由四根质量均为M长均为L的细杆构成的正方形框架,求对过两对边中点的轴组合刚体的转动惯量量答案是5/6ML^2？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-03-22 06:15 标签： 组合刚体的转动惯量
（建议阅读最新版本）预备知识　转动惯量图 1：常见几何体的转动惯量，虚线为转轴，物体质量 M 均匀分布， R 为几何体的半径或红线标注的长度．　　 一个通用的结论是：若把刚体在延轴方向复制任意多次，其总质量 M 相应变大但转动惯量公式不变．例如图 1
中的薄圆盘和圆柱体，又例如细棒（中心轴）和薄长方体（共面轴）．这是因为如果两个物体转动惯量分别为 I_1 = \alpha M_1 R^2 和 I_2 = \alpha M_2 R^2，总质量 M = M_1 + M_2，那么总转动惯量为 I = I_1 + I_2 = \alpha M R^2，系数 \alpha 不变． 1. 细圆环、薄圆柱环　　 细圆环和薄圆柱环的所有质量与转轴的距离都为 R，可以看成许多质点的叠加，每个质点转惯量为 m_i R^2，所以 I = \sum_i m_i R^2 = M R^2\qquad (1)2. 细棒（端点轴）　　 细棒的线密度为 \lambda
= M/L，如果划分成长度为 \Delta r 的小段，第 i 段距离转轴 r_i，有 I = \lim_{\Delta r \to 0}\sum_i \lambda\Delta r \cdot r_i^2 =
\int_0^L \lambda r^2
\,\mathrm{d}{r}
= \frac{1}{3}\lambda L^3 = \frac{1}{3}M L^2\qquad (2)3. 细棒（中心轴）　　 细棒（中心轴）可以看做两个等质量的细棒（端点轴），质量都为 M_1，每个具有转动惯量（式 2 ）M_1 R^2/3，乘以二得总转动惯量为 I = \frac{1}{3} MR^2 = \frac{1}{12}ML^2\qquad (3) 其中 L=2R．由此可以看出，若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分，那么转动惯量公式不变． 4. 薄长方体（共面轴）　　 薄长方体（共面轴）可以看成许多细棒（中心轴）组成，所以转动惯量的系数仍然为 I = \frac{1}{3} MR^2 = \frac{1}{12}ML^2\qquad (4)5. 薄圆盘、圆柱　　 薄圆盘可以看做许多宽度为 \Delta r 的细圆环组成1，质量面密度为 \sigma
= M/(\pi R^2)，第 i 个圆环的半径为 r_i，面积为 2\pi r_i \Delta {r}，总转动惯量为 I = \int_0^R r^2
\,\mathrm{d}{m}
= \int_0^R r^2 \sigma
\cdot 2\pi r
\,\mathrm{d}{r}
= 2\pi \sigma \int_0^R r^3
\,\mathrm{d}{r}\qquad (5) 也可以在极坐标极坐标中直接根据定义写出积分 I = \int {r^2}\sigma
\,\mathrm{d}{s}
= \int_0^{2\pi } \int_0^R \sigma r^2 \cdot r
\,\mathrm{d}{r}
\,\mathrm{d}{\theta}
= 2\pi \sigma \int_0^R r^3
\,\mathrm{d}{r}
= \frac12\sigma \pi R^2 R^2 = \frac12 M R^2\qquad (6) 圆柱可看做由许多相同的薄圆盘组成，转动惯量系数相同． 6. 薄球壳　　 球壳可以看做由许多细圆环组成，质量面密度为 \sigma
= M/(4\pi R^2)，球坐标中，令第 i 个圆环对应的极角为 \theta，宽度为 R
\,\mathrm{d}{\theta}，面积为 \,\mathrm{d}{s_i}
= 2\pi R\sin\theta \cdot R
\,\mathrm{d}{\theta}，半径为 r_{\bot} = R\sin\theta，总转动惯量为 \begin{aligned} I &= \int_0^\pi r_\bot^2
\,\mathrm{d}{m}
= \int R^2 \sin^2 \theta \cdot \sigma
\cdot 2\pi R\sin\theta \cdot R
\,\mathrm{d}{\theta}
\\ &= 2\pi \sigma R^4 \int \sin^3 \theta_i
\,\mathrm{d}{\theta}
= 2\pi \sigma R^4 \int_0^\pi \sin^3 \theta
\,\mathrm{d}{\theta} \end{aligned}\qquad (7) 也可以在球坐标中直接写出球面积分 \begin{aligned} I &= \int r^2 \sigma
\,\mathrm{d}{s}
= \int_0^{2\pi} \int_0^\pi
(R\sin \theta)^2 \sigma R^2\sin \theta
\,\mathrm{d}{\theta}
\,\mathrm{d}{\phi}
= 2\pi \sigma R^4 \int_0^\pi
\sin^3 \theta
\,\mathrm{d}{\theta} \\ &= 2\pi \sigma R^4\int_{-1}^1 (1 - \cos^2 \theta )
\,\mathrm{d}{\cos \theta}
= \frac23 (\sigma 4\pi R^2) R^2 = \frac23 M R^2 \end{aligned}\qquad (8) 其中对 \theta 的积分使用了换元积分法． 7. 球体　　 球体可以看做由许多薄球壳组成，体密度为 \rho
= M/(4\pi R^3/3)，令第 i 个球壳半径为 r，厚度为 \,\mathrm{d}{r}，体积为 4\pi r^2
\,\mathrm{d}{r}，总转动惯量为 I = \int_0^R \frac23 r^2
\,\mathrm{d}{m}
= \frac23 \rho \int_0^R r^2
\,\mathrm{d}{V}
= \frac{2M}{R^3} \int_0^R r^4
\,\mathrm{d}{r}
= \frac{2}{5} M R^2\qquad (9) 也可以在球坐标中直接体积分 \begin{aligned} I &= \int (r\sin \theta )^2
\,\mathrm{d}{m}
= \int_0^{2\pi } \int_0^\pi
\int_0^R (r\sin \theta )^2\sigma r^2 \sin \theta
\,\mathrm{d}{r}
\,\mathrm{d}{\theta}
\,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \frac{3M}{2R^3}\int_0^\pi
\sin^3\theta
\,\mathrm{d}{\theta}
\int_0^R r^4
\,\mathrm{d}{r}
=\frac{2M}{R^3}\int_0^R r^4
\,\mathrm{d}{r}
= \frac{2}{5} M R^2 \end{aligned}\qquad (10) 其中对 \theta 的积分使用了换元积分法． 8. 薄长方体（垂直轴）　　 由 “薄长方体（共面轴）” 可知两个共面方向的转动惯量分别为（式 4 ）MR_1^2/3 和 MR_2^2/3，使用垂直轴定理式 3
可得关于垂直轴的转动惯量为二者之和 I = \frac13 M(R_1^2 + R_2^2) = \frac{1}{12} M(L_1^2 + L_2^2)\qquad (11) 其中 L_1 = 2R_1，L_2 = 2R_2 分别是两条边长． 9. 长方体　　 另外由于长方体可以看作许多薄片延轴方向叠加，其转动惯量公式也相同 I = \frac13 M(R_1^2 + R_2^2) = \frac{1}{12} M(L_1^2 + L_2^2)\qquad (12) 其中 L_1 = 2R_1，L_2 = 2R_2 分别是长方体垂直于转轴的两条边长． href="https://wuli.wiki/online/ExMI.html#ret1">1. ^ 然而薄圆盘不能看做由许多过圆心的细棒组成，因为这样面密度就是不均匀的．另外注意每个细环的转动惯量并不相同（因为半径各不相同），所以不能直接用圆环的转动惯量公式．

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