20.几何学：为什么是数学中最古老的分支？

• 几何学发展的三个阶段。

• （1）.从懵懂的感性认识上升到量化的感性认识。

• （2）.美索不达米亚人发明了角度量化的度量。

• （3）.用书记录他们所发现的规律。

21.公理体系：几何的系统理论从何而来？

• 整个几何学的基础是十条非常简单的公理，它的发展依靠对新定理的发现和通过逻辑推理证明这些定理。

• 如何学几何，不在于多做多少题，做练习的目的是理解这个体系中每个定理的来龙去脉，这样脑子里就有了几何学的导图，遇到新的问题就可以用类似的方法解决。

• 除了那些客观的、被验证了的，或者不证自明的道理，我们做决定时，不要加上过多的主观假设。

22.非欧几何：相对论的数学基础是什么？

• 罗巴切夫斯基假定过直线外一个点，能够做该直线的任意多个平行线。空间就由平时熟悉的方方正正的形状，变成了马鞍形，也成为双曲面。这是罗氏几何。

• 黎曼假定过直线外一点，一条平行线也做不出来，这就是黎曼几何。在黎曼几何中，空间被扭曲成椭圆球的形状。

• 三种几何体系，90%的公理都是相同的，最后差出了一条看似最无关紧要的公理，但是，由此之后，发展出来的知识体系就完全不同了。

• 在不同的应用场景中，有的工具好用，有的费劲，学数学的关键是要学会在什么情况下，指导使用什么工具。

23.解析几何：用代数的方法解决更难的几何题

• 解析几何这种工具在宇宙中是不存在的，完全是笛卡尔等人根据之前的数学理论，按照逻辑凭空构建出来的。

• 学好数学，不是做很多超出自己理解能力的难题，而是把自己有能力理解的知识融会贯通起来。

24.为什么几何能为法律提供理论基础？

• 通过公理化系统建立起一个知识体系，体现出人类创造思想的最高水平。

• 要练习从基本的假设，也就是所说的已知条件出发，采用逻辑客观地推导出结论。要把数学从单纯的脑力练习，变成掌握工具的练习。

25.函数（上）：从静态到动态，从个别到趋势

• （1）.这些函数里面都有变量；

• （2）.他们都有一种对应关系；

• （3）.对应关系都必须是确定的；

• （4）.函数所对应的关系可以通过数学的方法，或者其他方法算出来。

• 有了函数，人类在认识上有了三方面的进步。

• （1）.很容易看出两个变量之间是怎么互相影响；

• （2）.从对具体事物、具体数的关注，变成了对趋势的关注，而且可以非常准确地度量变化趋势所带来的的差异；

• （3）.通过学习几个例题，掌握解决一系列问题的方法。

26.函数（下）：如何通过公式理解因果关系？

• 了解了相关性和必然性的差别，能让我们少犯错误。

• 今天的学术研究通常只能在几个维度研究相关性，因此对于研究的结论，我们要全面看待。

27.向量代数（上）：“方向比努力更重要”是鸡汤吗？

• 在这个世界上，对于大部分物理量和在生活中遇到的数量，不仅需要关心数值的大小，还需要关心方向。

• 每次看到数字时就必须想一想，“是否考虑了方向？”否则就还是停留在小学生对数字的理解程度。

• 往三个方向使力，每一次努力其实都是有成本的，但是很多时候努力相互抵消掉了。

28.向量代数（下）：如何通过向量夹角理解不同“维度”？

• 除非有非常强的推荐，否则简历写得不好经常连第一关都过不了。

• 这些画蛇添足的内容其实稀释了求职者的竞争力。

29.线性代数：“矩阵”到底怎么用？

• 矩阵产生的原因是向量的扩展。

• 将单个计算变成大批量处理，是今天在信息时代要有的思维方式。

30.微分（上）：如何从宏观变化了解微观趋势？

• 导数的本质是对变化快慢的准确量化度量。

• 在任何时刻算出梯度，然后沿着最陡，但是收益最大的路径前进。

• 微积分的第一个思维提升就是练习从宏观趋势中把握微观变化的趋势，认清每一步的方向。

31.微分（下）：搞懂“奇点”，理解“连续性”

• 常说的奇点临近，就是指出现了不连续的情况。

• 导数在数学上更本质的意义，在于它是对于连续性的一种测度，光滑、连续的导数曲线，可以成为判断未来走势的依据。

• 在股市上，如果一家公司的业绩表现总是不平滑变化的，它的股价常常好不了，因为投资人无法预期它的表现。

• 如果一个函数的导数存在，这个函数一定是连续的，但是反过来却未必正确。

32.积分：如何从微观趋势了解宏观变化？

• 积分的第一个意义是能把握每一个细节对最后整体的影响。

• 积分的第二个意义是从微观上每一时刻动态的变化理解宏观上累积的效果。

33.用变化的眼光看最大值和最小值

• 牛顿求解最大值，将最优化问题看成是研究函数动态变化趋势的问题。

34.微积分到底是谁发明的？

• 今后如果要参与到一件前无古人的事情中，就清楚该如何确立自己的位置和角色。

• 对于一项发明，简单追溯最早的发明人是没有意义的，而要看谁做出了具体的贡献。

• 很多人都醉心于从零到一的发现，但是真正伟大的发明需要走完从0到N的全过程，这中间有很长的路，任何时候进入相关的领域都不晚。

35.概率简史：一门来自赌徒的学问

• 每一种不可再分，都是单位事件。单位事件的概率成为原子概率。

• 所有可能发生的情况放在一起，构成了一个随机事件总的集合（也成为概率空间）。

36.伯努利实验：到底如何理解随机性？

• 随机试验得到的结果，和用古典概率算出来的结论可能是两回事。

• 在一般情况下，出现A的概率是p，B的概率是1-p，这类实验后来被称为伯努利实验。

• 实验的次时太少，统计的规律性被实验的随机性掩盖了。

• 有关不确定性的规律，只有在大量随机实验时才显现出来，当实验的次数不足，他则显现出偶然性和随意性。

• 方差其实是对误差的一种度量。

• 对方差开根号一次，得到的结果被称为标准差。

• 越是小概率事件，如果想确保他发生，需要实验的次数比理想的次数越要多得多。

• 提高单次成功率要远比多做实验更重要。

• 由于误差的作用，要确保小概率事件发生，成本要比确保大概率事件的发生高得多。

• 凡事做好充足准备，争取一次性成功，要远比不断尝试小概率事件靠谱的多。

37.泊松分布：为什么保险公司的客户群都很大？

• 如果随机事件A发生的概率是p，进行n次独立的实验，恰巧发生了k次，则相应的概率可以用这样一个公式来计算：

• λ是试验次数n乘以每次实验出现情况的可能性p的乘积。

• 很多人投资总是失败，判断一件事发生的可能性总是有很大的误差，一个重要的原因就是靠直觉和有严重漏洞的逻辑，而不是靠严密的数学逻辑和推导。

• 应对随机性，需要的冗余要比想象的要大。

• 由于随机性的作用，在准备资源时，达到的平均值还是不够的，需要准备一些冗余量。

• 池子越大，越能抵消随机性带来的误差。

38.高斯分布：大概率事件意味着什么？

• 假定事件A经过n次试验后发生了k次，把k的概率分布图画一下，就得到了中间鼓起，像倒扣的钟一样的对称图形。

• 高斯对正态分布的主要贡献在于，他利用概率分布的平均值和标准差来定义了正态分布。

• 两个正态分布重叠区域，表示无法做出判断的情况，这个区域的面积，就是无法做出判断的概率。

• 1-无法做出判断的概率，就是置信度。

• 标准差越大，分布图越扁平，标准差越小，分布越瘦高。

• 实验样本较少时，标准差越大。（个人理解是，样本增大后，各钟样本的增加幅度不同，越靠近均值的，样本增加的个数越多）。

• 图中曲线和X轴之间的面积，就是曲线的积分，面积的大小就代表了高斯分布在某个范围内的概率。

• 股市的风险远远高于大部分人的想象。

• 由于任何一种投资都有标准差（风险），因此对比投资回报时要把它考虑进去，不能只考虑回报不考虑风险。

• 由于偶然性的存在，如果只有很小的均值差异，那可能说明不了什么问题。