如何计算投资收益率
【数学公式显示不出来，请查看原文 】某些人对绩效评估和分解不屑一顾，认为没必要那么复杂，不就比比谁赚的钱多就行了吗？问题没有那么简单。首先，直观地说，一个人用100万本金赚到了10万，跟一个人只用10万本金赚到10万，显然后者的表现更好。所以第一个结论：在进行绩效评估的时候，不能光看收益额，而要看收益率：相对于其本金的收益。那么，收益率可以被简单理解为收益除以本金吗？也不行，这里面的东西远比想象中复杂。简单地说，如何计算收益率，依赖于你评估的角度。不同的角度得出的结论可能截然相反。下面先给出一个这样的例子。假设有甲、乙两个投资人，分别投资于两只基金A和B，这两只基金都投资于中国A股股市。为了简单起见，我们假设投资为两年期限，恰好为中国A股市场的2007年到2008年。甲在2007年投资了100万到A，然后A这一年赚了120%；甲一看赚了钱，马上追加了200万，结果2008年这只基金亏损50%。显然，甲损失了100+200-(240+200)*50%=80万，平均投入资金为200万一年。乙同样在2007年投资了100万到B，B在这一年赚了100%，但在年末他撤回了50万的本金。B在第二年亏损了60%。那么乙在这两年赚了(50+150*40%)-100=10万。乙的平均投入成本为75万每年。乙用不到一半的成本获得了更高的收益，而甲花了很多钱，最后亏损不少。从这个角度上来说，乙的赚钱能力更强一些。由于投资人的资金实际都是由两只基金的基金经理来操作，那么能否说第二位投资经理要操作的比第一位投资经理好呢？显然不能，第一位投资经理无论在2007年还是2008年收益率都要比第二位投资经理收益率更高。所谓问题归结到：投资者的收益如何计算？基金经理的收益如何计算？金钱加权法（Money Weighted）金钱加权法本质上就是内部收益率法。将初始投入视为现金流入（大于0），期末资产视为现金流出（小于0），那么金钱加权收益率即使得现金流的现值等于0的折现率。我们使用下述公式：\[ \sum_{i=1}^T f_{t_i}(1+r)^{-t_i}=0\]其中\(f_{t_i}\)为时间点\(t_i\)上的现金流，\(r\)为内部收益率。在金钱加权法中，钱在不同时候收益率是一样的。并且它只对期间整体进行定义，分期的收益率和整体的收益率并无直接的关系。上述的定义较为复杂，掩盖了金钱加权法的一些本质。事实上，金钱加权收益率近似等于收益额除以平均占用资金。这里平均占用资金是指各期占用资金的算术平均值。这种近似收益率也被称为Modified Diez Return。Modified Dietz Method假设现金流为\(f_{t_i}, i=0,1\cdots, T\)，其中\(f_0\)为期初投资额，期末投资余额为\(-f_{t_T}\)，那么金钱加权收益率\(r\)为下述方程的解：\[\sum_i f_{t_i} (1+r)^{-t_i} = 0\]注意对\(r\sim 0, x\sim 0\)有\((1+r)^x \sim 1+ rx\)。上面等式可写成\[\sum_if_{t_i} (1+(t_T-t_i)r) = 0\]解出\(r\)：\[\begin{array}{rcl}r &=& \frac{-\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\sum_{i=0}^T f_{t_i} (t_T-t_i)}\\&=&\frac{-\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\sum_{i=0}^{T-1} (t_{i+1}-t_{i})\sum_{j=0}^{i}f_{t_j}}\end{array} \]此处分子\(-\sum f_i\)为投资盈利额，分母为平均占用资金（因为在时间\(t_i\)到\(t_{i+1}\)期间，投入资金恰好为\(\sum_{j=0}^i f_{t_j}\)）。时间加权法（Time Weighted）将投资区间分成若干段，每段之间没有现金进出，这样每一段都可以用简单收益率法计算其收益率。时间加权收益率 = （1 + 各段收益率）的连乘 - 1。日内现金流或现金流时间不确定时处理方法时间加权法要求将投资区间分为若干段，每段之间没有现金进出。但在某些时候达到这点比较困难。比如每天日内不停地买卖股票，将每个买卖动作都分隔开，是一个无论在计算上，还是在对数据的要求上，都是一个几乎不可能的任务。一个简单办法是，对于无法细分的时间颗粒（一般是一天），假设颗粒内部还是有现金流流入和流出，那么将流入的现金流都视为一开始就流入，流出的现金流则认为到结束才流出。即：期间收益率 = （期末市值+流出现金-期初市值-流入资金）/（期初市值+流入资金）。实际中使用的时间加权法由于时间加权法要求在每个现金流时点都需要投资组合的精确估值，对于某些投资组合而言，这一点比较困难。那么在实际使用中，通常在固定的期限内，比如每个月，使用金钱加权法，计算这段期限内的收益率，然后再将各个期间的收益率连乘得到整个期间的收益率。比较时间加权法收益率可以理解为在各个时点上的瞬时收益率的累计，而金钱加权收益率可以理解为各个时点上的瞬时收益率，再根据当时投入的资本进行加权的收益率。从这一点上看就很容易理解在什么时候该用什么收益率。 对于投资经理来说，每个时点上有多少资本根本不是他所能掌控的，所以对投资经理，只能使用时间加权收益率。 而对于投资者而言，他决定了每个时间点上的资本数量，所以对于他的评价必须使用金钱加权收益率。这样最开始的例子中，基金A、B和投资人甲、乙的收益（Performance Measure）评估结果如下：时间加权基金A：10%基金B：-20%金钱加权投资人甲：-40%投资人乙：13.3%从上面可以看到，甲投资的基金A的表现优于乙投资的基金B，但甲的收益却不如乙。为什么会出现这种情况？直观看是因为甲的择时能力太差，在熊市重仓牛市轻仓。接下来绩效分解（Performance Attribution）会介绍一些定量的方法来评估各自的贡献。
来源：知乎
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单项选择题根据以下资料回答下列问题：
一位投资者在2008年年初买了300股ABC股票，在2009年年初又买了200股，在2010年年初卖出100股，在2011年年初卖出剩下的400股。假定红利均在年末支付。
ABC股票的价格与分红情况如下表：
年度 年初价格(元/股) 年末分红(元/股)
2008 100 4
2009 120 4
2011 100 4该投资者在投资期间取得的算术平均时间加权收益率是______。A．5.96%B．6.67%C．4.85%D．7.12%
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收益率是炒股能力的首要指标。就好像打篮球要知道2分球3分球，玩体操要知道难度系数和打分规则。炒股，肯定首先要学会算收益率。否则就是输得糊涂赢得糊涂了，最后一笔糊涂账。中国股市再特殊，即使价值投资行不通市盈率没有用，学会算收益率起码还是有用的。因为大家不管什么是流派，最后都是要赚钱，都是要追求高收益率，这点是不会变的。
雪球上99%的人不懂怎么去算收益率。
所以你应该好好读一下这篇教程。
首先我认为大多数人不应该炒股，应该指数化投资。然后也就不用学收益率算法这些复杂的东西，用更少的精力获得更多回报。当然，雪球上绝大多数用户是不会听这些的，那你既然炒股了，就要了解一下收益率的算法。
本文试图通过一些简明的例子来阐释各种收益率的意思，尽量不要用复杂的数学公式，只用加减乘除就把问题说清楚。然后本文会用到一个股民老王的 真实投资历程作为案例来分析。老王07年第一次入市，后来2013年6月再次入市投入十万，后来追加到五十万，日盘中突破500万，一年零十个月时间十倍。我们会通过不同方式计算老王的投资收益率。老王的投资历程见下表：
我们要介绍的第一个收益率概念，叫： 年化。 这个道理还是很简单的，比如老王投资了8年，老张投资了4年，那肯定要比较平均每年的收益率。比较他们两人投资生涯的总回报是没有意义的，因为时间长短不一样。
好，韭菜们一按计算器算出来了：老王投50万，得到500万，赚900%，8年时间，平均每年900/8=+112.5%。
错得很离谱，错在哪里呢？这里就要说到 算术平均和几何平均。刚才韭菜的算法叫算术平均，我们平时算考试平均分、居民平均收入，用的都是算术平均。但是在投资收益上用算术平均，往往是很不合理的。我们可以举一个特殊例子：老李一开始有1万，第一年赚了200%，第二年亏90%。那平均他每年有(200-90)/2=+55%的收益吗？不对啊！他从1万，第一年变成3万，第二年变成3000，明明是两年亏了70%呢！算术平均错在哪里呢？投资是用乘法和除法算出来的，长期复利是乘方（指数增长），所以算长期平均就应该用开方，而不是除法。老李的年化收益应该是：()^(1/2)-1 = -45%。这就是 几何平均的年化算法。
几何平均算出来的收益率就恰好等于每年存一个相同收益的定期存款最后获得的收益。我们拿老李的例子验证一下：假设老李存了一个利息为-45%的定期存款，第一年存1万，取出来变成5500。第二年是5500-（）= 3025，确实是他最后的投资结果。 一般来说，一个人几何平均年化收益是x，就意味着他炒股的收益相当于存了同样时间的x利息的定期存款。所以我们常常会说，年化5%以下的人还不如存定期。
算术平均和几何平均对于大多数韭菜来说应该不成问题。然后韭菜一算：老王翻10倍，8年，几何平均一下，(500/50)^(1/8)-1=+33.3%。每年33%呢！
你看，又错了。错在哪儿呢，这要说到杠杆对于投资收益的影响。举例：老张一年赚了30%，但是用了一倍杠杆。老李一年赚25%，但是没用杠杆。你能说老张就比老李厉害吗？显然不能这么说。但是你能说老李就是比老张强吗？好像也很奇怪，比较老张赚的多呢！
杠杆对于投资盈亏有放大效应。所以在考虑收益率的时候肯定要考虑杠杆的影响。所以有 杠杆收益率和 去杠杆收益率之分。老张自己1块钱，融资1块钱，炒到2.3块，扣除融资负债，净资产有1.3。所以他的杠杆收益率是1.3/1 - 1=30%。去杠杆收益率是2.3/2 - 1 =15%。杠杆收益率就好比净资产回报率ROE，去杠杆收益率好比资产回报率ROA，一个在分子分母都是用总资产，一个都是用净资产（都减去融资负债）。
那你说评价一个人的炒股能力，应该用杠杆收益率还是去杠杆收益率呢？应该是这样的：去杠杆收益率反映的是一个人的选股能力和择时能力（抓牛股和抓波段）。杠杆收益率反映的是以上两种能力再加上押注能力（或者胆量）的综合结果。比如对于一个想要复制大v操作的雪球用户， 如果他只想学大v的调仓，但是不打算学大v的杠杆比例，那么去杠杆收益率才是个有意义的指标。如果他既学大v的操作又模仿大v的融资比例，那么就看杠杆收益率。我们知道很少有人可以模仿别人的融资比例的，因为融资的限制还有个人因素等很复杂的条件，所以在雪球上晒杠杆收益率其实对其他人意义不大，只能孤芳自赏。当然，雪球官方的组合，收益率都是没有杠杆的，这个设计还是挺合理的。
好，韭菜再一次修改算法，老王50万本金再融资135万，也就是入市资产185万，然后资产增加到635万，年化(635/185)^(1/8)-1=16.7%。
当然，这个算法不正确，它没有考虑不同资金不同的入市时点问题。如果一个投资者的资金是有不断流入流出的，就不能简单的把最后的资金除以总投入。我们需要跟精细地看每笔自己流入/流出之后的账户变动，然后用 时间加权，或是 资金加权的方法来算年化收益率。
我们再举一个老陈的例子：老陈第一年从1万炒到3万。第二年追加投资7万（从10万开始），然后亏到8.3万。你觉得老陈炒股厉不厉害呢？
有两种看法：第一种：老陈第一年赚2万，第二年亏1.7万，几乎打平，算是不太理想的（资金加权）。第二种：老陈第一年大赚200%，第二年只是小亏17%，总体来说还是很厉害的（时间加权）。
这两种其实都是对的，只是有不同的适用场合。如果老陈是一个基金操盘手，那么第二种算法就是正确的，因为他第二年亏损2万其实是因为年初的资金太多了。年初投那么多钱导致最后的亏损把第一年赚的都抹平了。但这件事能不能怪基金经理老陈呢？不能怪他，因为都是基民申购太多，老陈对资金量是不能控制的，他能做的只是每一年都尽量争取高收益率。老陈只对收益率负责，不对具体的盈亏资金负责。第一年赚200%，第二年亏20%，两年平均就是：[(1+200%)(1-17%)]^(1/2)=+57.8%，惊为天人。
这就是 时间加权的算法，它强调每年的收益率都是一样重要的，而且只看选股能力和抓波段的能力，不要考虑资金的影响。基金行业公布的收益率也都是按时间加权的方法算的。意思就是：基金经理只管拿钱去炒，尽量帮你们赚；至于散户喜欢牛市认购熊市赎回，那不能怪基金公司。时间加权算法和去杠杆收益率背后的意思是一致的，都是只看选股能力和抓波段的能力， 因此在雪球上我认为应该用时间加权收益率，因为跟大V走的散户是不能模仿大v的资金进出的（大V去买一套房子，你也跟着买一套？），只能模仿调仓。雪球组合因为不能有资金流入流出，因此反映的也是时间加权收益率。
我们用时间加权算一下老王的去杠杆收益率： [(0.1/0.5)*(13/10)*(40/23)*(55/70)*(205/110)*(145/205)*(635/225)]^(1/8)= +3.5%
韭菜们表示不服，老王明明赚了500万啊！真金白银的赚到手了啊！怎么被你说得好像还不如存银行呢？
你别着急。这只是说明老王的盈利，主要不是归功于选股能力和择时能力，而是归功于自己的资金管理，在合适的时候追加投资追加杠杆。 通过深入理解不同收益率的计算规则，我们可以更好地理解收益的来源，可以更好地评价自己或者别人的投资能力。这个老王的例子我们就看出，有些人不是选股厉害，而是有本事（or 胆量）在合适的时机融资。当然，老王是一路提高融资杠杆一路追加投资，没有撤资过，所以也很难说他的“选择融资时机技术”很厉害，很有可能只是愣头青撞大运。
那有没有收益率算法是可以全面反映一个人综合的投资因素的呢？就好象杠杆收益率一样，不仅仅是看选股能力。总之是一个叫人心服口服的，真正反映赚了多少钱的收益率指标？这就是 资金加权收益率了。资金加权就是强调只看资金是赚是亏，先赚2万后亏2万，那就是打平了。先赚20%后亏20%，则未必是打平。
资金加权的算法，有点像我们之前说的“几何平均”的理解方式：一个人如果存一个定期，利息恰好等于资金加权收益率，那么存几年的收益和炒股恰好是相同的。还是拿老陈的例子，存一个利息多少的定存，存两年之后可以变成8万呢？（回顾一下：老陈第一年从1万炒到3万。第二年追加投资7万（从10万开始），然后亏到8.3万。）
这里的计算比较麻烦，我们先试试10%的利息。第一年存1万，年末得到1.1万。然后追加7万，第二年开始存入8.1万，年末得到8.91万，比老陈实际得到的8.3万多了。那么我们试一下更低的利息，比如2%。第一年存1万，年末得到1.02万，然后加7万，存8.02，最后得到8.18万，又比老陈实际的8.3少了。
我们再试一个2%～10%之间的利息把：3.32%。1万，先变成10332，加7万，存80332，年底得到82999元，正正好好。所以老陈的资金加权收益率是3.32%。
尽管资金加权收益率算起来很麻烦，但是他的意义是很容易解读的，我们再强调一遍：资金加权收益率反映了一个人的投资收益相当于存多少利息的定期存款。
老王的资金加权收益率（带杠杆）是多少呢？这非常难算。伯格头直接给出结论： +115%
希望大家看完这篇文章之后，能够理解算术平均/几何平均，带杠杆/去杠杆，资金加权/时间加权等几组概念，并且能够算一下自己的收益率，了解自己真实的选股能力。或者算一下大V的收益率。
当然绝大多数人不会认真看，也不会认真算，继续稀里糊涂地享受牛市。只要能赚钱，谁在乎这些呢。
本话题在雪球有39条讨论，点击查看。
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