原理是泰勒公式吧？而不是等价无穷小

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-29 13:23 标签： 等价无穷小和泰勒公式可以同时用吗

1、等价无穷小代换，并不在于 x 趋向于什么，而在于函数的分子、分母、幂次、复合变量的结果趋向于什么。

2、但是在教学中，常常误导为等价无穷小代换 sinx / x = x / x = 1。这个前提是 x 趋向于 0。

当x→0时，等价无穷小：

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1、等价无穷小代换，并不在于 x 趋向于什么，而在于函数的分子、分母、
幂次、复合变量的结果趋向于什么。

2、sinx/x，原本是一个极为重要的 special limit，我们翻译成重要极限。
这个前提是 x 趋向于 0。

3、微积分中的很多公式，不是看形式，而是看含义，也就是公式的意思。本回答被提问者和网友采纳

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1、精品文档精品文档等价无穷小求函数极限1 绪论1.1 研究背景和意义极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。现有的极限问题的求解方法主要有以下几种: 定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、

2、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方

3、法解决实际问题。用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。针对等价无穷小求函数极限的问题本文将进行以下研究：(1) 等价无穷小求函数极限的相关概念；(2) 等价无穷小代换再求函数极限问

4、题中的相关定理及证明； (3)等价无穷小的应用。1.2 研究现状等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一。在数学分析和高等数学中等价无穷小的性质虽然仅仅在“无穷小的比较”中出现过,但是,在判定广义积分、级数的敛散性时，无穷小也表现出了很好的性质,这说明等价无穷小量的性质正在逐步推广。目前,随着技术的进步及迅速发展,社会各个领域中等价无穷小量的作用越来越突出，我们相信,在不久的将来,等价无穷小量将会延伸到更多领域,并且会对我们人类产生更深远的影响。虽然人们对等价无穷小量的研究范围逐渐扩大，研究形式日益广泛，研究内容日益深入，研究成果不断出新，但仍然存在许多问题等待我们新时期的学术爱好者

5、去共同探讨,一起解决，因此，对等价无穷小在求函数极限中的应用及推广的意义和作用还需要我们更加深入的对其进行探讨和学习研究。在数学分析中,求函数的极限是最基本的问题之一,也是数学分析学习的重0点。在这些求极限的问题中,最不好掌握的便是 0 型这类不定式的极限,一般见到这一类型的问题,最容易想到的便是洛比达法则。事实上,洛必达法则也不是万能的,一些问题可能会越用越复杂,并且出现循环,求不出结果。例如一个求极限问题 limsin(tan x) 1 ,它是一个 0 型的不定式极限。用洛比达法则求解如下,x0+tan(sin x)01 sin(tan x)- 12 xtan(sin x)=lim 22c

xx0佳的,它的使用也具有局限性。在这里我们看到了等价无穷小量有着无可比拟的作用,用等价无穷小量来替换能够很快地求出结果。等价无穷小量替换是计算极限的一种重要方法,然而在目前流行使用的许多版本的数学分析教材中,一般只给出了两个无穷

7、小量积和商的形式等价无穷小量替换定理,接着就强调:只有对所求的极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换,而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意替换2 。1.3 文章结构本文研究的主要对象为等价无穷小函数极限的相关问题，文章的结构如下： 第一章 绪论。本章节中在查阅大量的文献资料的基础上，主要对等价无穷小求函数极限的研究背景研究意义以及研究现状进行了介绍。第二章 基础知识。本章节的主要内容是对等价无穷小以及等价无穷小在求解函数极限中应用的相关概念、定理进行了介绍，主要包括等价无穷小定义，无穷小与函数求极限的关系以及等价无穷小代换及其推广相关定理的证明。第三章 等价无穷小求函数极限的应用

8、及推广。本章节中主要对等价无穷小在求函数极限中的具体应用进行了研究介绍，主要包括等价无穷小在求有限个函数积或商的运算、在极限式中的加减运算、乘方运算以及变上限定积分求解等方面的应用进行了介绍。最后，针对本文所学习研究的内容进行了总结。2 基础知识本文中将对等价无穷小求函数极限的相关概念和方法进行学习研究，本章节中主要对其中的一些概念和定义进行介绍，包括等价无穷小的定义，无穷小代换定理、推广以及相关定理证明等。2.1 等价无穷小相关概念2.1.1 相关定义定义 2.1：对于函数 f (x) 的极限趋近方式，主要有 7 种，包括n 数列 xn0的极限、 x （ x + 、 x - ）函数 f (x

10、(-1)n(3)Q lim= 0, 函数是当n 时的无穷小量。nnn这里需要我们注意的是，无穷小不等同于很小的数；根据上面对无穷小的定义，零是唯一一个可以看作是无穷小的常数，除此之外的任意常数都不是无穷小。0定义 2.32设当 xx 时, f 与 g 均为无穷小量,若lim f (x) = 1 ,则称 f 与 gxx0 g(x)是当 xx0 时的等价无穷小量。记作 f (x)

众所周知，无穷小存在高阶、低阶和同阶（等价）的比较，那么无穷大是否也有类似的比较呢？

先给出无穷大和无穷小的定义：

无穷小：对于任给的正数 \varepsilon （无论它多么小），总存在正数 \delta （或正数 M

如定义中所给“无论它多么小”和“不论它多么大”，都表示一个数，而无穷大和无穷小并不是一个数，而是一个变量，这一定要搞清楚！

不过，再进行比较之前，我们要知道在考研范围内有哪些具象的无穷大！

无穷大常用的类型有五种！

即对数、幂次函数、指数、阶乘函数和幂指函数！

按照以上顺序，后者依次为前者的高阶无穷大！

证明如下（以下均使用海涅定理连续化，故不在赘述）：

由于阶乘无法连续化，故无法使用洛必达，但根据Stirling公式（很多证明方法，但考研数学内不要求，故在此不予赘述）可知

tips:你可以不会证明，但一定要记住这个无穷大的“阶数比较顺序”

类似于等价无穷小（泰勒公式）遵循最低幂次原则（具体请看），无穷大也存在等价无穷大的概念，一般称之为“抓大头”原则,我们通过实例来说明这个问题！

Q2：无穷大在极限中的应用

我们通过以下8个例子，使用常用方法和等价无穷大两种方法进行对比计算分析，进而阐述等价无穷大的方法在这类题型中的通用性、简便性和局限性！

一般解法：凑定积分定义

一般解法：倒代换+等价无穷小

我们在探讨复杂函数的等价无穷小时（具体请看），就知道，辅导书所阐述的等价无穷小之所以在计算极限时容易出错，最关键的就在于加减过程中低阶无穷小幂次项的抵消，即等于0，所以，我们必须遵循最小幂次原则，即等价于加减之后的最低幂次项数的无穷小。
无穷大也存在同样的问题，当面临加减时，如果像此题一样，最高阶的无穷大 \sqrt{x^2}- \sqrt[3]{x^3} 抵消为0，那么，我们就要考虑较之低阶的无穷大，但是，由于无穷大的复杂函数的幂次项的展开式在考研数学范围内并没有深入探讨，所以，我们使用等价无穷大的思想来做题，就会很困难。
但是，值得注意的是，我们知道当遇到加减情况时，使用等价无穷大的方法时，如果结果为0，一般来说就失效了，幸好，我们可以转化为无穷小的方式来探讨，无穷小相信大家都已经很熟悉了。
不过，当加减结果不为0，那么，这种方法是没有问题的！

通过以上的例题分析可知，等价无穷大有以下几个特点！

1.无穷大不能简单的化为单一的幂次函数形式，所以给出了常用的无穷大的类型；

2.无穷大也存在“抵消”情况，由于无穷大化幂困难，这种情况下，请转化为无穷小来处理；

3.无穷大涉及到的数乘、加减和乘积等运算时，和无穷小具有类似的运算法则。

tips：需要注意的是，无穷大、无穷小的概念和传统的实数定义完全不是一个概念，所以，在处理时，无论是涉及到运算法则还是集合规范都要注意合规性！

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