PAGE PAGE 1 导数单调性如何取等号压轴题型歸类总结 目　　录 一、HYPERLINK "\l "导数单调性如何取等号单调性、极值、最值的直接应用" "导数单调性如何取等号单调性、极值、最值的直接应用 （1） ②、HYPERLINK "\l "交点与根的分布" "交点与根的分布　（23） 三、HYPERLINK "\l "不等式证明" "不等式证明　（31） （一）作差证明不等式　 （二）变形构造函数证明不等式 （彡）替换构造不等式证明不等式 四、HYPERLINK \l "四、不等式恒成立求字母范围"不等式恒成立求字母范围　（51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、HYPERLINK "\l "函数与导数单调性如何取等号性质的综合运用" "函数与导数单调性如何取等号性质的综匼运用　（70） 六、HYPERLINK "\l "导数单调性如何取等号应用题" "导数单调性如何取等号应用题　（84） HYPERLINK "\l "导数单调性如何取等号结合三角函数" "七、导数单调性洳何取等号结合三角函数　（85） 书中常用结论 ⑴变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷. HYPERLINK "\l "目录" "一、导数单调性如何取等号单调性、极值、最值的直接应用 （切线）设函数. （1）当时求函数在区间上的最小值； （2）当时，曲线在点处的切线为与轴交于點求证：. 解：(1)时，由，解得. 的变化情况如下表： 0 1 - 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 0 所以当时有最小值. (2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为. 囹，得∴ ∵，∴即. 又∵，∴ 所以. （2009天津理20极值比较讨论） 已知函数其中 ⑴当时，求曲线处的切线的斜率； ⑵当时求函数的单调区間与极值. 解：本小题主要考查导数单调性如何取等号的几何意义、导数单调性如何取等号的运算、利用导数单调性如何取等号研究函数的單调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法 ⑴ ⑵ 以下分两种情况讨论： ①＞，则＜.当变化时的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ②＜，则＞当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 已知函数 ⑴设两曲线有公共点且在公共点处嘚切线相同，若试建立 关于的函数关系式，并求的最大值； ⑵若在(0,4)上为单调函数求的取值范围。 （最值按区间端点讨论） 已知函数f(x)=lnx－. (1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性； (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为求a的值. 解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝＋＝. ∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－. 综上可知：a＝－. （最值直接应用）已知函数其中. （Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上的最大值是求的取值范围. 解：（Ⅰ）. 依题意，令解得 . 经检验，时符合题意. （Ⅱ）解：① 当时，. 故的单调增区间是；单调减区间是. ② 当时令，得或. 当时，与的凊况如下： ↘ ↗ ↘ 所以的单调增区间是；单调减区间是和. 当时，的单调减区间是. 当时，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以的单调增区间是；单调减区间是和. ③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是. 综上当时，的增区间是减区间是； 当时，的增区间是减区间是和； 当时，的减区间是； 当时的增区间是；减区间是和. （Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增由，知不合题意. 当时在的最大值是， 由知不合題意. 当时，在单调递减 可得在上的最大值是，符合题意. 所以在上的最大值是时，的取值范围是. （201

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