隐函数为什么能直接求导求导两边对x求导是什么意思？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-15 12:53 标签： 隐函数为什么能直接求导

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1、0),(. 1 yxF一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yF

6、F、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu

定理证明略。仅推导偏导数公式如下定理证明略。仅推导偏导数公式如下xvxu,这是关于这是关于 的方程组的方程组 0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组有隐函数组则则 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyx

的某邻域内系数行列式的某邻域内系数行列式),(),(1xuGFJxv同样可得同样可得),(),(1),(),(1yuGFJyvvyGFJyu 解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项

好想吐槽专栏不支持公式编辑(╬▔皿▔)

    我们先来“欣赏”一下隐函数的定义（看看你们能不能懂）

    那么我们如何求出隐函数的导数呢？很明显，我们需要用到复合函数求导法则（链式求导法则）

    注意，这个结果并不是2y，因为这个导数是对x求导（看分母，是dx，而不是dy）。所以我们要使用链式求导法则

     这个式子是完全正确的，因为分母是dy，也就是对y进行求导。

    这就是最终结果（为什么会有dy/dx，因为这是对x求导，而不是对y求导，所以根据链式求导最终结果会包含一个dy/dx）

明显的，我们现在等号左右两边分别加上d/dx

等号右边的导数为0，左边的话。。。我们注意到Ax这一项的导数明显为A，但By呢？

我们先来单独研究By这一项

根据链式求导法则，有:

这就是最终结果了，细心的读者会发现，这不就是直线方程的斜率嘛！！没错，在导数那一篇我提到过，线性函数的导数就是斜率

一个稍难得例子，求方程

看起来有点棘手，实际上是个比较简单的乘积法则运用

现在等号两边添加d/dx

右边比较简单，我们可以迅速得到右边的导数

左边我们又要用到隐函数求导了，但是我们还要用乘积法则。

那这个du/dx该怎么求呢？很明显隐函数求导！

接下来只用移项了，得到

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