高等数学，多元函数微分及其应用的微分性，想问下“|Δf-f'x(0,0)x-f'y(0,0)y|”这项怎么来的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-04 00:20 标签： 多元函数微分及其应用

⑴ n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.

⑶ 分数指数幂的意义 ①a n

（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.

2. 指数幂的运算性质

⑴ 指数函数的定义：一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. ⑵ 指数函数的图象及性质

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【中图分类号】G633.6

函数 在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数吗？

解：函数 在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数。因为，取x1∈（-∞，0）， x2∈（0，+∞），例如x1=-1，x2=1，则有f（x1）

2.对问题的解答的不同看法

但对上述解答的正确与否却有不同的看法，有的说此解法对，有的则说不对。对与不对其实并不是上述解答本身对还是错了，而是反应了不同的人对函数单调性定义的理解不同。

2.1 高中数学课本中函数单调性的定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2）那么就说f（x）在区间D上是减函数（decreasing function）.[1]

2.2 对高中数学课本中函数单调性定义的不同看法

有人认为上述解法不对，理由是：

函数的单调性是针对函数定义域中某一区间而言的，而（-∞，0）∪（0，+∞）根本不是一个区间。并且运用下面定理再做强调。

定理 实直线R上至少含有两点的一个集E为连通集，当且仅当E是一个区间。 [2]

由此可以看出，上述观点紧扣函数单调性的定义中“对于定义域I内某个区间D上”这几个字，认为文章一开始提的问题前提不真，当然解答就错了。

而有人则认为上述解法是正确的，认为：

函数 在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数是因为其不满足函数单调性定义中的“当x1

“课本定义使用了‘某个区间D’，没有考虑到定义域的其他情形，显然是一种不周全的定义。比如对于自变量离散变化的情形（在数列中），或定义域为并集的情形等。如果把定义中的‘某个区间D’改为‘数集D’，就能克服以上缺陷和不足，就比较准确和科学了。”[3]

3.高等数学中函数单调性的定义

《数学分析》中这样定义函数的单调性：

定义 函数f（x）在数集A上有定义。如果对A上任意x1与x2，且x1

称函数f（x）在A上严格增加（或严格减少）。如果上述不等式改为

f（x1）≤f（x2）（或f（x1）≥f（x2）），

称函数f（x）在A上单调增加（或单调减少）。

函数f（x）在A上严格增加、严格减少与单调增加、单调减少，统称函数f（x）在A上单调。严格增加与严格减少统称严格单调。如果A是区间，此区间称为函数f（x）的单调区间。[4]

通过对高中数学课本中函数单调性的定义和高等数学中函数单调性定义的比较可以看出，高等数学中函数单调性的定义要比高中数学课本中函数单调性的定义宽泛。由此看来，对文中问题解答的不同看法折射出解答者的不同数学观。第一种观点紧扣高中数学课本中函数单调性的定义的前提条件。这种解答是严谨的，很有说服力的。第二种观点是根据高等数学中函数单调性的定义来解答问题的，当然也是对的，但是不能说高中数学课本中函数单调性的定义不严谨、“不周全”。实际上，高中数学课本中函数单调性的定义是很好的，并且很美，美在其简洁。试想一下，对于刚上高中抽象思维还很弱的高一学生来说，并不容易理解这个概念，困难就在它的简洁上，一简洁就抽象。如果再“周全”一些，恐怕学生就更想不清楚了。一个‘某个区间D上’，学生一下子“看见了”，头脑中有形了。在抽象的概念中却见到了形，以形助数，帮助理解，这难道不好吗？这太好了，对高一学生来说真是一件幸事。

另外，高中数学课本中函数单调性的这种定义，已抓住了主要对象，对一些个别函数的研究实际无大碍，比如函数y=f（x），如果它在区间[a，b]和[c，d]（b≤c）上均是单调递增（减）的，且 f（b）≤f（c）[f（b）≥f（c）]时，函数y=f（x）在区间[a，b]∪[c，d]上当然是单调递增（减）的。但是写成函数y=f（x）在区间[a，b]，[c，d]上是单调递增（减）的也没错。再比如对递增（递减）数列的研究，尤其是运用一次函数和二次函数研究等差数列及和的递增（递减）性，其考察的主要目的是函数思想在数列中的运用，而非函数单调性本身。

等到高等数学里把函数的单调性定义完善了，严谨了，再回过头来看这些问题，则已显得不重要了，甚至微不足道了。所以，数学并不是“处处都是严谨的”，“并不是处处都能严谨的”。根据学生的接受能力，教不那么严谨的数学，这才是活的数学。丢掉细枝末节，抓住概念的本质、核心，这才是正确的数学观。

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修1A版[M].北京：人民教育出版社，2007

[2]吴有昌.（-∞，0）∪（0，+ ∞）是一个区间吗？[J].中学数学教学参考（上），2008，4

[3]李编.中小学数学中的“为什么”[M].福州：福建教育出版社，2012，8

[4]刘玉琏，傅沛仁编.数学分析讲义（上）[M].北京：高等教育出版社，1985

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