学过牛顿第二定律后我们知道，力作用于物体后会使物体产生加速度，即 a=F/m，这是瞬时的效果。如果力作用经过一定的累积会产生什么影响呢？力的累积作用有两种：一种是在位移上的累积，即F·s，也就是对物体做功，改变了物体的能量。这在初中已经初步学习过，也是本章重点学习的内容。一种是在时间上的累计，即F*t，改变了物体的动量。将在下章学习。在前面的机械运动中所学到的物理量都是可以直接测定或感受到的。比如，位移、质量、时间，它们是基本物理单位。再比如，力、速度、加速度虽然不是基本单位，但是通常也能很直观地感受到。距离的远近、质量的大小、时间的长短、力气的大小、移动的快慢、移动得越来越快还是越来越慢，等等。本章要学习的机械能以及不久将来要学的动量是两个并不那么直观、需要抽象理解和数学推导的物理量，但是它们都非常的重要、非常的实用。一、初中物理回顾：功与功率初中物理已经学过功的一些基本内容，规定力对物体所做的功W等于作用力F跟在力的方向上移动的距离s的乘积。W=F*s 功的单位是焦耳，符号为J。1 J=1 N*m= 1 kg*m/s^{2}*m=1kg*m^{2}/s^{2} 把单位时间内所做的功叫做功率，用来表示做功的快慢。功率通常用P表示。P=W/t功率的单位是瓦特，符号为W。1 W =1 J/s以上是初中物理关于功和功率的基本内容。现在对功的概念在数学上进行一些拓展和补充。在机械运动中学过，既有大小、又有方向的物理量叫作矢量（向量），在数学里通常叫向量，矢量遵循矢量的运算法则，高中数学需要学会矢量的加减、内积等内容。比如前面学过的位移、力，以及速度、加速度等。只有大小、没有方向的物理量叫作标量，比如前面学过的质量、初中学过的体积等。标量的运算遵循代数法则，（不是简单的加减）。力是矢量，有大小、有方向。位移也是矢量，有大小，有方向。初中还没有学矢量，在学习做功的知识用的是纯数字的计算，首先限定了力与位移是同方向的，然后再做数字上的乘法。高中学了矢量，就要用矢量运算。但是，按照常规进度此时应该也还没有学到矢量，这里只是简单了解下，在学完高中数学的矢量后，再回过头来重温这部分，会有更深的理解。力和位移相乘求功，用的是矢量内积的运算。矢量内积用F·s表示，中间的符号是个点，也叫点乘。两个矢量的内积运算法则是两个向量的模（绝对值）相乘，再乘以之间夹角的余弦值。因此，力经过一段位移做功可以看做是力在位移方向投影的大小，再与位移的大小相乘，也就是初中的公式。两个向量的内积的结果是一个数字，只有大小没有方向的数字，但是有正负，也就是说功是标量。同样的，功率为功和时间的比值，也只有大小、没有方向，也是标量。现在知道以上这些就够了，即做功是力和位移两个矢量内积的结果，是个只有大小没有方向（但是有正负）的数字。如下图所示，分别为做负功（左）和正功（右）的例子。二、功与动能2.1 做功转化为动能现在来定量学习力在位移上的累积对受力物体会产生什么效果。例题：质量为m的物体，具有初速度 v_{0} ,在大小恒定为F、方向始终与v_{0}相同的力作用下，发生s位移。现在来看物体的运动状态（位移、速度、加速度）发生了什么变化。（为了计算方便，题目中力与速度、位移方向相同，cos0=1，在计算中省略了）（1）位移。根据已知条件可知：移动了s。（2）加速度。根据牛顿第二定律可知： a=F/m，只与力F和质量m有关，与位移s无关。（3）速度。假设在F作用下移动s位移后的速度从 v_{0}变为 v_{t}，现在来求v_{t}：设经历时长为t，则 s=v_{0}t+at^{2}/2=v_{0}t+(F/m)*t^{2}/2又根据：v_{t}- v_{0}=at=(F/m)*t
可得： t=(v_{t}- v_{0})*m/F
,代入上式：s=v_{0}t+(F/m)*t^{2}/2 =v_{0}*(v_{t}- v_{0})*m/F +(F/m)*[(v_{t}- v_{0})*m/F ]^{2}/2 =(mv_{t}^{2}-mv_{0}^{2})/(2F) 即： F\cdot s=mv_{t}^{2}/2-mv_{0}^{2}/2 F·s是力做的功，它的效果是把物体的 mv^{2}/2 增加了。从上式可以看出，这个增加的量只与F·s的积有关。只要这个内积是确定的值，F和s分别取什么都行。mv^{2}/2 包含两个物理量：质量m和速度v，与质量成正比，与速度的平方成正比。（其实是速度的模的平方。速度是矢量，矢量与它自己的内积的值就是它的模的平方）。此外还有个系数1/2。额外插入，对于 F*s=mv_{t}^{2}/2-mv_{0}^{2}/2 ，把右边的m和1/2移到左边就变成了： 2(F/m)*s=v_{t}^{2}-v_{0}^{2} ，也就是 2as=v_{t}^{2}-v_{0}^{2}
机械运动题目做得比较多的同学应该会对这个公式非常熟悉。2.2 动能与动能定理对于质量为m，速度为v的运动物体，我们把mv^{2}/2叫作它具有的动能，通常用 E_{k} 表示，E_{k}=mv^{2}/2。它是物体由于运动而具有的能量，因此得名动能。至于为什么把mv^{2}/2叫作动能，就是因为上面推导的过程得出的结论：对物体做功并且做功的全部效果为改变物体的速度，那么大小为W的功改变了物体mv^{2}/2的大小也为W。根据的F·s的值可能为正也可能为负，可以知道做功改变物体的动能既可以增大，也可以减小。如果对物体做功W为正，则物体的动能mv^{2}/2增加，在m不变的情况下，v增加。如果W为负，则物体的动能mv^{2}/2减小，在m不变的情况下，v减小。根据F·s=|F|*|s|*cosθ可知，当θ∈(0，π/2)时，F·s＞0，做正功。即力与位移的夹角为锐角时，做正功。直观上也很容易理解：当力与位移成锐角时，力在位移方向上的分力与位移方向相同，相当于做加速运动，因此速度就应该增加。反之，θ∈(π/2，π)时，F·s＜0，做负功。即力与位移的夹角为钝角时，做负功。直观上也很容易理解：当力与位移成钝角时，力在位移方向上的分力与位移方向相反，相当于做减速运动，因此速度就应该减小。（前面的图很好地说明了这一原理）用W代替F·s，E_{k2}代表被做功后的动能（ E_{k2}=mv_{t}^{2}/2
），E_{k1}代表被做功前的动能E_{k1}=mv_{0}^{2}/2 ，则有：W= E_{k2}-E_{k1}
这个等式叫作动能定理，它表示物体在被做功前后动能的变化。2.3 能量能量是个非常复杂的物理概念，它的本质含义要在大学的物理专业才会深入学习，在高中阶段可以把能量理解为做功的能力。本章将继续学习的重力势能、弹性势能都是机械能。机械能和未来会学习的热能、化学能等都是能量，它们都可以做功，也可以互相转化。对于动能，物体受到F·s的做功而增加了 mv_{t}^{2}/2-mv_{0}^{2}/2 的动能，物体失去这些动能后反过来可以做F·s的功，或者转化为其他形式的能量。作为好习惯，再来验证下单位：质量m的标准单位为kg，速度v的标准单位为m/s， 因此mv^{2}/2 的单位为： kg*(m/s)^{2} ，与焦耳（J）相同。再次强调，关于做功的计算，力F和s都是矢量，W=F·s是矢量内积，在运算时一定要带上它们的夹角的余弦值cosθ，并且判定清楚是锐角还是钝角。当力的大小或方向变化，或者位移的方向变化时，可以把这段过程分割成若干个力的大小和方向以及位移的方向都不变的一段一段的连续运动，分别为W_{1}=F_{1}s_{1}，W_{2}=F_{2}s_{2}，......， W_{n}=F_{n}s_{n}，经历每段变化后，动能每次变化为 mv_{1}^{2}/2 ，mv_{2}^{2}/2......直到最后变为 mv_{n}^{2}/2。只要W_{总}=W_{1}+W_{2}+......+W_{n}是定值，则mv_{t}^{2}/2-mv_{0}^{2}/2=(mv_{1}^{2}/2-mv_{0}^{2}/2)+(mv_{2}^{2}/2-mv_{1}^{2}/2)+......+(mv_{n}^{2}/2-mv_{n-1}^{2}/2) 也是定值。W_{总}=mv_{t}^{2}/2-mv_{0}^{2}/2 是始终成立的。（如下图所示）如果力或位移时刻都在变化就要用微积分的方法，其原理是相同的。2.4 动能做功举两个动能做功的例子，只做定性分析，不做定量计算。本章后面再做定量计算。例1：一个物体的动能做功，增加另一个物体的动能在光滑平面上，一辆质量为m的小车A，以速度为v匀速直线行驶，这时候突然把另一辆静止的质量也为m的小车B用绳子连接在小车A上，这样小车A就会拉着小车B走。小车A被小车B拖了后腿，速度越来越慢，小车B被小车A拉着走，速度从零开始增加。这就是小车A的动能对小车B做功，小车B的动能增加了。（如下图）例2：物体的动能做功，增加物体的重力势能竖直向上抛小球，小球的速度越来越小，最终减为0。小球的动能减小了，减小的动能做功增加了它的重力势能，重力势能就是接下来要学习的了。三、功与重力势能在刚刚的例子中，小球的动能减少做了功，使小球的高度增加了，那么说明小球动能转化为某种与高度有关的能量。再反过来看：一个静止的小球从高处落下做自由落体运动，在重力的作用下，小球的高度降低了，速度增加了，动能增加了，同样说明某种与高度有关的能量转化为动能了。物体由于被举高而具有的能量叫作重力势能。这是书本上的描述，下面来进行具体推导，看看物体被举高后具有了多少能量，这个能量能做什么。3.1 做功转化为重力势能仿照从做功推导出动能的表达式，现在同样从做功推导出重力势能的表达式。对于质量为m的物体，它受到的重力大小为mg。现在给该物体施加一个大小刚好为mg，方向竖直向上的力F。由于F=mg，不改变物体的速度，没有增加动能。假设物体具有竖直向上的初速度，在F和重力这组平衡力的维持下，它缓慢上升了h高度（之后还会继续上升）。则F对它做的功大小为：F·h。由于F=mg，方向相同cos0=1，也就是mgh。假设物体具有竖直向下的初速度，在F和重力这组平衡力的维持下，它缓慢下降了h高度（之后还会继续下降）。则F对它做的功大小为：F·h。由于F=mg，方向相反cosπ=-1，也就是-mgh。检验单位：质量m的标准单位为kg，重力加速度g的单位为 m/s^{2} ，高度h的标准单位为m，因此mgh的单位为kg*(m/s)^{2}，与焦耳（J）相同。可以看出：如果某个力克服重力做功，它的全部效果为改变了物体的高度，则做功与高度变化的关系为：W=mgh。W的符号与h有关，如果h＞0，相当于物体被举高了，则物体的重力势能增加。如果h＜0，相当于物体被降低了，则物体的重力势能减小。再次强调，这个公式的条件为外力克服重力做功的全部效果为改变物体高度。“克服重力”要求这个外力与重力方向相反。如果外力与重力方向相同，那么这个力是“帮助”重力而非“克服”重力。“全部效果”要求这个外力与重力大小相同。如果外力比重力大，物体的速度（动能）会增加，就不是“全部效果了”。如果外力比重力小，就“克服”不了重力，反而被重力“克服”了。3.2 重力势能做功直接借鉴推导做功转化为动能的过程即可：用重力的大小mg替换F，用下降高度h替换位移s，重力的大小始终不变，方向和位移相同都是竖直向下的，因此cos0=1，可以在计算中略去，可得：mgh=mv_{t}^{2}/2-mv_{0}^{2}/2从数学推导上可以看出：物体做自由落体、竖直上抛、竖直下抛运动时，在重力加速度作用下物体速度、高度发生的改变，代入动能、重力势能公式后，仍然是成立的。如果位移的方向不是竖直向下的，而是沿着与竖直方向成θ角移动了s呢？下面用平面几何来简单处理即可：可知，无论位移的方向与距离如何，重力做功的大小只与竖直高度的变化h有关，与具体的路径无关。3.3 重力势能的相对性再回过来看对重力势能的描述：物体由于被举高而具有的能量叫作重力势能。（1）重力根据前面的推导可知，要有重力才有重力势能的说法。在没有重力的环境下就没有重力做功。比如说，在地球表面的物体都受到竖直向下的重力，因此具有重力势能。在月球表面的物体受到来自月球的竖直向下的重力（约为地球的六分之一），因此也具有重力势能。在太空中未受到天体引力作用的物体就没有重力势能。在绕地球飞行同步卫星里，如果重力完全用来提供向心力，内部处于完全失重状态，也不具有重力势能。（2）举高对举高需要进一步明确：同样是屋顶。站在地面的人看屋顶是很高的，从屋顶把小球扔下来可以做功。但是对于站在屋顶的人来说，屋顶在他的脚下，要把小球举到眼前需要消耗能量对小球做功。这就是重力势能的相对性：选取参考面。在研究重力势能的时候，首先要选定一个高度作为参考面作为0高度，规定在这个高度的物体具有的重力势能为0。当物体处于比该处高h的高度时，具有的重力势能为mgh，当物体处于比该处低h的高度时，具有的重力势能为-mgh。比如屋顶高度为3米，屋顶上放着一张1.5m高的桌子。如果把屋顶规定为参考面（0m），则地面的高度为-3m，桌面的高度为1.5m。那么把一个1kg的砖块从地面搬到屋顶的桌面上，砖块在地面时的重力势能为1*10*(-3)=-30(J)，砖块在桌面时的重力势能为1*10*1.5=15(J)，重力势能增加了15-(-30)=45(J)如果把地面规定为参考面（0m），则屋顶的高度为3m，桌面的高度为3+1.5=4.5m，砖块在地面时的重力势能为1*10*0=0(J)，在屋顶桌面的重力势能为1*10*4.5=45(J)，重力势能增加了45-0=45(J)由此可见，随着参考面选取的不同，物体在不同高度时所具有的重力势能是不同的，甚至可正可负，（而动能不可能为负）。但是重力势能变化的大小只与高度变化的大小有关，与参考面的选取无关。这方面很像位移的变化与参考（参考系之间无相对运动）系选取无关。四、势能、弹性势能、引力势能4.1 势能什么叫作势能？先回顾动能。动能从字面上很容易理解，“动”就是“运动”的意思，动能就是物体由于运动而具有的能量。相似的，势能（potential energy）的“势（potential）”可以理解为“趋势”、“具有某种潜在的（能力）”，势能就是某种潜在的能量。比如重力势能，物体在高处有落到低处的“趋势”或“潜在（能力）”，如果不对它做什么，物体就会从高度落下来，重力势能做功（或转化为其他能量）。势能与动能不同。动能是一个物体由于运动而具有的能量。势能是储存于一个系统内的能量，是多个物体相互作用而产生的，比如重力势能就是物体与地球的相互作用产生的。虽然我们会说“一个小球在某处具有10J的重力势能”，但这个势能的存在一定是小球与地球（或其他星体）的相互作用才产生的。通常把地球省略了，但是不能没有地球。势能是一个状态量，与系统的状态有关，这个状态在很多情况下是位移，比如物体的重力势能与它所处的（相对）高度有关，其他势能也是类似。因此势能又称作位能，“位”就是“位置”、“位移”的意思，就是因为常见的几种势能，比如重力势能、弹性势能、引力势能、电势能，大小都与位置直接相关。接下来再学习几种在高中会遇到的势能。4.2 弹性势能发生弹性形变的物体内部各部分间，由于发生弹性形变产生弹力的相互作用，而具有势能，叫作弹性势能。比如一根弹簧被拉长或压缩，弹簧内部各部分之间都会产生弹力的作用。发生弹性形变的物体的各部分，具有恢复平衡位置的趋势，因此具有了弹性势能。当突然松开被压紧或拉长的弹簧，弹簧会释放出能量把它上面的东西弹出去或拉回来。推导弹性势能计算公式的原理非常简单，但具体计算需要用到简单微积分，这里重点学习原理。原理一：力做功W=F·s复习：F是矢量，s也是矢量，W是F和s的矢量内积。原理二：胡克定律F=-kx复习：x表示相对于平衡位置的位移，k是弹性系数，F是矢量，x也是矢量，-（负号）表示弹力的方向与弹性形变的方向相反。数学推导（过程建议掌握，需要用到简单的微积分，不做强求）：用与弹力大小刚好相同、方向相反的力做功，拉长或压缩弹簧，就不会产生加速度，做的功全部转化为弹性势能。反过来弹性势能做功也是如此。因此把胡克定律代入力做功：dW=F·s=kx·dx这里在W和最后的x前面加上了d，因为弹力是在随着位移时刻在变的，因此只能得到每一“瞬间”的做功是此刻的弹力点乘位移。这里没有负号，是因为外力对弹簧做功增加弹性势能，外力与弹力平衡方向与弹力的相反，与位移变化相同。然后再用积分，从自然长度（弹性形变为0）积分到相应的弹性形变（x）处：W=\int_{0}^{x}dW=\int_{0}^{x}kxdx=kx^{2}/2 经以上推导可得：对于弹性系数为k的弹簧，如果它被拉长或压缩的弹性形变为x，则它具有的弹性势能为：E_{p弹}=kx^{2}/2 4.3 引力势能既然学过了万有引力，对于一个质量为M的物体，则距离它r处、质量为m的物体，与它有相互吸引的作用力，二者之间会有相互接近的趋势，这就是引力势能。根据万有引力定律： F=Gm_{1}m_{2}/r^{2} ，物理上规定距离为无穷远时的引力势能为0（当r无穷大时，F接近于0，可以当做是没有作用）。把物体从无穷远处移动到某处时所需要的能量（做功）叫作该处的引力势能。要注意的是，虽然重力是对引力的近似处理，但是引力势能与重力势能在数学上的推导过程完全不同。实际上，引力势能与电势能的数学推导非常相似，因为万有引力与静电力的数学公式非常相似。认真学习下面的内容是在为后面学电磁学时理解电势能铺路（过程本质上是相同的）。现在开始推导，依然是两个原理+数学过程：原理一：力做功W=F·s复习：F是矢量，s也是矢量，W是F和s的矢量内积。原理二：万有引力定律F=Gm_{1}m_{2}/r^{2}数学推导（依然用到简单的微积分）：对于质量为M的物体，用始终与万有引力大小相同、方向相反的平衡力，把质量为m的物体从无穷远处移动到距离为r处。由于万有引力和位移方向是相同的（都是从远处指向M），因此做功的外力与位移方向相反，要加个负号。W=\int_{\infty}^{r}dW=\int_{\infty}^{r}-GMm/r^{2}
dr=GMm/r|_{\infty}^{r}=-GMm/r 于是有：E_{p引}=-GMm/r 小结本节的重点是掌握弹性势能、引力势能的推导方法：某种力做功+数学推导。做功的力与它所克服的力要始终大小相同、方向相反，这样能保证不会产生其他效果，比如让速度增加，通常要用到简单的微积分。五、机械能守恒定律与能量守恒定律5.1 机械能守恒定律动能、重力势能、弹性势能统称为机械能。为什么仅仅是这三个能，而没有引力势能、电势能以及其他能呢？因为在传统（简单）的机械运动中，研究的力只有弹力和重力，没有其他力，万有引力以重力的形式出现。因此在研究机械能时，只研究与弹力和重力有关的重力势能、弹性势能，以及与速度有关的动能。根据本章2.1、3.1、3.2使用机械运动的力学原理的推导可知，动能与重力势能之间可以相互转化。结合4.2做功转化为弹性势能的计算公式可知，动能、重力势能、弹性势能三者之间可以互相转化。在只有重力或弹力做功的系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。这叫做机械能守恒定律。即对于一个系统，比如它包括两辆在斜坡上运动的小车，与一根连接它们的弹簧。假设小车的质量分别为 m_{1} 和 m_{2} ，初始速度为v_{1初} 和 v_{2初}，高度分别为h_{1初} 和 h_{2初}，弹簧的初始弹性势能为 Ep_{弹初} 。经过一段时间的相互作用，只有弹力和重力作用，且没有其他外力。小车的速度变为v_{1末} 和 v_{2末}，高度分别为h_{1末} 和 h_{2末}，弹簧的初始弹性势能为 Ep_{弹末}，则有：m_{1}v_{1初}^{2}/2+m_{1}gh_{1初}+m_{2}v_{2初}^{2}/2+m_{2}gh_{2初}+Ep_{弹初} =m_{1}v_{1末}^{2}/2+m_{1}gh_{1末}+m_{2}v_{2末}^{2}/2+m_{2}gh_{2末}+Ep_{弹末} 即系统的：Ek_{初}+Ep_{重初}+Ep_{弹初}=Ek_{末}+Ep_{重末}+Ep_{弹末} 5.2 机械能守恒定律的简要证明其实前面关于动能、重力势能、弹性势能的定义式，就是从“做功相等”原理出发，通过数学推导得出的。这里再结合前面的推导，通过简要的文字说明机械能在某种情况下是守恒的。5.2.1 对单一物体对单一物体，只存在能量形式的转化，不存在能量载体的转移。当物体只受到重力作用时，根据前面的推导可知，基于重力加速度改变物体速度的推导过程，物体在重力作用下的加速下落导致速度增加、在重力作用下的减速上升，都符合重力势能与动能相互转化的数值相等。即重力势能+动能的总量不变。对于弹性势能，由于只有一个物体，无其他相互作用，而弹性势能需要与其他物体接触才能做功，否则弹簧只会自顾自地进行收缩—拉长的周期运动，因此不考虑弹性势能的转化。5.2.2 对两个物体对于两个物体，物体之间的相互作用只有弹力的情况下，需要证明在只有弹力做功的情况下动能的转移是没有损失或者额外增加的。用力与反作用力的原理即可。所有力都有它的反作用力，二者大小相同、方向相反，施力物体和受力物体相互颠倒。弹力是两个物体接触后发生弹性形变才能产生的，因此弹力和反作用弹力的作用点也是相同的，作用点的位移是被作用力和反作用力共享的。因此这对作用力和反作用力的做功分别为F·s和-F·s，即一个物体增加的动能等于另一个物体减少的动能，因此对于系统来说总机械能是守恒的。对于孤零零的弹性势能，通常弹簧存储的弹性势能是要对外做功传递给其他物体的，在4.2中的推导已经确定了弹力势能的公式E_{p弹}=kx^{2}/2 就是根据动能的改变量等量计算出来的，因此也是守恒的对于多个物体的相互作用，只要看成有很多个两两相互作用即可。5.3 有外力做功时的机械能假设某个系统内部只有弹力和重力势能做功，同时还有外力做功且做功效果仅转化为机械能。则系统前后总机械能的变化量等于外力做功的量，即：E_{末}-E_{初}=W 这里要非常注意外力做功的符号，外力有可能做正功也有可能做负功，结果需要由矢量内积W=F·s确定。此外，要注意分清外力对系统做功，还是系统对外做功。在很多情况下这是一对互相对立的关系，具体方法就是找到施力物体和受理物体。如果受理物体属于系统，施力物体不属于系统，那就是外力对系统做功。如果反过来施力物体属于系统，受理物体不属于系统，那就弄反了，需要找到这个力的反作用力。5.4 能量守恒定律为什么机械能守恒定律只能重力和弹力做功？这个问题比较复杂，这里只能做以简单且不是很严谨的说明。能量除了机械能以外，还有其他的存在方式，比如内能（也叫热能，与温度有关）、化学能（通过化学反应释放或吸收的能量）、电能（与后面将会学习的电磁学有关）、核能（储存在原子核内的能量，通过核反应释放）等。力做功的效果不仅仅可以改变物体的机械能，也能改变物体的其他能量。比如“摩擦生热”“钻木起火”，通过摩擦力做功产生热量，就是机械能转化为内能的例子。如果有摩擦力存在的系统，机械能就不守恒了。再比如“摩擦起电”就是机械能转化为电能的例子。反之内能通过内燃机，电能通过电机也能转化为机械能。只有弹力和重力做功的效果仅仅改变速度、高度、弹性形变，其他力会产生其他效果，因此只能有弹力和重力做功。机械能守恒只是限定在动能、重力势能、弹性势能三者之间能量互相转化的规律。更加一般的，在任何与外界没有能量交换和做功的系统内，能量的总量是守恒的，即：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。这就是能量守恒定律。这条定律说明：能量只会转化（改变形式）或者转移（改变载体），不会消失。如果凭空消失了，要么是计算错了，要么是有物理还没发现的新形势或新物质。机械能守恒定律是能量守恒定律的在一个狭小范围内的体现。5.5 例题最后举两个具体的例子来说明能量守恒定律。例1：第二宇宙速度机械运动（八）力（续）（天体物理）中利用向心加速度求出了第一宇宙速度，学习完机械能之后可以求出第二、第三宇宙速度。根据能量守恒，要想使物体彻底脱离地球引力，相当于要有足够的动能克服与地球之间的万有引力做功，从地球半径处移动到无穷远处，即动能=引力势能。其中动能 Ek=mv_{2nd}^{2}/2 引力势能 Ep=GMm/r 令Ep=Ek： mv_{2nd}^{2}/2=GMm/r ，得：v_{2nd}=\sqrt{2GM/r} 代入 G=6.67\times10^{-11}Nm^{2}/kg^{2} ，地球质量 M=5.98\times10^{24}kg
，地球半径 r=6.4\times10^{6}m 得：v_{2nd}≈1.12\times10^{4}m/s 以上思路和方法在未来的电势能中也会被用到例二：第三宇宙速度原理同第二宇宙速度，但是多了一步。（1）利用太阳的质量M、日地距离R的数据求得从地球位置脱离太阳引力所需的最低速度：v_{太阳}=\sqrt{2GM/R}≈4.42\times10^{4}m/s （2）由于地球绕太阳旋转的速度 v_{地球}=2.98\times10^{4}m/s ，因此只要以一个恰当的角度利用好地球的速度，就能以最低的速度飞出太阳系，这个速度为：v'=v_{太阳}-v_{地球}=4.42\times10^{4}m/s-2.98\times10^{4}m/s=1.24\times10^{4}m/s （3）别忘了，飞出地球本身需要一定的动能克服地球引力做功，也就是克服地球引力的动能 mv_{2nd}^{2}/2（第二宇宙速度）加上 mv'^{2}/2 的动能：mv_{3rd}^{2}/2= mv'^{2}/2
+mv_{2nd}^{2}/2代入相关数值可以求得第三宇宙速度：v_{3rd}≈1.67\times10^{4}m/s