函数凹凸点性是判断曲线的重要依据，为什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-09-29 03:55 标签： 函数凹凸点
函数凹凸性的判断方法设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<（f（a）+f（b））/2，那么称f（x）在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）。如果恒有f（（a+b）/2）>（f（a）+f（b））/2，那么称f（x）在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。求凹凸性与拐点的步骤：1、求定义域。2、求f（x）的二阶导（要写成乘积的形式）。3、求f（x）的二阶导等于0的点和f（x）的二阶导不存在的点。4、用上述点将定义域分成若干小区间，看每个小区间上f（x）的二阶导的符号，来判断他的凹凸性（大于零是凹函数，小于零是凸函数）。5、若f（x）的二阶导在点x的两侧异号，则（x，f（x））是拐点，否则不是（也就是导图里提到的拐点的第一充分条件）。如何判断函数的凹凸性和拐点图像法：将函数的图像画出来，由点的图像可以看出函数在这个点凹凸性；导数法：只要求函数在某点的导数，根据导数的大小及正负号，能够看出函数在该点是凸函数还是凹函数。二次函数的△大于小于零判断二阶导大于零为凹。二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。二阶导数大于0，说明该函数的一阶导数是单增函数。也就是说，该函数在各点的切线斜率随着x的增大而增大。因此，该函数图形是凹的。二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般情况，函数y=f（x）的导数y‘=f’x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率，函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。函数凹凸性，设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b)内具有一阶和二阶导数，那么：1、若在（a，b)内f''(x)>0，则f(x)在[a，b]上的图形是凹的；2、若在（a，b)内f''(x)扩展资料：1、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x，y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。2、判断函数极大值以及极小值结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。怎么判断一个函数的凹凸性和凹凸性函数的凹凸性的判断方法有定义法：设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f为I上的凹函数.若不等号严格成立，即“如果"≤“换成“≥”就是凸函数。类似也有严格凸函数。设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）那么称f(x)在D上的图形是（向下）凹的（或凹弧）；如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）扩展资料：函数的凹凸性是描述函数图像弯曲方向的一个重要性质，其应用也是多方面的。这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)≤0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)≥0。参考资料：百度百科-函数的凹凸性函数的凹凸性怎么判断讨论二阶导数的正负，若在某区间为正则为凹区间，若在某区间为负则为凸区间。一般地，把满足[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]的区间称为函数f(x)的凹区间；反之为凸区间；凹凸性改变的点叫做拐点。通常凹凸性由二阶导数确定：满足f''(x)>0的区间为f(x)的凹区间，反之为凸区间；例：求y=x^3-x^4的凸凹区间和拐点。解：y'=3x2-4x3，y''=6x-12x2；y''>0，得：0所以，凹区间为(0,1/2)；凸区间为(-∞,0)，(1/2,+∞)；拐点为(0,0)，(1/2,1/16)；拓展资料:函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。以上就是关于函数凹凸性的判断方法，如何判断函数的凹凸性和拐点的全部内容，以及函数凹凸性的判断方法的相关内容,希望能够帮到您。
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定理1：设函数f(x)在区间U内可导。如果f'(x)在区间U内单调增加（或单调减少），那么函数f(x)在区间U上的图形是凹的（或凸的）。定理2：设函数f(x)在区间U内二...
定理1：设函数f(x)在区间U内可导。如果f'(x)在区间U内单调增加（或单调减少），那么函数f(x)在区间U上的图形是凹的（或凸的）。定理2：设函数f(x)在区间U内二阶可导，那么
（1）若在U内，f''(x)>0，则函数f(x)在区间U上的图形是凹的；
（2）若在U内，f''(x)<0，则函数f(x)在区间U上的图形是凸的。 例：判定曲线y=lnx的凹凸性。
解：因为y'=1/x，y''=-1/x^2，所以在函数y=lnx的定义区间（0，+∞）内，y''<0，由定理2可知，曲线y=lnx是凸的。 问：既然y'=1/x，在函数y=lnx的定义区间（0，+∞）内，y'>0，由定理1可知，曲线y=lnx是凹的。但是如果算出y''=-1/x^2，由定理2可知，曲线y=lnx是凸的。这题到底要不要算出函数y=lnx的二阶导数再得出结果呢？如果必需要算出函数y=lnx的二阶导数，那要定理1还有什么用呢？ 请高人回答~！
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1、y'＞0不代表y'递增，定理1说的是y'递增则曲线凹 2、要不要求二阶导数要看题目，如果y'的单调性很容易判断出来，自然就不需要求y''了。比如本题用定理1也很容易，因为y'＝1/x在(0,+∞)内递减。一般题目都是用定理2来做的 3、“y'=1/x，在函数y=lnx的定义区间（0，+∞）内，y'>0，由函数的单调性的定理1可知函数y=lnx在（0，+∞）上单调增加，再根据曲线的凹凸性的定理1，不就得出来曲线y=lnx是凹的了吗？” 还是错误的，y'的单调性才对应曲线的凹凸性，而不是y的单调性，看清楚定理的条件 4、定理1与定理2在一定条件下是一样的，比如y''存在且连续，则y'的单调性就对应y''＞0或y''＜0，这样定理1和定理2就是一样的 5、曲线的凹凸性与函数的极值的判定是类似的，都是有2个充分条件和1个必要条件，且结论的形式也类似，可以放在一起来理解已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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