如何理解向量空间向量的值是什么意思的秩？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-06-25 01:37 标签： 空间向量的值是什么意思
小时候老师总告诉我们「要有n个方程才能确定地解出n个未知数」——这句话其实是不严格的，如果你想确定地解出n个未知数，只有n个方程是不够的，这n方程还必须都是「干货」才行。从这个角度，初学者可以更好地理解「矩阵的秩」。本文致力于为初学者展现一些《线性代数》中重要概念的直观来源，希望对你能够有所帮助。这篇文章整理自由我主讲的Live：其实，《线性代数》这门课自始自终被两条基本线索交叉贯穿——它们可以被称为这门课程最为关心的两大基本问题；当这两个问题被深入地研究之后，我们还会发现这两者在某一个节点上被统一在了一起——这两个问题中的一个就是寻求形如：\left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots + a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots + a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \qquad \cdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots + a_{nn}x_{n}=b_{n}\\ \end{array} \right.这样的n元一次方程组的「解法」、并且对它的解进行如下的研究。在面对一个具体的问题时，一般而言我们会首先关注这个问题“有没有答案”——这就是所谓「解的存在性」。如果所研究的问题是有答案的，进一步地我们会关心这个问题的“答案是不是只有一个”——这就是所谓「解的唯一性」。如果我们对上述两个问题的回答是：答案唯一地存在，那么接下来我们想要知道是否能有统一的方法来找到这个解；如果我们的回答是：答案存在但是不唯一，我们就要问：能否把每一个答案全部找到？并且、能否说清楚这个问题不同答案之间的相互关系——换言之，我们想要研究线性方程组「解的结构」。当然，小时候老师就告诉过我们：「想要确定地*解出n个未知数，你要有n个方程才行」——这句话其实是不严格的，如果你想准确地解出n个未知数，只有n个方程是不够的，这n方程还必须都是「干货」才行，而这些干货的个数，就是所谓「矩阵的秩」。* 换用精确的数学语言，「确定地解出方程」这句话应该表述为「解出方程，并且要求该结果是唯一的」，换言之，矩阵的秩回答了「方程组解的唯一性」。换言之，有些方程组你看上去有很多内容，但其实它是被严重注水的——那个方程组中可能有一些方程是完全没用的，比如下面这个例子：\left\{ \begin{array}{l} x_{1}-x_{2}-3x_{3}-x_{4}=1\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=3\\ 4x_{1}-4x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=10\\ 2x_{1}-2x_{2}-11x_{3}+4x_{4}=0\\ \end{array} \right. 如果你将第一个方程的-1、-4、-2倍分别加在随后的各个方程上，就可以得到：\left\{ \begin{array}{l} x_{1}-x_{2}-3x_{3}-x_{4}=1\\ \qquad \qquad \ 5x_{3}-2x_{4}=2\\ \qquad \qquad \ 15x_{3}-6x_{4}=6\\ \qquad \qquad \ -5x_{3}+2x_{4}=-2\\ \end{array} \right. 这一步消掉了后三式中含有 x_{1} 和 x_{2} 的项，继续：将第二个方程的-3倍和1倍分别加在第三、第四个方程上：\left\{ \begin{array}{l} x_{1}-x_{2}-3x_{3}-x_{4}=1\\ \qquad \qquad \ 5x_{3}-2x_{4}=2\\ \qquad \qquad \qquad \qquad 0=0\\ \qquad \qquad \qquad \qquad 0=0\\ \end{array} \right. 注意：后两个方程“0=0”实际上没有告诉我们任何新的信息，这实际上这两个方程完全没用！换言之，整个方程组真正「有价值的」部分只有两个：\left\{ \begin{array}{l} x_{1}-x_{2}-3x_{3}-x_{4}=1\\ \qquad \qquad \ 5x_{3}-2x_{4}=2\\ \end{array} \right. 按照中学数学的观点：老师常常告诉我们，四个未知数、两个方程，是没有办法解的——这是一句不严谨的说法，中学老师真正想要告诉我们的是：方程的个数低于未知量个数时，这个线性方程组是没有唯一解的——换言之，这个方程组有无穷多个解。那么我们接下来就有一个很自然的问题：我们究竟应该除去哪些方程，以保证剩下的方程每一个都是“有价值的”？这个问题实际上是线性代数特别关心的一个话题，回答了这个问题，就可以帮助我们非常恰当地化简一个方程组。要回答这个问题，我们就需要引入一个新的概念：极大线性无关组；在讲清楚这个概念之前，我们需要了解什么叫做“线性无关”。线性相关与线性无关在一个线性空间*中，如果一组向量 \alpha_{1} ， \alpha_{2} ， \cdots ， \alpha_{s} （其中 s \ge 1 ）从 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+ \cdots + k_{s}\alpha_{s}=0 可以推知 k_{1}=k_{2}= \cdots = k_{s}=0 ，则称这组向量「线性无关」。相应地，在一个线性空间中，如果存在一组不全为零的数 k_{1}，k_{2}，\cdots, k_{s} （其中 s \ge 1 ），使得一组向量\alpha_{1} ， \alpha_{2} ， \cdots ， \alpha_{s}有 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+ \cdots + k_{s}\alpha_{s}=0成立，则称这组向量「线性相关」。以上面的方程组为例：观察这个方程组前两个方程的系数和常数项组成的行向量，令：\left\{ \begin{array}{l} \alpha_{1}=(\ 1\ ,-1\ ,-3\ , -1\ ,\quad1)\\ \alpha_{2}=(\ 1\ , -1\ ,\ 2 \ \ ,-1\ ,\quad 3)\\ \alpha_{3}=(\ 4\ ,-4\ , \ 3 \ \ ,-2\ , \quad10)\\ \alpha_{4}=(\ 2\, -2\ ,-11\ ,\ 4 \ \ , \quad 0)\\ \end{array} \right.对于前两个向量而言：如果计算 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}=0 ，得到的方程组是：\left\{ \begin{array}{l} k_{1}+k_{2}=0\\ -k_{1}-k_{2}=0\\ -3k_{1}+2k_{2}=0\\ -k_{1}-k_{2}=0\\ k_{1}+3k_{2}=0\\ \end{array} \right.实际上这其中第一、二、四个方程是是同一个，整个方程组简化为：\left\{ \begin{array}{l} k_{1}+k_{2}=0\\ -3k_{1}+2k_{2}=0\\ k_{1}+3k_{2}=0\\ \end{array} \right.计算可知： k_{1}=0 ， k_{2}=0 ，这说明 \alpha_{1} 和 \alpha_{2} 是线性无关的。然而、如果我们考虑前三个向量\alpha_{1} 、 \alpha_{2}和 \alpha_{3} ，就可以根据前面的变换轻易地得知： -\alpha{1}-3\alpha{2}+\alpha_{3}=0 ；考虑前四个向量向量\alpha_{1} 、 \alpha_{2}、 \alpha_{3}和 \alpha_{4} ，我们还可以知道： -3\alpha_{1}+\alpha_{2}+0\alpha_{3}+\alpha_{4}=0 ，这说明前：三个向量所组成的向量组是线性相关的；前四个向量组成的向量也是线性相关的。毕竟，矩阵每一行拆开就是一堆向量；把一堆向量拼起来，就是一个矩阵；所以，如果你把\alpha_{1} 、 \alpha_{2}、 \alpha_{3}和 \alpha_{4} 这四个向量排成一列，这不就是一个矩阵吗？而我们关于「矩阵的秩」的定义是这样的：矩阵中所有行向量中极大线性代无关组的元素个数。——而我们前面已经说了，「极大线性无关组」其实就是那个方程组中真正有价值的方程对应的系数向量。现在，相信你一定理解了我们最初的那句话：那些方程组中真正是干货的方程个数，就是这个方程组对应矩阵的秩。希望我的解释能够对你有所帮助，也欢迎你关注我的知乎专栏：我会在这里持续为你更新我撰写的《线性代数》教学笔记；微信搜索「何李圆桌」并回复『线性代数』四字，你还可以下载5份LaTeX版讲义，祝你学习顺利。本文作者@Heshawn，点击关注，转载需授权。利益相关：知乎『线性代数』系列Live主讲人

我要回帖

更多关于 空间向量的值是什么意思 的文章

 

随机推荐