排列组合与概率问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-19 10:52 标签： 用排列组合求概率

回归课本一题多变注重整合

——浅谈对《必修②》的复习设想

江苏徐州高级中学（221009）晁瑾

立足教材，注重基础的考察是高考命题的要求之一，在高三复习的中后期，要尽可能地从“浅层次的重复”向“深层次的理解”提升、过渡。教师要深入细致地钻研大纲，研究教材，深入挖掘习题潜在的功能，精心选题，善于对某些习题多角度、全方位、深层次的剖析，培养学生的思维能力，从而提高数学教学质量。笔者以下谈谈对苏教版《必修②》的复习设想，与同行探讨。

例1（苏教版《必修》②P387）

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点。

求证：平面PAC⊥平面PBC

证明：∵PA⊥⊙O所在平面

这是一个非常典型的习题，我们对它进行挖掘、探索、拓广。

设想1：三视图是新增内容，是高考中新的增长点及亮点

变题1：已知三棱锥S-ABC的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：

②平面SBC⊥平面SAB；

③平面SBC⊥平面SAC；

其中所有正确命题的代号是

【思路点拨】此三棱锥实为例题隐去底面圆后的图形，应选①③，如果进一步的在三视图中标注出尺寸，可以继而求出体积和表面积。

设想2：关于球的知识的考察也是高考中常出现的问题，2008年各省试卷中有14道立几题与球有关，其中部分题目与球的内接几何体有关，值得重视！

变题2：在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，侧面PAC和侧面PCB成直二面角，若∠BPC=45°，PC=，求这个三棱锥外接球的体积。

【思路点拨】PB实际就是外接球的直径，体积为。

设想3：空间图形的折叠也是近年的一个新的亮点，通常与其他知识结合，能够较好地考察学生的空间想象、图形变换及识图能力。

变题3：如图1，在平行四边形ABCD中，，E是BD上一个动点，现将该平行四边形沿对角线BD折起，使平面⊥平面，如图2所示

（1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB∥平面EFG，求证：CD∥平面EFG

（2）当图1中AE+EC最小时，求三棱锥A-BEG的体积。

（1）可证明E是BD的中点，进而证明CD∥GE，利用线面平行的判定定理求证；

（2）先确定E点位置是BD的中点，求出S△BGE，再求体积V=。

设想4：线线角、线面角、二面角是高考命题的重点内容，是每年必考的知识点，江苏卷的160分虽然不涉及，但附加题中还是有的。

求二面角B—CD—E的大小。

∴PB⊥CD，又CD⊥PA，∴CD⊥平面PAB，∴∠BDE即为所求

在此题设条件还可以得出如下结论：

（2）求截面CDE把三棱锥P-ABC分成的二部分的体积之比（1：2）

变题5：求异面直线PB和AC的距离。

设想5：探索式、开放式的设问方式，对学生灵活运用知识提出更高的要求。

（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD。

∴不论为何值，恒有EF∥CD,

∴不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC

故当时,平面BEF⊥平面ACD

对课本习题适当的演变、引伸、拓广，不仅能提高学生的应变能力、探索能力，还能激发学生的思维的广阔性、发散性，使学生从不同的角度去观察问题、思考问题，从而提高学生思维过程的整体性、严密性、培养学生的综合素质。

还可将立几与多种知识进行整合,熟悉相关题型的特征,探索解题规律。

例2：对于任意长方体A，是否存在一个与A等高的长方体B，使得B与A的侧面积之比与体积之比都对于常数k（k≥1）

解：设满足题设的长方体B存在，且设B的底面的长、宽分别为x、y，高为h，A的底面的长、宽分别为a、b，高为h，则由题意可列出方程组

这样，可把x、y看作关于t的一元二次方程的两个根.

且,∴原方程组有正数解,故满足题设条件的长方体存在.

点评：本题考察长方体的有关概念，运用了判别式和方程思想，将几何问题代数化，体现了知识之间的相互联系和整合应用。

变题5中异面直线PB和AC的距离的求解，实际上就是求异面直线上任意两点间的距离的最小值。通过构造函数，利用求函数的最值来求异面直线间的距离，使问题得到解决,类似的问题有很多,在此就不举例了。

3、与排列组合、概率的整合

例3：以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为.

解:平行六面体共8个顶点,则可构成三角形个,随机抽取两个为.平行六面体每一个面上及每个对角线上确定的三角形为个.从中任取两个即有个共面.记事件A为“两个三角形共面”,则,所求两个三角形不共面的概率为.

4、与向量、解析几何的整合

例4：圆锥的轴截面SAB是边长为2的正三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为.

故P点形成的轨迹是底面的单位圆的一条弦,由可计算出弦长为.

点评:本题以空间直线的位置关系为依托,研究平面解析几何的点的轨迹问题,立意新颖,构思精巧,能够有效地考察学生的思维能力。

“来源课本、高于课本”和“在知识网络的交汇点处设计试题”是近几年高考命题改革强调的重要理念。在复习备考过程中，要“以纲为纲，以本为本”，注重基础，注重理解，打破章节界限，把握好知识间的纵横联系与整合，形成有序的网络化的知识体系，则胜利就会在掌握之中。

数量关系自认为最难的题，但又是最简单的题，而且是必出的题当属概率＋排列组合这俩模块了。

        不知不觉省考剩下50多天了，这50多天要想行测更上一层楼，除了保证资料分析等模块的准确率（70%-80%），数量关系也不可以丢太多的分数，而数量关系自认为最难的题，但又是最简单的题，而且是必出的题当属概率＋排列组合这俩模块了。

        几乎每套真题里都会出两到三个题，因此，排列组合和概率是不能够丢分的。但是由于排列组合和概率十分的抽象，很多意思理解不透导致很多小伙伴只能望分兴叹。

        本人不才也为了自己行测多提升一些分数，将自己的高中数学课本拿了出来，问了以前的班主任重新把排列组合和概率温习了一遍，在这个帖子里，我会用一周的时间把排列组合和概率的基本题型及解答技巧分享出来，也请大神能给予一定的补充和支持，互相学习互相进步，争取省考集体上岸，废话不多说先上图。

        以上是我关于排列组合所涉及到的一些知识进行了总结，因为排列组合紧跟着的是杨辉三角＋二项式定理，但是公务员考试不考这些。所以就没有总结出来，今天给大家分享两个特别简单也特别易懂的两种方法，相邻问题捆绑法和相离问题插空法。

        在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素比做一个大元素进行分析。这种方法关键在于捆绑以及解绑，如果有特殊要求就需要进行解绑的操作，也就是将捆绑的要素进行排列或者组合，并利用分类或者分步原理进行最终的计算。

        首先我们看一共是6名同学排成一排，那就需要排列，而甲乙丙三人必须排在一起，那就需要把甲乙丙绑在一起，那么一共是四个元素进行排列，共有A（4,4）种排法，而甲乙丙本身需要进行解绑排列，共有A（3,3）种方法，依据分步原理，分步是乘法所以 答案就是A（4,4）*A（3,3）=144种排列方法

        不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其他元素将其隔开。此类问题可以先排其他元素，再将所指定的不相邻的元素插入到他们的间隙或者两端（注意：一些题目可能对插空有一定的要求，这里一定要注意题干要求）

        由于题干要求任何两个舞蹈节目不能相邻，所以优先排列6个歌唱节目。共有A（6,6）种排法，这6个舞蹈节目的空隙共有七个（包括两端）则有A（7,4）种排法，利用分步计数原理，排列方法共有A（6,6）*A（7,4）=604800种排法

        这两种方法是排列组合最最简单和常用的方法，明天我会继续更新其他方法，一共是在12种左右。我也会把一些典型的变型题找出来与大家分享，毕竟这是只要想得到就很简单做出来的题，加油吧。

日常方法更新之错位重排法

其实这种方法在前边的例题中有所体现，但是绝不是分两种情况的。这次给大家更新几种特殊值。

D1=0（D1代表1个元素的错位重排）

排列组合十二题型，第十一，十二种

        排列组合的基本问题终于结束了，今天看那些80+分数的大神的总结，基本上数学运算这些题是必拿分的。也就是说各位的答题速度必须进一步的加快了，省考比国考少十道题左右（针对内蒙古省考），所以我会进行一次内蒙古省考的考情分析。助力大家能够有针对性的备考，也算是对自己这几套卷子的一个小总结吧。会借鉴一些资料请大家见谅。

第十一种：选派问题先取后排法

        先从4个小球种任取2个有C（4,2）种，因为题目要求是恰有一个空盒子，则注定要有一个盒子里存两个，再把这些球分成三堆，进行全排列共有A（4,3）种排列方法，则共有A（4,3）*C（4,2）=144种

第十二种：复杂排列组合问题构造模型法

        大神路过的话请多多补充。如果有写的不好的地方请提出来让我们共同进步，明天起每日更新一道排列组合问题，并同步更新概率的基本思路和方法。到省考让我们都抓住这几分，集体上岸。

排列组合十二题型，第九，十种

        今天给大家更新排列组合十二种题型的第八，九种，不知不觉也快结束了，小伙伴们对排列组合有没有从前的那种熟悉感了呢。在介绍完方法，我会同步更新概率以及一些综合性较强的排列组合的例题，助力大家就把这两三分拿下。

第九种：多排问题单排法

第十种：至少问题间接法

        定义：这里说一句，含至少或者至多的问题，通常用分类的方法，而间接法（也叫排除法）适用于反面情况明确且易于计算，所以要具体问题具体分析。

        以上两种方法，适用于可能会把你带沟里的题目。一些题目看着很唬人，实际上很简单，看你们够不够细心了。

排列组合十二题型，第七，八种

        今天给大家更新十二题型的第七，八种，昨天的那道例题的第二种方法大家想出来没。其实转换下思路就能想得出来，首先我们先排首位，首位不能为0。所以有A（5,1）种排法，在直接排个位和十位，因为个位和十位的要求固定所以共有C（5,2）种排法，最后再排剩下的三位，一共A（3,3）种。所以一共的排列方法A（5,1）*C（5,2）*A（3,3）种

第七种：交叉问题集合法

第八种：定位问题优限法

        计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起且水彩画不放在两端，问有多少种不同陈列方式。

        排列组合问题中一个最重要的要素就是不重不漏，而方法多样，多种方法也存在交叉，需要小伙伴们开动脑筋。但是计算量不大，很好拿分。

排列组合十二题型，第五，六种

        今天的更新来了哦，练习题大家都做了没，其实答案很简单。要是对整体进行全排列的话一共是A（7,7）种，而女生单独进行排列一共有A（3,3）种，则答案就是A（7,7）/A（3,3）种

第五种：有需分配问题逐分法

第六种：多元问题分类法

排列组合十二题型，第三，四种

        要求是七个桔子分给四个小朋友，每人手里必须要有一个，所以就转化成插空问题，在七个桔子中间的六个空隙里随机插入三个板子，则共有C（6,3）=20种

        在排列问题种限制某几个元素必须保持一定的顺序称之为定序问题。这类题目的解题思路是把这几个元素与其他元素一起进行全排列，然后再用总的排列去除以这一种排列方式。

        信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗，2面白旗，把这五面旗挂上去，可表示不同信号的种类数有多少

        4名男生，3名女生,。3名女生高矮不互等，现将7名学生排成一排，要求女生从左到右按照从矮到高的顺序排列，问有多少种排列方法。

四：标号排位问题分步法

        把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题，求解这类问题可先把某个元素按照规定排放，第二步在排另一个元素，以此类推。

        这道题可以看作把数字1,2,3,4填入标号1,2,3,4的四个方格里，每格一个数。首先把1填入方格中（不包括1）有 C（3,1）种，再讲第二个数填到剩下三个方格里，也有C（3,1）种，将余下的两个数字填入表格中共一种 则结果共有C（3,1）*C（3,1）*1=9种

三.如何求正整数n所有可能的整数组合

四.如何用一个随机函数得到另外一个随机函数

五.如何等概率地从大小为n的数组中选取m个整数

我要回帖

更多关于 用排列组合求概率 的文章

 

随机推荐