请问一多元函数连续的条件在什么条件下一定可积？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-11-16 08:30 标签： 多元函数连续的条件
1.Riemann可积不一定存在原函数.f(x)存在原函数,即存在可导函数F(x),使f(x) = F'(x)对定义域内的任意x成立.可以用Lagrange中值定理证明:若F(x)在一个区间上处处可导,则导函数F'(x)在该区间内没有第一类间断点.基于如上观察,可以构造如下例子:取f(x) = 0,当0 ≤ x < 1/2,取f(x) = 1,当1/2 ≤ x ≤ 1.f(x)在[0,1]上有界,且只有一个间断点x = 1/2,因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.但是x = 1/2是f(x)的第一类间断点,因此f(x)在[0,1]没有原函数.如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt,会发现F(x)在x = 1/2处是不可导的,f(x) = F'(x)在该点不成立.2.原函数存在不一定Riemann可积.在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件:有界性和连续性(不连续点是零测集).从前者入手比较容易:在x ≠ 0处,取F(x) = x^(4/3)·sin(1/x),则F'(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.在x = 0处,取F(0) = 0,则F'(0) = lim{x → 0} F(x)/x = lim{x → 0} x^(1/3)·sin(1/x) = 0.F(x)处处可导.且对任意正整数k,F'(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3),因此F'(x)在0的任意邻域内无界.于是f(x) = F'(x)在[-1,1]上存在原函数,但不是Riemann可积的(因为不是有界的).实际上,存在F(x)在R上处处可导,导数有界,但导数不是Riemann可积的(导数的不连续点不零测).

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设f(x)在[a,b]上有定义，①f(x)有界 => f(x)dx可积分②f(x)有界，不连续 =>
f(x)dx可积分，不可导③f(x)连续 => f(x)dx可积分，∫f(x)dx可导
引用大飞wu的回答：1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。2、设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。3、设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。
有界，无限个间断点，且间断点组成的数列的极限存在。也是可积

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