求用经济数学基础试题的办法求总收益r相对价格p的函数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-09-13 07:39 标签： 2016经济数学基础答案
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设某商品需求量Q是价格p的单调减函数：Q=Q（p），其需求弹性η=2192-p2＞0．（1）设R为总收益函数，证明=Q（1-η）．（2）求p=6时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义．
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（1）∵R=pQ（p）∴（2）∵=2192-p2∴p＝6＝713≈0.54其经济意义是在p=6时，价格上涨1%，总收益将会提高0.54%
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第一问：将总收益函数写出来，R=pQ（p），对p求导，再用需求对价格的弹性，就可以证明等式．第二问：收益对价格的弹性，，其经济意义是：价格变化一个单位，收益将会变化个单位
本题考点：
导数的几何意义与经济意义．
考点点评：
需求对价格的弹性从实际意义上来讲是小于0的，而题目中需求弹性η＞0，故
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R?(x)?0得x?3
0?x?3时R?(x)?0
x?3时R?(x)?0
∴x?3为极大值点
依题意，此唯一的极大值点即为最大值点，即x?3时有最大收益
此时P?15e?1 ?1
最大收益为R(3)?45e
(3) 设每年的生产准备费与库存费之和为C，批量为x则
C(x)?0000??x??0.05??? x???2?
由C?(x)?140?10x9925得驻点x0?2?10
由C??(x)?2?10x3?0，知驻点为最小值点，
因此，x?20万件时，C最小，此时N?
(4) 设每件商品征收的货物税为a， (?)Cx(?)ax
L(x)?Rx100万20万?5.
?100x?x2?(200?50x?x2)?ax
??2x2?(50?ax)?2 00L?(x)??4x?50?a
令L?(x)?0得x?
税收为T?ax?
T???a)4.此时L(x)取最大值.
(50?a2?) 0
T????12?0∴a?25时T取最大值.
故征收货物税应为25.
(5) C(x)?10000?50x?xx10000x22?x?50?10000x
令C?(x)?0得x?100(x??100舍去) 20000??C(x)??03x
∴x?100时C(x)取得最小值，即产量为100时，平均成本最低.
29.求下列经济应用问题的最大、最小值：
(1) 某商场一年内要分批购进某商品2400件，每件商品批发价为6元(购进)，每件商品每年占用银行资金为10%利率，每批商品的采购费用为160元，问分几批购进时，才能使上述两项开支之和最少(不包括商品批发价)？
(2) 某企业生产产品x件时，总成本函数为C(x)?ax2?bx?c，总收益函数为R(x)?ax??x (a,b,c,?,??0,a??)，当企业按最大利润投产时，对每件产品征收税额为2多少才能使总税额最大？
解 (1) 设分x批购进，两项开支之和为g(x)
g(x)?160x?%
g?(x)?16? 240?6
令g?(x)?0得x?3
g??(x)?2?24?06 ?03x
∴g(x)在x?3取得极小值，由于驻点唯一，所以g(x)在x?3也取最小值.故分三批购进，两项开支之和最少.
(2) 设每件产品税额为t，那么利润为
L(x)?R(x?)C(?x) tx
?(?x2??x)?(ax2?bx?c)?tx (?b?tx)?c，
?(??a)x2??
L?(x)?2?(?ax)???b?t，
令L?(x)?0，得驻点x???b?t2(??a)，又L??(x)?2(??a)?0
所以此时取得最大利润，
总税额为T?tx?
t?(??b?t)t2(??a)?0 ??b?2t2(??a) ??b2
此时总税额最大. ∴征收税额应为??b2. 30.已知某产品产量的变化率是时间t的函数f(t)?at?b (a,b为带数),该此产品的产量为P(t),且P(0)?0,求P(t)
解 依题意得
P'(t)=at+b所以
?(at+b) dt=12at+bt+C2而
P(0)=C=012所以
P(t)=at+bt2
31.设某商品的需求量Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000（即P?0时1，已知需求量的变化率（也除需求）为Q'(P)??1000ln3?()P求需求量关于价格Q?1000）3的弹性. ?1??1?
解 Q(P)??Q'(P)dP???1000ln3??dp?1000???C ?3??3?由Q(0)?10得0C0?PPP0?1?
?(P)?100 ?0??3??需求量关于价格的弹性?1??1000ln3???3??1?1000???3?C?(x)?7?25x，PP
??Q'(P)Q(P)?P????p??Pln3 25x32.已知边际成本为
又C?(x)?7?，固定成本为1000，求总成本函数. C(x)??(7?，∴25x)dx?7x?50x?C
C(0)?1000，∴C?1000C(x)?7x?50x?1000?2.已知边际收益R(x)?a?bx，求收益函数.
R(x)?解 ?(a?bx)dx?ax?b2b2x?Cx22，又R(0)?0， ∴C?0，∴R(x)?ax?
32．汽船所耗燃料与其行进的速度的立方成正比，已知汽船行进中，当速度是10哩/小时时，燃料耗费是a元，其他耗费是b元(人力、保险、以及各种耗费)．问汽船的经济速度是多少？
设汽船的速度是v哩/小时，每小时运行汽船的费用是f元/小时．则 f?kv?b， 3设汽船行进了S哩，则S?vt．总费用是F，则 F?ft?fSv?S(kv?2bv)．
上式两端对v求导，则得 F??S(2kv?bv2)， 由此求出驻点v0?3b2k，且当v?v0时F??0，当v?v0时F??0，即F在v?v0达到极小值．又由题设条件有 k(10)?a， 3从而求得k?a1000，最后得到 ?3．
33.已知边际成本数.
解 应追加的成本数为：?20
34.已知边际成本为0).
C(x)?30C?(x)?100?2x，求当产量由x?20增加到x?30时，应追加的成本C?(x)dx??x)dx?5001 ，求最大利润(设固定成本C?(x)?30?4x，边际收益为R(x)?60?2x?(30?4x)dx?30x?2x?C?30x?2x222(∵固定成本为0) C?0R(x)??(60?2x)dx?60x?x?C，∵R(0)?0，∴
∴R(x)?60x?x2 222L(x)?R(x)?C(x)?60x?x?30x?2x?30x?3x L?(x)?30?6x?0,
L??(x)??6?0 L(5)?75
∴当x?5时有最大利润，最大利润为 x
35.某地区居民购买冰箱的消费支出W?(x)?1200xW(x)的变化率是居民总收入的函数，，当居民收入由4亿元增加至9亿元时，购买冰箱的消费支出增加多少？
解 ?94W?(x)dx??941200xdx?0(亿) 1
故购买冰箱的消费支出增加100亿.
36.某公司按利率10%(连续复利)贷款100万元购买某设备，该设备使用10年后报废，公司每年可收入元.
(1) 为何时，公司不会亏本？
(3) 当b?20bb万元时，求内部利率(应满足的方程), 万元时，求收益的资本价值. 100e0.1?10b?20
解 (1) 10年后这笔贷款的本利和：
10年后的总收益：?
若公司不亏本，则
(2) 设内部利率为100?100?100e be0.1(10?t)?1?dt?10eb??1?e? 100e?10eb(1?e)?1，则b?101?e?1 ?，则 ?10??10020e??tdt?20?(1?e)
即5??1?e?10?
(3) 资本价值=收益流现值-投入资金的现值
??1tdt?100 ?1?200?200e?1?100?100?200e.
37.解下列经济应用问题。

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