1. 复杂函数用 泰勒公式 / 麦克劳林替换
• 抓大头；上下同除最大项；洛必达

• 无分母：分子有理化，倒代换

• 注：不要把 $$ln$$ 或 反三角 放分母

• 用对数恒等式，把指数放下来

(7) 求无穷级数的极限

• 与等差等比，定积分等结合

（8）求带积分线的极限

• 放缩然后夹逼 （比较定理）

• 重要性质：不可导的绝对值函数\(|x-x_0|\)乘上可导（连续）函数之后变可导

• 公式法（5条 + 莱布尼茨）

• 切方 （k为该点导数），法方 （垂直于切方）

• 其中，\(A\)就是微分\(dy\)，也叫线性主部

（3）导数的微分学应用

• 除拐点要写点坐标之外，间断点、极值点、极值、驻点等都填值

• 一点导数正负性不决定邻域内单调性，除非导数连续

• • 定义：邻域（左右都有）

• • 连续的函数中，唯一极值点就是最值点

• • 定义：（凹函数）割线高于曲线；（凸函数）割线低于曲线

  • • 定义：凹凸线发生改变的点

• 求渐近线（先垂直后水平最后斜）

三、不定积分（记得+C）

1. \(f(x)\)连续，则原函数必存在
2. \(f(x)\)存在第一类 / 无穷间断点。则原函数必不存在
3. 若\(f(x)\)有振荡间断点，则原函数可能存在

凑一个\(e^x\)以便凑微分

• 次数：偶次降幂，奇次凑分（拿出一个）

（4）第二类换元积分法

• 注：d x 也要换，别忘了代回

• 换回方法：画一个三角形，用a x 表示三条边

• 规则：反对幂三指（谁在后谁入d）

• 拆分（分母必须要化简到最简形式再拆分）

  • 分子写比分母低一次的多项式

    • 有括号（比括号低一次）

    • 无括号（比分母低一次）

• 可用于数列极限求和：1. 和 2. 提 3. 找项

定积分是一个数，与变量选取无关

积分线相同，被积函数不同，考比较定理

1. 只要有一个部分比你大，绝对比你大
2. 仅需比较两个被积分函数的大小

只要积分变量字母不变，上下限范围所属关系不变

（1）华莱士公式（点火公式）

（2）第二类换元积分法

• 基本原则：三换（换被积函数，换积分变量，换上下限）

• 区间再现换元法: 令“上+下 – x = t ”

• 非标准型：换元，把x当作常量

• 先找瑕点（奇点）（有瑕点一定要拆开来算）

注：靠近正半轴的 – 远离正半轴的

2. 齐次与非齐次的通解

1. 两边同时积分就能解得 \(y\)

1. 存在一个\(\xi\)使得等式成立

2. 闭区间连续函数性质

（3）广义积分中值定理

可使用拉格朗日中值定理推广至\((a,b)\)：

原理：被积分函数连续，变限函数一定可导

1. 找原函数：不定积分 / 微分方程

（3）拉格朗日中值定理

特别的，当\(x_0=0\)时有麦克劳林公式：

画出积分区域，有对称性就用技巧法，没有就用直接法 （二者结合着用）

（1）直角坐标算二重积分

（2）极坐标算二重积分

1. 适用：积分区域是圆 或 被积分函数是：

a. 积分区域下的奇偶性

x y 互换，然后二者加起来

1. 注意次序（小心正负号）
   

平面类比二重积分；空间类比三重积分

对面积分的曲面积分计算法：

绝对值曲线画法：去绝对值 + 对称性

被积分函数满足曲面方程

第一型曲线积分与方向无关，积分下限一定比上限小（从小到大）

直接法（干掉弧微分）：

1. 轮换对称性：关于 \(y=x\) 对称
1. 看方程：调换\(x,y\)，方程不变
2. 看图：调换\(x,y\)轴，图像不变

第二型曲线积分（对坐标）

**1. 封闭曲线且正方向（左手始终在区域内） **

2. P,Q具有一节连续偏导数（把两个偏导数算出来，没有无定义点）

等比级数敛散性只看公比

2. 收敛级数的基本性质

1. 改变级数的前有限项，不改变级数的敛散性

2. 若级数收敛，不改变各项次序任意加括号后仍收敛

   1. 原收敛，加括号后一定收敛
   2. 加括号后发散，原级数一定发散
   3. 加括号后收敛，原级数不一定收敛

3. 常数项级数审敛法

先看通项极限是否为0，不为0一定发散

常数项级数判定敛散性思路：

收敛的充要条件：部分和有上界

放大看收敛，缩小看发散

1. 比较审敛法：大收敛则小收敛，小发散则大发散

例题（注意是充分条件，不能反推回来）：

比值审敛法（达朗贝尔判别法）：

必须要能找到一个p严格\(0<p<1\)，趋近于也不行

根值审敛法（柯西判别法）：

求积分之后收敛域会变大

(减小系数之后会增加收敛的可能性)

交错级数（莱布尼茨判别法）：

极限为0，单调递减，正向数列

先看绝对值收不收敛，不收敛再看本身

通用处理：加绝对值 or 利用加减性质

4. 幂级数求和与展开

1. 收敛点 $\rightarrow $ 收敛域、收敛区间、收敛半径\(R\)（收敛区间的一半长度）

域：要看端点的敛散性；区间：不看端点

求幂级数收敛半径：缺项幂级数用法一，标准幂级数用法二

概念（以下为幂级数）：

e.g.平移不改变性质：

阿贝尔Abel 定理：

如果找到一点收敛，距离中心点相同位置内部一定收敛且为绝对收敛；

如果找到一点发散，距离中心点相同位置外部一定发散；

充分理解的好题：（分界点）

如何判角标：就看首项（先写一项再说）

关于首项从几开始，这是一个很严肃的问题：

一些不得不关注的重要细节：

求导前后收敛半径不变，收敛区间不变，但是收敛域可能会改变（端点会变）

就是把泰勒公式写到无穷多项

【必背】常见麦克劳林级数

题型：将函数展开成某某的幂级数

和函数在收敛域范围内一定连续

注：幂级数求和的形式x的前面的系数要么为1，要么为\((-1)^n\)

1. 检验端点值！！（闭区间才需要检验）
   1. 在s(x)处有定义，直接加上