【图文】认识图形(二)七巧板的拼组_百度文库
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认识图形(二)七巧板的拼组
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你可能喜欢七巧板用直角变出万千风景
文章出自：中华遗产
有人数过，七巧板能拼出1504幅图形，挣脱束缚地去拼搭，你会发现它能拼出的景象数之不尽。小小的7块板，为什么有这么惊人的表现力？它有什么特别之处，被它抓住的世界的终极秘密又是什么？&七巧板，让欧洲为你疯狂Tangram，翻译成中文叫“唐图”，即七巧板，它的意思是“来自中国的拼图”。据史载，在清朝嘉庆年间初期，七巧板最早传到东洋，日本天保十年（1839），就有名为《七巧图合璧》的翻刻本在日本民间行销。大约在19世纪初叶，七巧板传到了欧洲，公元1805年，欧洲出版了《中国儿童七巧图》，又称《新编中国儿童谜解》，其中有24幅七巧板图，并附有一份木制七巧板。从此七巧板在欧美广为流传。公元1813年，荷兰出版了《七巧图合璧》一书，不久，美、德、英、法、意大利和奥地利等国亦相继翻译出版关于中国七巧板智慧游戏的书籍。公元1864年，英国出版《韦氏大辞典》对七巧板作了介绍，并将“唐图”这个漂亮的名字确定下来。在上述这些书的序言中，皆有这样的褒奖言辞：“这是一种男女老少、达官贵族、平民百姓无不咸宜的消遣游戏，而且它不像其他赌具那样会让您输掉钱财。”七巧板不仅深受各国学者关注与喜爱，还在欧洲历史上留下了许多故事。相传曾经显赫一时的法国皇帝拿破仑·波拿巴在公元1815年滑铁卢战役失败，被流放到大西洋中的圣赫那拿岛时，百无聊赖的他成为了七巧板游戏的狂热爱好者。就是沉浸在七巧板智慧游戏中，他度过了被流放的余生。荷兰著名汉学家、《大唐狄公案》的作者、有“中国小说家”之誉的高罗佩在他的一部公案小说《铁钉案》中，成功地塑造了一个迷恋七巧板的哑童形象。每当这个哑童无法表达意见时，他就巧妙地用七巧板拼凑出来的种种图形表达自己的想法，结果哑童的拼图竟成为破案的线索与重要关键，实令读者为之叹绝。据说欧洲有些著名诗人在创作过程中也曾借鉴于七巧板变化无穷的智慧游戏，从中获得新的启迪与创作灵感。19世纪末20世纪初，有两位著名学者对七巧板游戏着了迷，他俩的名字叫萨姆·洛伊德和杜登奈，他们将毕生的精力投入到对七巧板游戏的探索与研究中，并写出了《唐人第八书》，运用数学原理对七巧板进行许多新的探索。1978年，荷兰学者曾编纂了一本名叫《七巧图》的书，书中搜罗了一千六百多种由七巧板拼凑出来的图形，该书被译成多国文字，在欧洲出版发行，成为风靡一时、男女老少喜爱的畅销书。有这么多名人与人民大众成为七巧板的“狂热爱好者”，这种现象实在令人叹为观止。七巧板也由此一跃成为风行一时的国际性智力玩具。英国皇家学会会员、英中了解协会会长、《中国科学技术史》的作者李约瑟博士曾经赞叹：“中国七巧板比西方魔方、魔棍、魔球更具有迷人的智慧魅力。”帮助周公认识世界的五巧板如此有魅力的七巧板是中国人何时发明的呢？要解开这个问题，我们先得回到古代。相传三千年前，正是西周初年，在治理国家之余，政治家也经常会被一些与世界存在有关的问题而苦恼，周文王第四子周公姬旦就被一些科学的道理缠得很伤脑筋。这天，他终于找到著名数学家商高，将心中的一连串疑惑提了出来：“人们都说伏羲氏测天制历法，到底他是怎么做到的呢？天无台阶可攀，地亦难以尺寸度量，我们怎么能得到制历法的科学依据呢？”商高回答说，要想认识这个世界，人们可以用测量和计算来得知数据。不仅是伏羲氏，连禹也是借由数据来认识世界和改造世界的。然后他又解释说，要想得到关于世界的数据，就必须先制造测量工具。这测量的工具是将一条木头按三、四、五比例分为3段，然后将这3段做成直角三角形，所谓“折矩以为勾（短直角边），广三，股（长直角边）修四，径（斜边）隅五”，这个直角三角形就是我们测量世界的工具“矩”。周公又请教“用矩之道”，商高详细地讲解了各种用矩测量的方法，并拿出一块正方形木板，将它每个边的中间点与邻近边的中间点相连，这样切割出了4块同样的三角形和一块小正方形，用这个道具，商高一边演示一边为周公讲解。当商高这样分割它之后，大正方形变成了8个一模一样的小三角形（中间的“斜立起来的”小正方形也可以分割成4个直角边两两重合的小三角形）。我们都知道，正方形的面积是它边长的平方。假设商高拿出的正方形边长是2，则面积为4，每个小三角型的面积都是总面积的1/8即0.5，而中间的小正方形的面积就是4个小三角形的面积即2。按“正方形的面积是它边长的平方”这个公式，可以推算它的边长是根2（√2）。有趣的是，它的边长正是小三角形的斜边，其平方——2也就是小三角形两条直角边——1各自平方相加的和。这从一个侧面印证了三角形两条直角边的平方的和等于斜边的平方。商高借用木板解释的这个道理，就是我们今天小学数学课本上会学到的勾股定理。勾股定理与测量世界有什么关系呢？换言之，周公问的“距”是怎么帮助他认识世界的呢？古代“矩”又称曲尺，是L形的测量工具，由长短两根木条组成，为直角。“矩形”是“矩”衍生的长方形。而所谓测量世界，如测绘、建筑、天文，和各种工艺制作中的实际需要，其实也就是几何学的目的。早期的几何学就是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，就连几何这个词，最早也是来自于希腊语“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε ǐν”（测量）这两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。在几何学中，所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以它又被称为“几何学的奠基石”。仔细观察一下你的周围，你就会发现人类在实际生活中，遇到的最常见的角度就是直角。比如生长着的树木与地面的角度是直角，我们的房子的4个角是直角，建筑的立柱与大梁的角度是直角，将胳膊伸直的时候胳膊与躯干间的角度也是直角……就连面积单位，如1平方米，也是一个4个角为直角的边长是1米的正方形。再追问直角会如此常见的原因，也许是因为直角是直线上任何平角（180度）的一半，也许是因为人类的视野是180度、其左右两边各有90度。总之只要世界不是一条直线，它里面的万事万物就都会由这条直线演变出来的第一个角度即直角来组成。我们甚至可以说，直角三角形是构成世界的基础。所以，作为第一条揭示直角的秘密的定理，勾股定理也就成为了这个不是一条直线的、平面的即几何的世界的基础了。现在的平面测量工具已经非常先进，而所有这些工具的基础，还是朴素的一把曲尺——直角三角形的“矩”。我们现在很难知道“勾股定理”的发现与总结者是谁，也难以确知它的时代，总之是相当早。后来商高的回答被人总结为“勾股互求之术”，并记载于我国最古老的天文学著作、“算经十书”之一的《周髀算经》中。“髀”原义为股骨，这里指古代测量日影的表尺；“周髀”则意为记载周代传下的一些天文测量算法。在这个传说里，商高与周公姬旦对话时拿出的那一块正方形木板，被切割成了巧妙的5部分，这就是七巧板的鼻祖、由商高首创的五巧板。将五巧板运用于天文测量历算上，充分显示了中华祖先超凡的智慧与才华。不过，当时的五巧板并不等于七巧板，它发展到七巧板应该是经过相当漫长的历史演变过程。但显而易见五巧板与后来的七巧板之间，存在某种内在的血缘关系。如果说，“周公问矩”的这段故事记载得不够详实，大家读来不太解渴，商高的五巧板与现代七巧板之间的关联也有人会觉得不太服气，那么在周公一千年之后出现的“弦图”则被记载在很多文献中，它是公认的最早的拼板。而“弦图”的发明者，是生活在东汉和三国时代吴国的数学家赵爽。他对《周髀算经》进行了深入研究，写成《周髀算经注》。要像解释商高木板一样来解释赵爽的发明可就有点复杂了，简单说，他在《周髀算经注》中，不仅证实了2ab+(b-a)^2=c^2、即a^2＋b^2＝c^2的勾股定理，而且得到了一个可以在实际生产中发生重大作用的思想：图形经过割补后，面积不变。这一思想是商高“用矩来认识世界”的延伸。“周公问矩”解决的是周公的理论困惑，而“弦图”则将勾股定理的理论成就应用到了实际生产中。这一图形是如此伟大，以至于2002年的世界数学大会在众多数学图案中选择了简单又有深意的“弦图”作为其会标。和世界上其他文明的发展一样，田地丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，在赵爽发明了弦图之后，人们学会了用它来丈量土地、计算面积。“图形经过割补后，面积不变”的道理，也可以解释为：一个平面图形从一处移到他处，面积不变。如果把图形分割成若干块，那么各部分面积的和还等于原来图形的面积，所以说图形移动的前后，各面积间的和、差有简单的相等关系。这就是田亩丈量中最重要的基础理论之一——出入相补原理。看起来“一个平面图形从一处移到他处，面积不变”，似乎是一个不需要解释的事实，而在实际生产中，土地会出现各种各样的形状，人的视觉又会产生各种偏差，看似大小不同的形状，用出入相补原理来测量计算之后，很可能会得到一样的结果。赵爽利用“弦图”来解释数学道理的论证方法，叫做“图证法”，而这个效果，如果借助七巧板就可以很直观地看出来。显然我们的祖先不是为了玩而发明的五巧板，但是后来在实际的生产应用之余，这种拼板本身有着无穷变化的性质却渐渐突显了出来，成为魅力无穷的玩具。从数学工具到大众玩具由“勾三股四玄五”拼搭的五巧板，并没有拼搭各种图案的功能，它更像是一种生产生活中比较实用的数学工具，这一功能虽然也被七巧板继承了下来，但七巧板最大的特点乃至风靡世界的最主要原因，是它的巧妙以及富于变化。而这一特点是如何成型的呢？五巧板、“弦图”是怎样幻化成今天的变化万千、乐趣无限的七巧板的呢？这个演进和发展过程的细节已经消散在了历史的尘埃里。唯一能寻到的线索是，在一千多年前的北宋年间，一种名为“燕几图”的物件出现在了人们的生活之中。我们推测，“燕几图”很可能是七巧板形成的历史中的一次重要转变。“燕”是“宴”的谐音，“几”即类似茶几那样的矮桌子，“燕几”就是矮小的宴席桌子。古代宴席上用的桌子，都是一样的长条形，一般6个，也可增至7个，这要看用席者的具体情况。它们或分或合，而分分合合之间，便能拼搭出各种形状与图案，宛若今天的组合家具。这种燕几，至少在南宋以前就十分时兴，因为1194年，宋代著名文学家、书画家黄长睿曾创绘《燕几图》，并在《燕几图序》中介绍道：“燕几图者，纵横离合，变态无穷，率视夫宾朋多寡，杯盘丰约，以为广狭之用。”从这段序文中我们不难看出，燕几有一个重要特征，就是它“善变”：可以自由拼搭、任意组合，在排列方式上的这个重大发展，正是后来的七巧板的最大特点。不过，今天的七巧板并不是由“燕几图”直接演变而来。在四百多年后的1617年，明代又出现了戈汕发明的“蝶几图”。所谓“蝶几”就是将7张长方形的“燕几”，拆成三角形、梯形等如蝶翅状的宴席桌。蝶几与燕几的设计结构是一致的，时人严澂(chéng)大赞它“较燕几为巧”。一个“巧”字，道出了之后七巧板的发展方向，也从形式到思想上，将七巧板与之前的数学工具区别开来，“蝶翅”对《燕几图》的重要突破是完成七巧板的重要前提，它使《燕几图》中的方形小桌摇身变为三角形，使拼出的图形更加丰富多彩。可谓“随意增损，聚散咸宜”，可以“时摊琴书而坐，亲朋至藉觞受枰”，与燕几图有异曲同工之妙。戈汕的蝶几每套有13张，它们大小不同，有的是三角形，有的是梯形，但是这13张一套蝶几组合起来，可以拼成一个正方形的大桌子。七巧板专家傅起凤认为，这种13张一套的蝶几人们用起来稍嫌繁复，她推测后来有人只取其一半，即7张或者6张来使用，很可能是这种减半，促生并最终确定下了之后的七巧板。清代学者俞樾在《茶香室三钞》中认为戈汕发明的蝶几是七巧板的直接原形：“今俗传有七巧牌者，疑出于此。”这一个“疑”字，点出了从“蝶几图”飞渡到七巧板的来龙去脉。到这个时候，现代的七巧板已经呼之欲出了。清代学者陆以湉(tián)在《冷庐杂识·七巧图》中，对燕几图、蝶几图和七巧图的演变历史作了概括性阐述与论证。我们可以由之推测，从“蝶几图”蜕化而到成熟的七巧板是明末清初的事。他在书中指出：北宋黄伯思的燕几图，是用7个长短不同的方几来拼接组合，可以衍生出二十五体，变为六十八名；到明代戈汕作《蝶几谱》记录蝶几的诞生的时候，蝶几已经在燕几的基础上发展出了形如蝶翅的“三角相错形”，它有三式、六制、十三数，可以产生一百多种变化形式；而在作者生活的时代，就已经有了“其式五，其数七，其变化之式多至千余”的七巧图，他认为经由这样漫长历史演变而来的七巧图的特点就是“体物肖形，随手变幻”，它的作用就是当游戏来玩，“盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之”。这时，今天的七巧板已经基本成形了。为什么七巧板可以模拟出世界上任何风景？在历史上，七巧板曾经有过欧式七巧板（毕达哥拉斯板）、日本七巧板、越南七巧板、双七巧板、五巧板、十五巧板（益智图）、十六巧板、二十一巧板等很多兄弟，但是最终流传最广、最为人喜爱的，还是中国的七巧板。这是为什么呢？我们今天在把玩一副中国七巧板的时候，会发现这七块板是由5块等腰直角三角形(两块小三角形、1块中等三角形和两块大三角形)、1块正方形和1块平行四边形组成，它们合起来可以拼成一个大正方形。正方形是矩形（长方形）的一种，所以也可以说七巧板是用以矩形为基础的板块来拼装组合图形的游戏，傅起凤就认为，“源出于勾股法的七巧游戏，就是矩的游戏”。来看这种“矩”的衍生在七巧板里是怎样做到的。详细地说，这七块板里的每一块图板都可以互相组合：两块小三角形可以拼成中等三角形、中等正方形和平行四边形，而这两块小三角形拼成的中等三角形又可以和原有的中等三角形一起拼成大三角形，由这三块拼得的大三角形再可以和原有的大三角形拼成一个更大的三角形或者大正方形。总结地说就是，7块巧板可以构成与其他板大小、形状相同的图板、又可以在面积由大到小的4个级别上互换与替代使用。这就大大增加了七巧板的变化几率与艺术造型上的创造力。这也许也是它另一个名字“乞巧板”的由来吧。“七夕取巧”，巧中之巧，实在非七巧板莫属。也许古人并不能运用现代几何学说出很多七巧板的道理，但是这并不影响人们对它的喜爱。在清代宫廷中七巧板游戏就十分盛行，清宫中欢度新春佳节时，宫女们会用七巧板拼凑成“六合同春”四字来游戏应景。在刘潞选注的《清宫词选》中就有清代诗人吴士鉴的《七巧板》宫词，对宫中玩“七巧板”游戏的热闹情景作了生动的描述：“蕙质兰心并世无，垂髫曾记住姑苏。谱合‘六合同春’字，绝胜璇玑织锦图。”诗人将“七巧板”与“璇玑织锦”相媲美，可见他也被这奇妙的游戏给迷住了。故宫博物院至今还珍藏着当时宫女们玩的七巧板，它为寂寞深宫中的人们带去了多少欢乐呀。如同优质的产品总会伴生很多仿制品一样，正因为七巧板好玩，很多由它衍生出来的拼板游戏也被发明了出来。明末清初，新安潘今伊在《七巧图》基础上发展成一种“十三巧板”，又称《益智图》，“该图截为十三块，或长方、或半长方，或锐角，或钝角……或为屋宇形，或为桥梁形，或为飞燕形，或为舞蝶形。此宇宙之殊形异相，总不出其范围。”由它又嬗变出另一种更复杂的智慧拼板游戏——《益智图》，它由长、方、半圆、三角、平形四边形等15块小块拼板拼凑的图形。由于图板数量超过两副七巧板，所得拼图数量也大大增加，拼出的形象更为复杂。后来还有清代童叶庚创作的《益智图》、民国学者金本黄设计的《新益智图》等复杂的拼板形式出现，但是也许是太过复杂的原因，这些拼板的流传局限性很大，并没有七巧板那么普及。爱动脑筋的人了解了这些故事以后，会再问一句为什么：为什么复杂的拼板就不流行呢、在拼板的世界里七巧板“一家独大”的秘密到底是什么呢？我们就拿日本的六巧板（见上图）来做个比较。它是由6块形状不同的板组成，有三角形、菱形、正方形，甚至还有五边形和六边形，不可谓不复杂。但是它们只有一层级别变换，即那一块三角形和正方形一起可以拼成那块六边形，这与七巧板一环套一环的四层转换是没法比的。所以在实际玩起来的时候受到的局限很多，也许拼摆某些特定图案的时候有它的优势，比如可以拼出特别形象的花朵、风车，但是要论总的拼图数量就会败下阵来。再来设想，用两副七巧板摆两个小人的话，因为七巧板的小正方形刚好是两个小三角形的组合，属于我们刚才总结的四层转换中的第一层，所以可以一个小人用一个小正方形表示头部，另一个小人用两个小三角形来拼出一模一样的正方形人头的形象，而身体、手臂等比头部更大的部位就可以灵活运用各个级别的拼搭，这种级别互换是别的拼板游戏很难做到的。这种灵活的互换也是为什么七巧板可以拼出各种鱼、人、花甚至汉字的原因。在实际拼玩中，将七巧板的四级变换进行不同组合，其视觉效果就会各有千秋，局限多多的其他拼板是做不到这一点的。正是因为这些特点，所以只有七巧板能以最少的板块拥有最大的造型表现力，所以它的“勾心斗角”也就有了别的拼板无法比拟的巧妙。细心的人会发现七巧板还有一个特点，就是三角形特别多。在7块板中，三种大小的三角形居然有5个之多。学过平面几何的人都会知道，三角形是边数最少的平面图形，它最稳定，同时它也是其他所有多边形的基础，也就是说任何多边形都可以拆分成若干个三角形。那么任何圆形、弧形、椭圆形呢？按照无限分割的理论，它们也是都可以分成无数三角形的。总之，三角形是平面世界的基础。这是不是七巧板变化多端的根本原因呢？我们不得而知。我们只知道，清华大学数学系的奠基人之一、著名的数学家赵访熊先生曾经研制出一种新颖的“三角七巧板”，这对学习三角的学生来说是一种寓教于乐、富有情趣的教学玩具。我们可以推测，赵先生对七巧板的研究侧重在了三角形上，这是非常有眼光的，他抓准了七巧板的精髓。不过正如我们刚才所说，所有七巧板的衍生物都不及七巧板的变化几率之大与艺术造型上的富于创造力，所以终究还是没有能替代七巧板的拼图出现。与华容道、九连环等游戏不同，七巧板的奥妙不在于解决某个问题的固定答案，而是无限的可能性。在我们手里翻转的小小图板，几乎可以模拟出世界上任何的风景。从这个角度讲，李约瑟博士说的非常有道理，何止西方魔方比不了，七巧板所创造的美丽新世界，是任何其他游戏都比不得的，这说明中国人有不可思议的想象力。
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