如何解决一阶线性微分方程右边为常数y=x+1/e的问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-11 02:30 标签： 一阶线性微分方程右边为常数

这个问题很有意思，这种「先微后积」的方法民间被称为Feynman's Trick

我第一次见到这种方法是高二参加某划水竞赛的时候

当时有一道题遇到了这么一个积分（我里也有提到）

其中常数 a\ge 1 （见图片第10题位置）

这个积分其实设计的非常巧妙，答案里有五种方法：用Riemann sum的解法，用Chebyshev polynomial的解法，转换为物理问题的解法，用留数定理的解法，还有一种就是Feynman's Trick，也是相对比较容易理解的一种做法

1.首先，我们对 t 微分，由 （后面会讨论其证明）得到

特别的，如果上下限是常数 a, b

2.然后，求出 I(t) ，往往求出来会带着一个积分常数

3.最后，通过一个特殊值 I(t_0)=c 解出积分常数

首先，我们对 a 微分（可证一致收敛）

看到这里有的读者可能会问「这个 Leibniz integral rule 是怎么证明的呢？」

很多概率分布的概率密度函数的积分中都会出现这个东西，一种方法是把它平方，化成二重积分，转为极坐标求解，但用Feynman's Trick也同样可以求得。

我们让 t=0 ，因为

接下来我们对 a 求微分，并把积分和微分符号交换

接着我们通过一个万能的三角函数换元 t=\tan\frac{x}{2} ，然后整理一下

这样我们就可以把这个积分拆成两个积分的和

所以，代回上面的式子，我们就能得到

接下来我们只需求出一个特殊值 I(1)

从Feynman's Trick可以延伸出来很多骚操作，比如把待求积分变成一个二阶线性齐次微分方程进行求解，甚至把Feynman's Trick倒过来用（对参数积分）等等，以后有时间再补充。

最后留一道积分给读者练手

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