请问这道题x=0时的左极限和右极限怎么求，为什么符号不同？x=1和x=2时的极限为什么是无穷？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-21 05:13 标签： 一般将来时巩固题

当x从左侧趋于1时,（x-1)的绝对值→0－,（x-1)的绝对值＝－(x-1）
当x从右侧趋于-2时,（x+2)的绝对值→0＋,（x+2)的绝对值＝（x+2)

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利用导数定义能求极限，利用定积分定义也能求. 定积分的定义是：

所以当我们遇到上式右边的极限形式时，可以考虑转化成定积分的计算. 这个形式有什么特点呢？第一，它是个和式，而且有无限多项（因为当 时 ）；第二，和式的各项都是两部分的乘积，一部分是函数值，一部分是自变量的增量（一般来说，每一项的自变量增量都 取相等的，这样容易计算，而且这个增量 是要趋于 0 的；对于前面那一部分的函数值 ，其中的 是在每一个区间 中任意取的，但为了方便，我们一般有三种取法：取区间的左端点、右端点或中点，但最可能取右端点）.为了方便理解，我们先举一个简单的例子：

这道题最简单的方法是直接求和，里面分子就是个等差数列，你会很轻易地得到答案 . 我们现在用定积分定义做一下. 首先我们应该看看这个式子具不具有刚才说的两个特点. 第一，它是个和式，而且有无限多项，这没问题. 第二，每一项都是自变量增量和函数值的乘积. 事实上，我们如果把 拆成 , 拆成 ...... 拆成 .这样一来，每一项后面的 ，就可以看作是一个长度为 1 的闭区间被平均分成了n 份后每份的长度，这也就是自变量的增量，如果假设这个区间是 ，也就是整个区间 被分成了 n 个小区间 ,每一个区间的增量都是 ,各个小区间的右端点分别为 .函数 在这些右端点处的函数值恰好也为 ，所以原极限= .以上展现了寻找被积函数的过程，但我们没有必要每遇到一道题就像上面一样思考一遍，下面介绍一种较为简单的思考方法. 实际上，让你用定积分定义计算的极限，被积区间一般都可以看作 ，看成 最方便，所以一般需要你分离出一个增量 ，也就是区间 被分成了 n 个小区间 ,剩下的工作就是观察一下：你刚才分离完 以后剩下的部分，是各区间内哪个点（一般是右端点 ）代进哪个函数所形成的函数值？在这里有一个技巧，当你提出一个 ，可以把剩下的部分整理成一个关于 的式子，再把所有的 换成 x ，这就是区间 上的被积函数了. 当我们找到这么一个被积函数，整个定积分式也就确定下来了，就可以用求积分来代替求极限了.

总结成四步，就是：①写成含有 符号的求和式，对通项提出一个 ；②对提走 后剩下的部分整理，整理成一个关于 的式子；③把 换成 x ，就是被积函数；④计算这个被积函数在 上的定积分，即为原极限值. 一式以蔽之，即：

这道题用夹逼定理什么的，好像很难做出来吧.

有时，可能无论如何也无法整理成关于 的式子. 这时说不定可以整理成关于 的式子，或 的式子，这也都是可以把 或

这只不过是取了每个小区间的左端点和中点.

还有的时候，式子本身不能直接化成积分和的形式，可以适当放缩，通过夹逼定理，对两边进行定积分求和，不胜枚举。

可见，用定积分求极限是一种技巧性很高的方法，如果被积函数寻找恰当，效率也是很高的.

《实变函数论》习题选解

证 必要性（左推右，用反证法）：

充分性（右推左，显然）：事实上，

所成之集的势（基数）为c .

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