这个如何用公式计算怎么写？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-03-19 03:30 标签： 组合数公式
考虑有Permutation Group S_n 和 \mathbb{Z}_2 ， \epsilon 张量是群同态：\epsilon: \sigma \to \epsilon(\sigma) 如果排列是奇排列，同态映射将其映射到-1，反之偶排列映射到+1。那么根据群同态，立刻看出 \epsilon_{i_1...i_n}\epsilon_{j_1...j_n}=\sum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)\delta_{i_1j_{\sigma(1)}}...\delta_{i_nj_{\sigma(n)}} 看不出没关系，我们先拆解一下这个观察的过程：考虑 \sigma_i=\begin{pmatrix} 1 &2 &... &n\\ i_1 &i_2 &... &i_n \end{pmatrix}, \sigma_j=\begin{pmatrix} 1 &2 &... &n\\ j_1 &j_2 &... &j_n \end{pmatrix}=\sigma_i \sigma^{-1} 于是：\sigma_i\sigma_j=\sigma_i\sigma_i \sigma 根据同态的性质，我们有：\epsilon(\sigma_i)\epsilon(\sigma_j)=\epsilon(\sigma_i\sigma_j)=\epsilon(\sigma_i)\sigma(\sigma_i)\epsilon(\sigma^{-1})=\epsilon(\sigma^{-1}) 然而我们这个 \sigma 可不是乱选的，满足：\sigma_j\sigma =\sigma_i 也即：\begin{pmatrix} 1 &2 &... &n\\ j_1 &j_2 &... &j_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &2 &... &n\\ \sigma_1 &\sigma_2 &... &\sigma_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sigma_1 &\sigma_2 &... &\sigma_n\\ j_{\sigma(1)} &j_{\sigma(2)} &... &j_{\sigma(n)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &2 &... &n\\ \sigma_1 &\sigma_2 &... &\sigma_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &2 &... &n\\ j_{\sigma(1)} &j_{\sigma(2)} &... &j_{\sigma(n)} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &2 &... &n\\ i_1 &i_2 &... &i_n \end{pmatrix} 这些限制就给出了那些 \delta_{i_nj_{\sigma(n)}} 张量，而另一方面， \epsilon(\sigma)=\epsilon(\sigma^{-1}) ，从而右边等式求和的结果就是 \epsilon(\sigma^{-1})=\epsilon(\sigma_i\sigma_j)=\epsilon(\sigma_i)\epsilon(\sigma_j) 什么，你说我这里没有考虑到我张量指标相等的情况，呜呜你说的对，因为这些指标相等的情况不可能与排列对应，所以我们认为找到的那个 \sigma 是不存在的，即 \epsilon(\sigma)=0 在这种情况下。最近在补习相关的数学，正好遇到这个等式，我目前想到了两种有点意思也比较直接的联系（不是证明）第一种联系方法是基于第一次遇到这符号的时候看到的定义：\epsilon_{ijk}=\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 1,偶排列\\ -1,奇排列\\ 0,其它 \end{aligned} \right. \end{equation*}
考虑 \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{equation*} \left\{\begin{aligned} 1,(i,j,k)与(l,m,n)有相同奇偶性\\ -1,(i,j,k)与(l,m,n)有不同奇偶性\\ 0
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,其它情况 \end{aligned} \right. \end{equation*}
这种定义感觉很难下手，只能分类讨论看看，于是我先假设i，j，k各不相同，先考虑奇偶性相同的情况：那么数值是1，如果ijk与lmn完全相同，那么自然有相同的奇偶，这就让我想到了克罗内尔记号， \delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} 在有上面的条件时确实值等于1，那么我又想到了轮换lmn，只要lmn是ijk的偶排列，那么它们也具有相同的奇偶性，自然想到 \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} ， \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} ,观察这三项，得到了数值为1的情形，而且这三项各自排斥，即第一项为1时，后两项为0。那么奇偶性不同的情况呢？考虑对换两个指标就得到了，我们选择交换与j，k有关的指标。得到三项 \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} , \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn} , \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl} ,这三项与前面的各项也是相互排斥的，当这些之一为1时，其它各项都得为0，那么把这些项乘上（-1）与前面相加，就可以与 \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn} 取1和-1的情况完全对应起来了。而这些项加起来就是 \delta_{il}(\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km})+\delta_{im}(\delta_{jn}\delta_{kl}-\delta_{jl}\delta_{kn})+\delta_{in}(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}) ,这不就是三阶行列式嘛？？？于是很直观看到有：\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} &\delta_{km} &\delta_{kn} \end{vmatrix}\quad 巧就巧在，虽然前面没考虑ijk中相等的情况，即取值为0的情形，但是这些情形在上面的情况考虑完后已经自动满足了，这点从行列式里面可以看出来，这算是先必要后充分的一个想法。嗯，不过当我知道这个玩意的另一种定义之后，我觉得我上面的想法太蠢了：新的定义是：给出 \epsilon(u,v,w)=(u \times v)\cdot w 而让 \epsilon_{ijk}=\epsilon(e_i,e_j,e_k) ,那么\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{vmatrix} e_{i1} & e_{i2} & e_{i3}\\ e_{j1} & e_{j2} & e_{j3}\\ e_{k1} &e_{k2} &e_{k3} \end{vmatrix}\quad\begin{vmatrix} e_{l1} & e_{l2} & e_{l3}\\ e_{m1} & e_{m2} & e_{m3}\\ e_{n1} &e_{n2} &e_{n3} \end{vmatrix}\quad=\begin{vmatrix} e_i\cdot e_l & e_i\cdot e_m & e_i\cdot e_n\\ e_j\cdot e_l & e_j\cdot e_m & e_j\cdot e_n\\ e_k\cdot e_l &e_k\cdot e_m &e_k\cdot e_n \end{vmatrix}\quad 哈哈哈哈，好了，这就清楚了，因为我们知道从几何角度来说，有 e_i\cdot e_j=\delta_{ij} 这就是我们要的结果了。我们让i=l，把那几项算一算，按第一行展开就得到那个用得超级频繁的公式了！感谢各位阅读，因为我还是个小萌新，难免会有很多错误，希望大家不吝指出。_(:3/Z)__

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