求有理标准型求法例题函数的积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-15 12:53 标签： 待定系数法求不定积分

  • 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
    2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
    3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变
    量代换解某些微分方程。
    4． 会用降阶法解下列微分方程： 
    5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
    6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶
    的常系数齐次线性微分方程。
    7. 求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
    8. 会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
    9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
    1、 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
    2、 可降阶的高阶微分方程 
    3、 二阶常系数齐次线性微分方程；
    4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

    1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
    2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理；
    3、  自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

  • ●7.1 微分方程的基本概念

    理解微分方程的定义，阶和解的概念。

  • ●7.2 可分离变量的微分方程

    会计算可分离变量的微分方程。

  • ●7.4 一阶线性微分方程

    会用常数变易法求解一阶线性微分方程。

  • ●7.5 可降阶的高阶微分方程

    会计算可降阶的微分方程。

  • ●7.6 高阶线性微分方程

    理解高阶线性微分方程解的结构。

  • ●7.7 二阶常系数齐次线性微分方程

    会计算二阶常系数齐次线性微分方程。

  • ●7.8 二阶常系数非齐次线性微分方程

    会计算简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。

一般情况下，对于有理分式的积分，我们有下列结果： 表4.1 有理分式函数积分的基本类型 基本 形式 积分得 积分得 积分方法 把分母配方 一般型 积分方法 把分子配成 积分方法 化为基本型部分分式 二、三角函数有理式的积分 三角函数的积分题型多，方法也多，常见的题型有： ② ③ ④ ⑤ ① 类型1 对于一般形式的积分 如果用凑微分法不能解决，我们希望找到一种变换 ，使得 都能由 的有理式表示， 就可化为有理函数式的积分 为此令 即 ，则 这样三角函数式的积分 就化成了对变量 的有理函数积分，变换 被称为“万能变换”。 （4.20） 例4.74 求 解 用万能代换法.令 则 于是有 例4.75 求 解 令 ，则 用万能代换法， 得 当 具有下列特性时，可以采用变换: ① 当 时， 时， ② 当 时， ③ 当 例 4.76 求 分析 被积函数具有特点 故令 解 例4.77 求 分析 被积函数具有特点： 故令 解 注：有些三角有理式不需要变量代换可以求解，就 不要使用代换。 如例4.77可以有另外三种方法求解。 方法1 提示： 方法2 提示： 例4.77 求 方法3 提示： 例 4.78 求 解 用凑微分法 类型2 分析 当 至少有一个奇数时，直接凑微分一般 解 原式＝ 分析 当 均为偶数时，用倍角或半角公式也可积分。 可以求解。 例 4.79 求 例4.80 求 原式= 【练习】（1）求积分 （2）求 类型3 分析 该类型把被积函数积化和差即可。 解 原式＝ 类型4 例4.81 求 例 4.82 求 分析 先讨论一般情形 的解题思路。 请同学们自己看书！ 借助于 （其中： ）的思路，假设 其中 为待定常数。于是有 比较等式两边的分子可得 于是 解 原式＝ 把 代入 得 【练习】求积分 例4.82. 求 解: 令 比较同类项系数 , 故 ∴ 原式 说明: 此技巧适用于形为 的积分. 类型5 分析 该类型的一般做法是把分母化成 或 例 4.83 求 解 【练习】求积分 ① ③ 以上题型及其解法汇总见下表。 积分表达式 积分方法 被积函数特点 一般情况 用倍角、半角公式 同为偶数 直接凑微分 至少有一个奇数 和差化积 三、简单无理函数的积分 例4.84 求 解 为了去掉根号，可令 ，则 于是所求积分为： 例4.85 求 解 被积函数中出现了三个根式 、 和 为了同时去掉根号，我们先求得根指数4，2，3的 ,则 所以所求积分为 最小公倍数12. 所以可设 例4.86 求 解一 先变形 为了去掉根号，令 ，则 所以有 解二 令 . 对于无理函数的积分，有下面的结果 令 把 把 配成 积分方法 积分方法 积分方法 配方 积分方法 特殊函数积分小结 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 . 简便 , 作 业 P218：1-24 第4章 不定积分 §4.4 几种特殊函数积分 换元积分法 2 有理函数的积分 3 1 分部积分法 3 3 几种特殊函数的积分 3 4 两个多项式的商表示的函数称之. 有理函数的定义： 一、有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 将有理函数化为部分分式之和. 是有理函数； 真分式 是有理函数； 假分式 难点

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