用坐标函数曲线坐标反映价格变动影响的经济意义

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system)是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时,极坐标系便显得尤为有用;而在平面直角坐标系中,这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线,极坐标方程是最简单的表达形式,甚至对于某些曲线来说,只有极坐标方程能够表示。(来自维基百科)

? 通过转换,极坐标的(φ, r)可以变换为直角坐标系中的(x,y)坐标,转化公式如下

这样,许多用极坐标函数表示的曲线,都可以在js里面转成直角坐标系并画出来了。下面介绍一下以下几种曲线并用canvas绘制了曲线动画:

参数意义:a表示从x轴上从原点到最远点的一半。

js动画:在js中实现时,只需将极坐标角度从0到360代入方程,求出(x,y)坐标

参数意义:a表示从中心点到两端最远处的距离。

js动画:绘制时,代入角度的区间是[-45,45],需要绘制(-x,-y)和(x,y)两部分的坐标。

参数意义:a表示从中心点到最远处的距离。

js动画:在js中实现时,只需将角度从0到360代入方程,求解过程中不需要转换极坐标,直接代入x,y,求出(x,y)坐标

参数意义:k代表有“几朵花瓣”,如果k是奇数,则得到的花瓣数就是k,如果k为偶数,则得到的花瓣数为2k。a同上表示从中心点到最远处的距离。

js动画:当k为奇数时,角度区间在[0,180]即可闭合;当k为偶数时,区间在[0,360].

参数意义:相邻“臂”之间的距离为2180a

js动画:角度一般要设置大于360,才有螺线效果,例子中角度为弧度,所以相邻“臂”之间的距离为2pia。

除此之外,还有这样以几何级数增大的螺线和从外往内描绘的螺线:

以上七种曲线的demo:

? 在简单的图形和动画轨迹上,我们可以换一种实现思维,例如通过函数来实现。最后,使用k=6的玫瑰线定义了(x,y)坐标,并设置z坐标为 (x,y)到z轴距离的3次方根,通过threejs,设置图片的顶点数,用曲线连接画了一个小demo。

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上一篇文章介绍了需求量的概念,并且对影响需求量大小的各种因素进行了分析。在经济学的研究当中,仅仅对变量进行定性的分析(判断变量是变大,还是变小?是增长,还是降低?)是远远不够的。为了能利用经济数据得到更准确的结论,还需要对变量进行更精确地定量分析(计算出变大或变小,增长或降低的具体数值)。

“定性”和“定量”的区别

这篇文章我们要做的就是在上篇文章内容的基础上进一步介绍需求函数的概念,并利用需求函数推导出消费者的需求曲线。

上篇文章对影响需求量的各种因素进行了逻辑分析,如果将分析的内容用数学表达式表示的话,就可以得出某种商品的需求函数。我们用大写字母D表示商品的需求量,需求函数的一般形式就是:D=f(a,b,c,,,n)。

函数中,需求量D就是因变量,f(,)表示函数关系,括号里面的小写字母a、b、c一直到n是自变量,表示影响需求的n种因素。

通过之前的分析,我们知道在n种影响因素中,商品的价格无疑是对商品需求量影响最大的因素,因此为了分析的简便,我们只将价格这一种影响因素单独提取出来作为自变量。

那么需求函数的表达式就变成了D=f(P),其中,大写字母P表示商品的价格。有时候,也可以将商品的需求量用大写字母Q或者Qd来表示,即:Qd=f(P)。这就是一种商品的需求函数,它的经济意义可以简述为:商品的价格对商品需求量的影响。

接着,我们利用需求函数推导商品的需求曲线。为了方便,将价格P和需求量D之间的关系绘制在一个表格中,如表1所示。通过前面几篇文章的分析,我们已经知道了商品的需求量和价格是呈反方向变动的,也就是说在假定其他条件不变时,如果一种商品的价格上升,消费者会减少这种商品的需求量;如果这种商品的价格下降,消费者会增加这种商品的需求量。因此,可以做出一个定性的判断:需求曲线是向右下方倾斜的。

表1:商品价格和需求量的7种组合

表1中有7个商品价格和对应需求量的组合,分别用大写字母A、B、C、D、E、F、G表示。这7种组合代表的经济意义是:当商品的价格为10,20,30,40,50,60和70的时候,市场消费者对这种商品的需求量分别是600,365,260,190,150,120和100。

如果把这7个组合在一个坐标系中绘出的话,这7个组合恰好就是坐标系中的7个点。如图1所示。

图1:商品的需求曲线是向右下方倾斜的

值得特别强调的是,图1中坐标系的纵坐标是价格P,横坐标是需求量Q。这种坐标系的表示方法跟以前的习惯是不一样的,之前通常是把函数中的因变量放在纵坐标上,自变量放在横坐标上,而在这里正好相反。这也是供需理论的一个习惯,这样做的好处是方便与后面课程的图形进行比较,并没有特别的经济含义,只要特别注意就可以了。

在坐标系中分别找出7个组合代表的点,然后依次连接起来。这条凸向原点、向右下方倾斜的绿色曲线D就是需求曲线。出于绘图得简单、方便,通常在坐标系中将需求曲线画成一条直线。在以后的课程中,如果不特别说明,都是用一条直线来表示。

对于直线型的需求曲线,它的需求函数可以用一个具体的线性形式来表示,即Qd=a-bP。其中,字母a,b都是大于0的常数,b是自变量P的系数。

图1显示,需求曲线是一条向右下方倾斜的曲线,也就是说市场对某商品的需求量随着商品价格的下降而上升。但是,这里要强调的是,这只是一般商品的需求曲线。也有少数特殊的商品,他们的需求曲线并不是向右下方倾斜,比如:奢侈品。

奢侈品不是日常生活的必需品,是人们在无需考虑生存之忧后用来显著提升生活品质的特殊商品。通常奢侈品可以彰显消费者的品味和身份,可能正因为这种特性,价格昂贵成为了奢侈品的一个特点。使得奢侈品的价格越高,对消费者的吸引就更大;相反,如果价格降低,消费者对奢侈品的需求反而会下降。因此,奢侈品的市场需求量会随着价格上升而增加,随着价格的降低而下降。它的需求曲线就是一条向右上方倾斜的曲线。如图2所示。

图2:奢侈品的需求曲线是向右上方倾斜

下面再介绍一下需求量的变动需求的变动之间的区别。需求和需求量只是一字之差,但却是两个不同的概念。

需求量的变动是指其他条件不变的情况下,由于商品价格的变动引起的消费者对商品购买量的变动。

需求的变动是指除价格以外的其他条件发生变化引起的消费者对商品购买量的变动。

仔细对照上面的两个定义,可以发现两个概念的区别体现在是否是价格的变动引起了购买量的变动。需求量的变动指的是商品价格的变动,而需求的变动指的是由价格以外的其他因素的变动。

通过图形可以更清楚地看出两个概念之间的区别。如图3中,在需求曲线D之上有一点A,如果是需求量的变动,就是从A点移动到B点;如果是需求的变动,价格不变,而是由价格以外的因素造成购买量的变化。在图中找到C点,与A点的价格相同,需求的变动就可以理解为整条曲线从D右移到了D^',相应的A点就右移到了C点。

图3:“需求量的变动”“需求的变动”

从刚才的分析中可以知道,需求量的变动是曲线上任一点沿着曲线的移动,不是整条需求曲线的移动;而需求的变动是整条曲线的移动。

好了,今天我们就先说到这。下一篇文章,我们将要介绍供给量和影响供给量的因素

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参考资料

 

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