下面这道微分方程如何解怎么解？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-02-18 12:30 标签： 微分方程如何解
方法一（拉普拉斯变换法）：对u和f作关于时间的拉普拉斯变换，表示为那么方程化为利用如下微分方程的解（证明见后文）：可以得到注意到用拉普拉斯变换的卷积公式即可得根据可将第一项积分化为根据可将第二项积分化为与第二项积分同理，可将第三项积分化为于是得到完整的解后面两项是达朗贝尔公式，可用行波法得到，但行波法无法得到第一项，只能用积分变换的方法得到该项。下面补充所用微分方程的解的证明：对方程作傅里叶变换（先假设满足傅里叶变换的绝对可积和逐段可导条件）由傅里叶变换的性质可将方程化为求出下面函数的反演，即可用傅里叶变换的用卷积公式求解现在需要计算这个积分，用留数定理进行计算，构造半圆围道由大圆弧定理可知方程左边第二项积分为0，于是用傅里叶变换的卷积公式即可得到可以证明，这个积分满足无穷处的有界条件，且为微分方程的一个特解，即使不满足傅里叶变换的条件，根据微分方程解的唯一性也可确定这是微分方程的解。虽然对方程先用了拉普拉斯变换，但后面解变换后得到的常微分方程用了傅里叶变换，事实上这种做法是对方程同时作傅里叶变换和拉普拉斯变换，然后先作傅里叶逆变换后作拉普拉斯逆变换。法二（傅里叶变换法）：方程两边对自变量x作傅里叶变换，有可以利用以下微分方程的解（证明见后文）得到接下来就是求该式的反演先求第一项的反演，利用可以得到该反演公式再用卷积公式即可得到第一项的反演为接下来求第二项的反演，利用将括号内的余弦函数用欧拉公式进行改写，并交换积分次序（上面第二个等号利用了傅里叶变换的位移性质）得到的结果即为第二项的反演第三项的反演类似于第二项的做法，交换积分和傅里叶逆变换的次序接下来的做法就类似于第二项的处理，只需将t换成t-t’得到的结果即为第三项的反演综合所得结果，可得与方法一相同的结果补充上面所用微分方程的结果的证明：对该方程进行拉普拉斯变换得到注意到第一二项就能直接进行反演，第三项再利用卷积公式，就能得到结果这种做法先对方程作傅里叶变换，然后用拉普拉斯变换求解常微分方程。这种做法其实和方法一类似，也可以看成同时对方程作傅里叶变换和拉普拉斯变换，不同的是先作拉普拉斯逆变换然后作傅里叶逆变换。方法三（格林函数法）：格林函数法的目标是利用如下定解问题的解表示原来方程的解，初始条件这样选取是为了求解方便（还有x趋于无穷大时格林函数G趋于0这一条件未列出），上面方程的解称之为格林函数。注意格林函数去掉了对时间大于0，即将时间延拓到(-∞，∞)为了将解用格林函数表示，将原定解问题方程进行改写（改写后的方程记为方程1）可以证明，格林函数满足空间的对称性和时间的倒易性（证明见后文）利用这个性质将格林函数满足的方程进行改写（改写后的方程记为方程2）将方程1两边乘上格林函数G，方程2两边乘上波动方程的解u，并相减，然后两边从0到∞对t进行积分，从-∞到∞对x进行积分，可以得到第二个等号利用了分部积分（积分号内可以相互抵消）于是可以将解用格林函数表示下面来求解格林函数可以对方程作拉普拉斯变换或者傅里叶变换进行求解，现作拉普拉斯变换微分方程的解为利用下式求反演即可得到格林函数，并求解出所需要的表达式将上面的表达式代入下式可以得到与方法一中得到的表达式一致，不再赘述。对格林函数作傅里叶变换，处理与方法二类似。下面来证明格林函数满足的空间对称性和时间倒易性先写出两个定解问题将第二条方程的格林函数G乘上第一条方程，第一条方程的格林函数G乘上第二条方程，并相减，对x在（-∞，∞），t在（-∞，∞）进行积分，得到代入无穷处的边界条件和初始条件可知第二个等号后的积分为0，于是二者相等，即满足空间对称性和时间倒易性。三种方法较为简便的是第一种，而第三种方法即格林函数法显得比较繁琐，然而它在处理三维无界波动方程或热传导方程时就起到化繁为简的作用，将一复杂的方程用较为简单方程的解表示出来。即对于三维无界波动方程其格林函数满足如下形式的定解问题用类似一维波动方程的做法可以证明格林函数也具有空间对称性和时间倒易性用三维傅里叶变换可以求出格林函数为用类似一维波动方程的做法可将解用格林函数表示出来，代入格林函数后可以得到下面的公式a的意义为波速，第一项的积分区域为半径为at的球面，即波所传播到的区域，注意时间要减去波从源点传播到场点的时间，即推迟时间，在这个u可以称为推迟势。利用该公式，可以求解真空中全空间的麦克斯韦方程组。对于二维全空间的波动方程，可以采用降维法进行计算，这里从略。下面拓展一下半无界空间的处理方法。x=0给出第一类边界条件时（x>0）作换元化为如下定解问题x=0给出第二类边界条件时（x>0）作换元化为如下定解问题对于x=0给出u或u对x偏导数等于0这种边界条件，可以进行延拓，前者进行奇延拓，后者进行偶延拓。奇延拓可以保证解对x为奇函数，从而自动满足x=0等于0，偶延拓保证解对x的偏导数为偶函数，即解对x为奇函数。对x延拓为全空间后就能利用无界空间的公式进行求解。具体步骤如下对于第一类边界条件对非齐次项和初始条件作奇延拓于是得到延拓后的定解问题求解即可对于第二类边界条件作偶延拓得到定解问题求解即可不难证明，这样延拓后自动满足了原来的边界条件，再用无界求波动方程的方法即可求解。

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