1、利用方格纸和割补、拼摆等方法，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。

2.认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。

（二）教材说明和教学建议

1.本单元教材包括四部分内容：平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积和组合图形的面积。

2.因为平行四边形、三角形和梯形面积计算联系比较紧密，本单元教材把它们编排在一起。教材编排注意突出以下特点。

①加强知识之间的联系，根据面积计算之间的内存联系安排教学顺序，以促进知识的迁移和学习能力的提高。

②体现动手操作、合作学习的学习方式，让学生经历自主探索的过程。

③注意练习的探索性，形式多样化，以促进学生对计算公式的理解和灵活运用。

1、重视动手操作与实验。

2、引导学生探究，渗透“转化”思想。

3、注意培养学生用多种策略解决问题的意识和能力。

4．本单元可以用9课时进行教学。

平行四边形的面积（2）

1．平行四边形面积的计算。

（2）用数方格的方法计算面积。这是一种直观的计量面积的方法，在学习长方形和正方形面积计算时学生已经使用过，但是像平行四边形这样两边不成直角的图形该如何数？对学生讲是一个新问题。教材给出提示，不满一格的都按半格计算。教材安排同时数一个长方形和一个平行四边形的面积，再对它们的底（长）、高（宽）

（3）探究平行四边形面积计算公式。

可能不知怎样去思考。可以出示一些问题引导学生思考。

①拼出的长方形和原来的平行四边形比，面积变了没有？

②拼出的长方形的长和宽与原来的平行一四边形的底和高有什么关系？

③你能根据长方形面积的计算公式推导出平行四边形的面积计算公式吗？

第四步进行全班交流，要求学生叙述出自己的推导过程。

在此基础上利用多媒体课件或教具进行演示（如第81页的图），注意在演示过程中显示平移的方法。边演示边推导：

我们把一个平行四边形转化成为一个长方形，它的面积与原来的平行四边形的面积相等。

这个长方形的长与平行四边形的底相等，这个长方形的宽与平行四边形的高相等，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。

2．平行四边形面积计算公式的应用。

可以先让学生试做，再通过集体订正检查掌握情况。3．关于练习十五一些习题的说明和教学建议。’

第1、4题是应用问题，第1题直接应用公式计算‘第4题要进行面积单位的化聚和除法计算。可在分析讨论题意的基础上让学生独立完成，再交流做法和结果，强调注意面积单位的变化。

第2题要求学生自己想办法求出平行四边形的面积，有一定的探索性。学生需要先画出平行四边形一边上的高，再量出底和高的长度，最后应用公式进行计算。

可以让学生先讨论再计算，也可让学生先独立做，再交流方法和结果。注意引导学生知道可以以不同的边作底来求出面积。

第3题是逆用公式的题目，已知平行四边形的面积和底，求高。引导学生依据乘除法的互逆关系学会灵活运用公式或列方程

教学内容：课本第79—83页，例1，练习十五1—4题。

教学目标：通过探究，使学生掌握平行四边形的面积计算公式；会用公式计算平行四边形的面积。

教具准备：平行四边形模型。

教学方法：大组讨论法。

现在请同学们打开回忆的闸门，搜索生活中的图形，并想想这些图形中你已经会求它的什么？再请学生观察课本79页的内容，请学生寻找图中已经知道的图形。

（一）大组讨论（把原来的两个小组合并成一个大组）。

讨论内容：课本第80—81页。

讨论课题：怎样求平行四边形的面积？

（二）大组代表汇报。如：

1、求平行四边形的面积可以用数格子的方法：80页的平行四边形底在6格，高4格，面积24格；长方形长6，宽4，面积24。

2、求平行四边形的面积还可以用公式计算，平行四边形的面积计算公式是：

s=ah（s表示面积，a表示底，h表示高。）

3、把一个平长四边形，沿着高剪成两个部分，通过移、拼转化成一个长方形；长方形的长相当于平行四边形的底，宽相当于平行四边形的高，面积与平等的面积相等。根据    长方形面积=长×宽

平行四边形面积=底×高

4、还知道沿着平行四边形底的某一点上的高剪开，同样可以拼成一个平行四边形。

先由组与组之间互评，再由老师点评。

小结：平行四边形面积=底×高。s=ah

要求平行四边形的面积，要知道底和高。

s=ah=6×4=24（m）（先写公式，再把数字代入公式）

公式推导：沿着高，把平行四边形剪成两部分，通过移动拼成一个长方形。

公式方法：先写出公式，再找出字母所表示的数，代入公式进行计算。

求下面平行四边形的面积。

2、一个平行四边形，底3.5分米，高5.2分米。

课堂作业：练习十五1—4题。

家庭作业：指导丛书“平行四边形面积1”

教学内容：平行四边形面积计算练习课，课本练习十五5—8题。

教学目标：通过练习，使学生进一步认识平行四边形面积公式的推导过程；会更熟练地用平行四边形面积公式进行计算。

搜索生活和学生中的平行四边形。说说它的面积大约是多少？

平行四边形的面积公式是怎样推导出来的？

用平行四边形面积计算公式求平行四边形面积，应怎样算？

整理：沿着平行四边形的高，把它剪成两个部分，通过移动拼成一个长方形，根据长方形面积计算公式，推导出平行四边形面积计算公式是：

平行四边形面积=底×高

1、计算平行四边形面积。

①平行四边形的底是3.6厘米，高是8厘米，面积是多少平方厘米？

②平行四边形的底是15分米，高是底的倍，面积是多少平方分米？

③平行四边形的底是1米，高是18分米，面积是多少平方分米？

①有一个平行四边形，两组底分别是6厘米和4厘米，已知其中一组底的高是5厘米，面积是多少平方厘米？

②课本练习十五第8题。

③一个用木条做成的一个长方形框架，把它拉成平行四边形后，面积有变化吗？周长呢？

④数一数，每个图形的面积（不满一格的按半格算）单位：cm

课堂作业：练习十五5—7题；

家庭作业：指导丛书“平行四边形面积（二）”。

教学内容：三角形的的面积，例2，练习十六1—4题。

教学目标：了解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形面积的计算公式，会用三角形面积计算公式求三角形的面积。

教学方法：大组讨论法。

教具准备：三角形面积公式推导器。

同学们，你知道本节课我们要学习什么内容吗？（三角形面积）。请你搜索生活中的三角形，并说说它的面积大约是多少？

上次作业中的错题分析。

内容：课本第84页的内容。

课题：动动玩玩，探索三角形的面积公式的的推导。

动动玩玩，探索三角形的面积公式的的推导。如：

用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，会拼三种：

把两个完全一样的三角形重合，把其中一个三角形水平翻转后再垂直翻转，平移，拼成一个平行四边形。

平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，平行四边形的面积等于三角形的面积。

根据平行四边形的面积=底×高，

S=ah÷2（S表示三角形的面积，a表示三角形的底，h表示三角形的高。）

记住三角形的面积计算公式，并能用字母表示三角形的面积计算公式。

三角形的面积=底×高，用字母表示：S=ah÷2

怎样用三角形的面积计算公式求三角形的面积。

例2：红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米？

2000年前，我国数学名著《九章算术》中的“方田术曰，广从步数相乘得积步。”

1、第85页的做一做；

2、看图求三角形面积。

已知三角形的底是5分米，高是10厘米。

1、课堂作业：练习十六1—4题。

2、家庭作业：指导丛书“三角形面积（二）”

教学内容：三角形面积练习课，练习十六5—8题。

教学目标：通过练习，进一步掌握三角形面积计算方法，更熟练地进行三角形面积计算，掌握计算三角形面积的技能和技巧。

同学们，在生活中见过三角形吗？说说它是什么三角形？面积大约是多少？

1、分析上次作业中的错例。

2、再次操作：用两个一样的三角形去拼，能拼成什么图形？（平行四边形、长方形、正方形）。

3、说说三角形面积公式的推导过程：（用两个完全一样的三角形，通过旋转拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底相当于三角形的底，高相当于三角形的高，面积等于三角形的两倍）。

根据平行四边形面积=底×高

三角形面积=底×高÷2

用s表示三角形面积，a表示三角形的底，h表示三角形的高，s=a×h

三角形面积：①三角形面积公式的推导；

②三角形的面积公式：s=a×h

1、看图求三角形的面积

2、求图中阴影部分的面积。

3、练习十六8、9题。

4、有一块三角形地，底是15米，是高的3倍。这块三角形的面积是多少平方米？

5、一个三角形，底是5厘米，面积是20平方厘米，高是多少厘米？

课堂作业：练习十六5—7题。

家庭作业：指导丛书“三角形面积（二）”；小灵通有关内容。

教学内容：梯形面积，例3，第89页的做一做，练习十七的1—3题。

教学目标：使学生知道梯形面积公式的推导过程，会使用梯形面积公式求梯形面积。

教学方法：大组讨论法。

1、请学生搜索生活中的梯形。

师：你在学习、生活中见过梯形吗？想想它的面积大约有多大？

2、分析上次作业中的错例。

3、回顾平行四边形面积公式的推导过程：把平行四边形割成两个部分，补成一个长方形（割补）；三角形面积公式的推导过程：把两个一样的三角形拼摆成一个平行四边形

二、探索梯形的面积公式推导过程。

1、把学生组成五组，每六、七人。

2、操作：用准备好的硬纸、剪刀、尺子剪一至两个梯形。

3、把梯形转化成已学过的能求面积的图形，推导梯形面积公式的推导。

4、大组代表汇报梯形面积公式的推导过程。

①把两个一样的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底是梯形上底与下底的和；高等于梯形的高，面积等于梯形的两倍。根据平行四边形的面积=底×高，推导出：

梯形的面积=（上底 下底）×高÷2

②把一个梯形割成两个三角形，根据两个三角形面积的和等于梯形的面积推导出：

梯形面积=（上底 下底）×高÷2

③把一个梯形割成一个平行四边形和一个三角形，根据梯形面积=平行四边形面积 三角形面积推导出梯形的面积公式。

④在梯形的中线处画一条与底平衡的线段，把梯形割成两个小梯形，再拼成一个平行四边形，根据两个小梯形的面积和等于大梯形的面积推导出梯形的面积公式。

5、回顾第一个推导方法：把两个一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形底相当于梯形的上底与下底的和，平行四边形的高等于梯的底，平行四边形的面积等于梯形面积的两倍。

如果用s表示梯形面积，a梯形的底，h表示梯形的高，那么s=（a h）÷2

三、探索梯形面积的计算

1、例3，堤坝的横截面是梯形，出示堤坝教具。找出梯形的上底、下底和高各是多少？

2、小结：求梯形面积，先写出公式，再把数字代入公式，然后计算。

1、课本第89页的做一做。

2、岭里水库的右半渠的横截面是梯形，渠面宽3米，渠底宽2米，渠高1.5米。求横截面的面积。

3、求图中阴影部分的面积。

课堂作业：练习十七1—3题。

家庭作业：指导丛书“梯形面积（一）”，小灵通的有关内容。

教学内容：梯形面积练习课，练习十七4—8题。

教学目标：通过练习，使学生更熟练地掌握梯形面积公式的推导方法，更熟练地掌握梯形面积公式，并用公式求梯形面积；掌握一些解答技能问题的技巧。

①请学生说说梯形面积公式的推导过程，并说说梯形面积的计算公式，说说用字母表示的梯形面积计算公式。

梯形面积公式的推导，梯形面积计算公式，梯形面积计算。

①说说梯形面积的推导过程；

②一个梯形，上底与下底的和是28分米，高8米，面积是多少平方米？

课堂作业：练习十七5—7题。

家庭作业：指导丛书“梯形面积（二）”，小灵通有关内容。

教学内容：组合图形的面积，例4，练习十八1—3题。

教学目标：通过教学，使学生掌握求组合图形可以把图形割成几个小图形，也可以被成一个大图形。知道求组合图形可以用割法和补法。

在生活、学习、工作中会遇到许多由几个小图形组成的大图形。你们遇到过吗？说说看。本节我们就来研究组合图形的面积计算。

二、研究求组合图形面积的计算方法。

1、组织学生进行小组讨论：

内容：第92页，第93页的例4。

课题：用什么方法求组合图形的面积，怎样求组合图形的面积。

2、小组代表汇报。如：

中队旗是由两个一样的梯形组成，或由两个三角形与一个长方形组成；

房子由一个三角形、一个长方形、四个正方形组成。

风筝由四个三角形组成；

七巧板由五个三角形、一个正方形和一个平行四边形组成；

窗户上有组合图形，飞机模型上有组合图形；汽车上有组合模型……。

例4、我是把图形割成一个三角形和一个正方形来算：5×5 5×2÷2=30（m）

我是把图形割成两个一样的梯形来算：（5 2 5）×（5÷2）÷2=30（m）

组合图形面积可以把一个组合图形割成几个图形来算。

1、课本第93页的做一做。（提示：你是怎样算的？）

2、量出所需数据，求出中队旗图形的面积。

把图形割成两个一样的梯：（2.7 3.7）×（2.7÷2）÷2×2=8.64（平方厘米）

把图形割成一个长方形和两个三角形：

课堂作业：练习十八1—3题。

家庭作业：指导丛书“梯形面积（一）”，小灵通有关内容。

教学内容：组合图形的面积练习课，练习十八4—8题。

教学目标：通过练习，使学生熟练地掌握用割补计算组合图形的面积。

1、请学生说说你已经掌握了哪些方法来计算组合图形的面积。

2、说说下图你打算怎样计算图形的面积。

求组合图形的面积：用割补法把组合图形分解成几个已学过和图形再求。

1、求下列组合图形的面积。

3、如图在平行四边形草坪中挖一个水池，使水池每边边沿到草坪边沿的距离相等，求草坪的面积。（单位：米）

课堂作业：练习十八4—7题。

家庭作业：指导丛书“组合图形面积（二）”，小灵通的有关内容。

教学内容：课本第96—97页，练习十九1—4题。

教学目标：通过整理和复习，使学生更熟练地掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式的推导及面积的计算。提高计算组合图形面积的能力。培养学生认识几何图形的能力，发展学生的想象能力。

1、完成整理和复习的1、2题；

2、说说平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是怎样得来的，怎样计算平行四边形、三角形、梯形以及组合图形的面积。

3、小结：平行四边形的面积计算公式：通过割补，把平行四边形转化成长方形；

三角形的面积计算公式：把两个一样的三角形拼成一个平行四边形；

梯形的面积计算公式：把两个一样梯形拼成一个平行四边形。

计算面积：先写出公式，再把数字代入公式进行计算；

计算组合图形面积：把组合图形割补成几个图形。

2、求下列图形的面积。

3、一个堤坝的横截面是一个梯形（如图），坝面宽5米，坝底宽8米，坝高7米，这个堤坝的横截面面积是多少平方米？

三、了解课本第96页的“你知道吗？”

课堂作业：练习十九2、3题。

• 在比例尺是1比100的平面图上量得一间房子长8厘米,宽6厘米,这间房子实际占地面积是多少平方米

  这间房子实际占地面积是：8*6=48平方米

  这间房子实际占地面积是48平方米。

• 在比例尺是1：100的平面图上量的一间房子的长为8厘米,宽6厘米,这间房子的实际距离是多少平方米

  实际距离＝图上距离÷比例尺 长：8÷1/100＝800厘米＝8米 宽：6÷1/100＝600厘米＝6米 实际面积是：6×8＝48平方米 这间房子的实际距离是48平方米复制去Google翻译翻译结果

• 在1100的平面图上量得一间房子的长是20厘米,宽为7厘米,这间房子的占地面积是多少平方米

  就是20米X7米，占地140平米。

• 在比例尺为1100的平面图上量的一间房子的长为20CM,宽为7CM这间房间的占地面积是多少平方米

• 在比例尺是1:200的住房设计图上,量得一长方形房屋的长是3厘米,宽是1.5厘米,这间房屋的实际面积是多少平方米

• 日新大厦准备装修底楼大厅的地面.在比例尺是1:100的设计图上,量得大厅平面图长40厘米,宽24厘米.

• 在比例尺是100分之1的平面图上,量得客厅的长是35厘米,其客厅的实际长度是【 】

• 比例尺是1：250.在一幅平面图上量得一间长方形小房子的长为4cm,宽为3cm求这间小房子的图上面积和实际面积分别是多少

• 淘气家的客厅是长方形长6米宽4米他画出的客厅的平面图,长三厘米,宽两厘米请问他所用的比例尺是多少

• 一个周长140厘米的正方行占地面积多少平方米

浅谈平面图形面积计算中的技巧

小学平面图形面积计算一直是教学的难点，基本的图形面积计算学生尚可，但复杂的图形学生往往会感觉到困难，其实许多问题的难并不是真正的难，它的难在于我们学生没有能够阅读清楚题中信息，没有从已知信息中发现解题突破口或者没有能够整体分析数据从而导致理解不清。现结合教学中所遇到的数学问题谈谈如何找准突破口，巧妙解决平面图形面积计算的难题技巧。

突破一：利用对称，出奇制胜

如题，这是一个正方形，图中所标数的单位都是厘米，则阴影部分面积是多少?

本题解题的关键在哪?首先要阅读题目与图中数据，通过阅读先找出能够发现的有用信息——

正方形边长12厘米，面积为144平方厘米

图中阴影部分四边形并非是我们所熟悉的常规四边形，因此要求阴影部分面积必须用正方形面积-空白部分的面积。

再看空白部分——由两个完全相的直角三角形组合而成，每个三角形的面积都可以算，都是正方形面积的四分之一，用6×12÷2=36平方厘米。但问题也在于此，两个一样的三角形有重合，重合部分面积不太好找，怎么办?

这里我们需要借助一个正方形的特征来解决问题，正方形是轴对称图形，对角线也是它的一条对称轴，如图，我们将图形沿AC对折会有一条折迹，OC就是折迹的一部分——

△OCE与△OCF完全重合，面积相等，同样由三角形等底等高面积相等可知△ODE=△OCF，△OBE=△OCE面积相等，那么每个小三角形都是△BCF的三分之一，所以空白部分就是4/3个△BCF=4/3×36=48平方厘米。

所以阴影部分面积=144-48=96平方厘米.

突破二：借用熟题，巧妙重组

如题：如下图有一个长12厘米，宽8厘米的长方形ABCD，已知线段DG、AH、AE、BF的长度依次分别是2、4、6、8厘米，且四边形AEPH的面积是20平方厘米，且四边形PFCG的面积是多少平方厘米?

本题许多孩子会不知如何下手，那肯定是他们阅读条件不细致所致，读题后首先不要想到的是立刻会做，而是要根据已有信息你能想到哪些信息?本题亦然，告诉我们“线段DG、AH、AE、BF的长度依次分别是2、4、6、8厘米”，结合前面条件“一个长12厘米，宽8厘米的长方形ABCD”，我们可以想到什么?对了我们应该可以知道线段CG、HD、BE、FC的长度，分别是：6、8、2、4厘米，这样你就会有这样的发现两条长边所分成的线段AH=FC=4厘米，BF=HD=8厘米，AE=CG=6厘米，BE=DG=2厘米。

但有了这样的发现，你能想到什么呢?怎样才能正确解答本题呢?我们可以对比联想回顾一道旧题——

已知长方形长10厘米，宽6厘米，中心任意一点连接与长边的中点和两宽边的三等分点得4个三角形，求阴影部分面积。相信许多同学还记得如何解答本题，我们不能单独算每个三角形的面积，而是将上下三角形组合，左右三角形组合，每组三角形分别是所在平行四边形面积的一半，从而求出阴影部分面积之和，这是老题不再叙述，但是在这里我们要借用的是老题的解题思路来解决本题——

如图，我们连接AP、CP，你就会发现已知的四边形AEPH与要求的四边形PFCG都被分成了2个三角形，并且△AHP与△CFP等底，同样△AEP与△CGP也是等底，虽然不能单独求出每个三角形的面积，但是却可以求出面积之和。

这样我们可以换一个思路迂回解答，借用旧题的思路先求出四边形AEPH与四边形PFCG的面积之和，再减去四边形AEPH的面积就得到要求的四边形PFCG的面积。

△AHP与△CFP的面积和=平行四边形AHCF的一半=4×8÷2=16平方厘米

突破三：巧妙分拆，组合求解

如图，这个正方形的边长10厘米，图中四边形的面积是多少平方厘米?

许多孩子在处理此题的第一印象是算，算出每个三角形的面积就可以求出内部四边形的面积，问题是三角形面积怎么求?也有孩子想到了赋值的方法，但赋值不能所得答案也不相同，显然此法也不能保证，那么如何思考呢?审视题中条件，有3个数据很特别：2厘米、9厘米、3厘米。为什么放在这里?有什么用?认真观察发现9厘米对计算的作用不大，而另两个数据又应该如何处理呢?直接计算无法进行，那我们就可以换个角度用拆分比的方法来思考，分别作辅助线如下——

两条垂线一作，这样内部四边形被分成五块，四个直角三角形和一个长方形——长方形的长是3厘米，宽是2厘米。

再看4个三角形每个都和它相邻的直角三角形组成一个新的长方形——说明四边形所拆出来的每个三角形都与外部正好有一个三角形面积相等，至此我们得到这样的结果：内部四边形的面积比外部4个三角形的面积正好多一块，中心的长方形的面积——这个面积是6平方厘米。于是求内部四边形的面积转化为和差问题。

大正方形面积：10×10=100平方厘米 小长方形面积：3×2=6平方厘米

内部四边形面积：(6+100)÷2=53平方厘米

突破四：构建对称，转化求解 如题：

阴影部分1的面积比2的面积大18平方厘米，且BD=4厘米，DC=1厘米，则线段AB长多少厘米?

分析：本题许多孩子喜欢用列方程设未知数的方法求解，能够解答，但问题的思考过于复杂，本题最简洁的方法是构建对称，转化求解。那么如何构建?我们可以将FA延长1厘米到N，连接过DN BA相交于M，则ANDC是平行四边形，底边长1厘米，同样可知MADE也是平行四边形如下图——

这样通过比较可知△MBD与△AEF面积相等，△AMN与△ECD面积相等——据上可以进一步得到平行四边形ANDC与长方形ABDF之间的面积关系，面积相差36平方厘米，根据平行四边形ANDC与长方形ABDF等高不等底，可求出AB的长：36÷(4-1)=12厘米。