高数怎么求极限求极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-22 06:00 标签： lim重要公式16个图片
极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。下面以较基础的数列极限求法为例。首先列举判断数列敛散性的方法：一、根据定义判定，包括：１、利用数列极限的ε-N定义。对应的是，可以根据伊普西龙N定义，判定一个数不是数列的极限。如果这个数具有任意性，那么该数列就发散。设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限.２、收敛数列有与邻域相关的数列极限定义。相对应的也有否定一个定数是数列的极限的定义。同样的，如果这个数具有任意性，那么数列就发散。任给ε>0，若在U(a; ε)之外数列{an}的项至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a.定义一般用来证明数列的敛散性，较少用于求数列的极限。二、利用数列收敛的充要条件来判定，一共有三个充要条件：１、数列通项an与定数a的差表示的数列是一个无穷小数列；２、数列的任何非平凡子列都收敛；同时决定了它们收敛于同一极限。如果数列存在发散的非平凡子列，就证明数列发散；或者数列存在极限不同的非平凡子列，也说明数列发散；３、柯西收敛准则。对应的也有数列发散的柯西充要条件。对任何ε>0，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε.这些充要条件也主要是用于判断数列的敛散性。　　三、利用性质比如利用收敛数列的迫敛性，有时候也用它来求极限。接下来介绍求极限的常用方法：一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：１、相反的收敛数列极限相反；２、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；３、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；４、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；５、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。二、利用极限的单调有界定理。其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x的极限和1的无穷次方类型的极限。四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。五、用洛必达法则，针对０/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。六、利用泰勒公式求极限的方法。还有把极限化为导数或积分求极限的方法等。大多数的求极限法中，都浸透有换元的思想，所以你还可以说有一种换元法。
高等数学中几种求极限的方法　　极限是微积分中的一条主线，是学好微积分的重要前提条件。而此问题一般来说比较困难，要根据具体情况进行具体分析和处理，方法很多比较凌乱。以下是小编搜索整理的高等数学中几种求极限的方法，供参考借鉴！　　一、由定义求极限　　极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。　　然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。　　二、利用函数的连续性求极限　　此方法简单易行但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数，及f(x)在x0处无定义的情况。　　三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限　　极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。　　四、利用两边夹定理求极限　　定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A　　两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数(或数列)，并且使其极限为同一值。　　注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数(或数列)通过放缩后所得的两边的函数(或数列)的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。　　五、利用单调有界原理求极限　　单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性;求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。　　利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。　　六、利用等价无穷小代换求极限　　在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子(或分母)看作一个整体，用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。　　七、利用泰勒展式求极限　　运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。　　八、利用级数收敛的必要条件求极限　　求极限的方法有很多种，在解题时，这些方法并不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法。根据题目给出的条件，选择适当的方法结合使用，能使运算更简捷，起到事半功倍的效果。同时又能加强对微积分知识整体上的深层次认识，对学好微积分是大有裨益的。　　分数求极限的方法　　1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；　　2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；　　3、运用两个特别极限；　　4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。　　5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。　　6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。　　7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。　　8、特殊情况下，化为积分计算。　　9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。【高等数学中几种求极限的方法】相关文章：数学分析中求极限的几种重要方法01-15高等数学中几种求导数的方法01-15高等数学知识点：极限中的“极限”知识点01-17大学高等数学《极限》的总结01-15高数怎么快速求极限01-15高等数学知识点之数列的极限01-18高等数学复习内容：函数、极限和连续01-20高等数学的学习方法01-14关于高等数学的常用方法01-14

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