第三讲 二次函数解析式及其图象变换

模块一 二次函数的解析式

若已知条件为二次函数图象上三点的坐标，通常先设抛物线的解析式为一般式，列出关于a 、b 、c 的方程，求出a 、b 、c 的值，就可以得到二次函数解析式．

若已知顶点坐标、对对称轴、最大值或最小值，通常先设抛物线的解析式为顶点式，再列出方程（组）求待定系数．

若已知与x 轴的两交点（x 1，0)、(x 2，0），通常先设抛物线的解析式为两点式，再列出方程（组）求待定系数.（仅用于选项或打草稿）

例1：（1）一个抛物线经过（0，0）、（－1，1）、（1，9）三点，求这个抛物线的解析式．

（2）一个抛物线的顶点为（3，3）、且经过点（2，1）求这个抛物线的解析式．

（3）一个抛物线经过（－1，0）、（3，0）、（1，4）三点，求这个抛物线的解析式．

练习：（1）一个抛物线经过（－1，20）、（0，8）、（2，8）三点，求这个抛物线解析式．

（2）一个抛物线经过（2，1）、（1，3）两点且对称轴为x ＝－

1，求这个抛物线解析式． （3）一个抛物线经过（－1，3）、（1，3）、（2，6）三点，求这个抛物线的解析式．

例2：（1）已知抛物线y ＝a （x ＋2）2－1交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点的左边）且AB ＝2，求抛物线解析式．

（2）已知二次函数y ＝ax 2＋4a x ＋c 的最大值为4，且图象过点（－3，0），求二次函数的解析式．

练习：（1）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，且图象过点A （3，0）和B （－2，5），求函数的解析式．

二次函数的图像特点及性质二次函数系数与图像的关系二次函数与二次方程的关系二次函数中几个常见的函数二次函数平移

形如y?ax2?bx?c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x，是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

二、二次函数的一般表达式

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以

写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

三、二次函数y?ax2?bx?c的图像性质(轴对称图形)

1. 当a?0时，抛物线开口向上，

时，y随x的增大而减小； 2a

当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最小值．

2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为???．

时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，2a2a2a

四、二次函数的图像与各项系数之间的关系

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下， 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?

?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2a

?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a

?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a

?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a

⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结：

⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

五、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图像与x轴的交点个数：

② 当??0时，图像与x轴只有一个交点；

③ 当??0时，图像与x轴没有交点.

1' 当a?0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0；

2'当a?0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图像与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

六、二次函数的几个特殊的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax

结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结：

结论：上加下减。 总结：

k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，

k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

第二篇：二次函数知识点总结 2000字

（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax（a?0）.

3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是??

（?），对称轴是直线x??.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛

物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线

，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③?0

（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

?l与G有两个交点; ②方程组只有

一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于