有a%的方程组该怎么解?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-04 14:20 标签： a的平方大于a怎么解

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直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m.

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

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这是我复习线性代数的笔记，没有什么特别之处，相关内容网络上有很多，并且图也都是《线性代数导论》中最经典的图。本文主要是方便自己再次复习，可能也会帮助复习的同学快速掌握吧。

我们知道，一个矩阵 具有四个与之相关的空间，即：

  1. 列空间：A的所有列的线性组合形成，记为 ，它是 的子空间；
  2. 行空间：A的所有行的线性组合形成，记为 ,它是 的子空间；
  3. 零空间：Ax=0的所有x的线性组合形成，记为 ,它是 的子空间；
  4. 左零空间: 的所有y的线性组合形成，记为 ,它是 的子空间。

此外，列空间与左零空间为正交补，行空间与零空间为正交补。正交补表示一个向量在这两个空间中都会有分量，当然分量可能为0。

大体上说，可分为有解和无解。当它有解时，需要满足b在A的列空间中，我们首先来看有解的情况。

有解可以分为一个解和无穷多解。

从图中可以看出，假设零空间的维度不为0，解 ,b在A的列空间。

由于 ，所以当零空间的维度不为0时，方程会存在无穷多解。

举例来说，我们可以把让 沿着投影到 的虚线移动，虽然 改变了，但是由于其映射到0，所以x还是Ax=b的解。

当零空间为0时，方程有唯一解,

2. 无解:b不在A的列空间

当b不在A的列空间时，方程组无解。这是因为，Ax只能映射到A的列空间中，但是b不在A的列空间，所以x不存在。

Ax=b的最小二乘解分为A列满秩时和非列满秩时的解，首先说A列满秩时的解。

1. A列满秩，最小二乘解唯一

A列满秩，A的零空间为0。当b不在A的列空间，Ax=b无解。但是我们可以在列空间中找一个点，使其到b的距离最小，它就是b在A的列空间的投影。误差为b在左零空间的投影。最小二乘的解唯一，为

2. A非列满秩，最小二乘有无穷多个

当A非列满秩，零空间非0， 存在无穷多解。我们可以用伪逆，求一个最小范数解，即 的长度最小。

Ax=0至少存在一个解0，即它有1个或者无穷多个解。1个解对应零空间为0，无穷解对应0空间不为0，但是这个解对我们来说没什么用，所以我们需要加上约束，来求一个非平凡解。通常的约束为 ，此时，最小化 ，x为最小非零奇异值的右奇异向量的所对应的列向量，即 的最后一列。（注： ,V放在右侧，所以是右奇异向量）

证明的话找到一个不错的证明，直接粘贴了。注意它用S表示奇异值矩阵。

本文主要从矩阵四个子空间的角度，介绍了Ax=b和Ax=0的解的情况。在实际中，我们还需要采用一定的矩阵计算方法，求解x。个人认为主要包括3种方法：一是消元法，如LU分解。二是施密特正交化，也就是投影方法，如QR分解；最后是和矩阵特征值相关的方法，如SVD分解。计算机求解的步骤主要是先分解A，然后在求解Ax=b，所以我们在Eigen中会先调用compute，然后再调用solve函数。掌握了这些内容，利于我们更好的使用和理解如Eigen这样的线性代数工具库。

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