高中数学公式及知识点速记

对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

4、几种常见函数的导数

= 5、导数的运算法则

≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值

第三章 封闭系 测试(3)

1、第三章 第 12 题 N个自旋1/2的粒子排成一条直线，仅最近邻粒子间有相互作用．当两近邻自旋取向相同（都向上或都向下）时，两者相互作用能为ε；取向相反时，相互作用能为ε．试求此系统在温度为T时的配分函数. 解 第 12 题 第 1 步 这是铁磁体的一维伊辛模型，N个自旋有N-1个相互作用对.令 为平行自旋对的个数， 为反平行自旋对的个数，则 .对一给定构形，其能量为

8、第三章 第 14 题 由单原子分子组成的顺磁气体，单位体积的分子数为 . 当温度不太高时，可看作每个原子都处于基态，其固有磁矩μ与外磁场H 只有平行和反平行两种取向.气体服从麦-玻分布.试计算： (1) 分子处于μ与外磁场 H平行的概率ρ↑↑； (2) 分子处于μ与外磁场H反平行的概率ρ↑↓； (3)

15、第三章 第 15 题 系统由N 个线性谐振子组成，导出能量等于和大于给定能量 的振子数． 解 第 15 题 第 1 步 对于由近独立粒子组成的系统，粒子按状态的分布被称为麦克斯韦-玻尔兹曼分布．根据该分布，系统处于第j 个单粒子状态的平均粒子数为 ，

第四章 均匀物质的热力学关系

第四章 均匀物质的热力学关系 测试(1)

14、第四章 第 8 题 已知范德瓦耳斯气体的物态方程为 式中，a和b为常数，求内能和熵作为温度和体积的函数. 解 第 8 题 第 1 步 本题选在第4章可以通过热力学性质求解，也可在学习后面章节后，采用求解非理想气体配分函数的方法来求解，结果相同.这里则采用前一种方法求解.

21、第四章 第 12 题 一弹簧在恒温下的恢复力X与其伸长x成正比，即X = -Ax． 今忽略弹簧的热膨胀，试求出弹簧的自由能F、熵S和内能E的表达式. 解 第 12 题 第 1 步 在准静态过程中，当弹簧的长度发生dx的改变时，外力所作的功为 仿均匀定质量系统的热力学基本微分方程 当不考虑弹簧的体积变化时，可得其热力学基本微分方程 由自由能的定义 若以T，x为独立变量，考虑式（1）及胡克定律X = -Ax，则自由能的全微分方程为

第四章 均匀物质的热力学关系 测试(2)

4、第四章 第14题 证明熵S(p, H)和物态方程V(T, p)是否为特性函数？ 解 第 14 题，第 1 步 马休(Massieu)于1869年给出特性函数的定义：对于均匀系统，如果独立变量选择得当，只要有一个热力学函数就可通过偏导数运算求得系统其他的热力学函数，这个热力学函数称为特性函数．

11、第 14 题，第 8 步 再来考虑物态方程 当独立变量为T，p时，欲求其他热力学函数，先求吉布斯函数最为方便，其热力学微分方程为 ( )

20、第四章 第17题 一根均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，计算在达到均匀温度1/2(T1+T2)后熵的增加. 解 第 17 题，第 1 步 以L表示杆的长度，由题意可知，温度梯度为 （设 ）

第五章 气体的性质 测试(1)

1、第五章 第2题 表面活性物质的分子在液面上做二维自由运动，可以看作二维理想气体.试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求出平均速率 ，最概然速率 和方均根速率 解 第 2 题，第 1 步 一般的理想气体均可视为经典气体.根据题意，可用麦-玻分布的经典近似公式讨论二维理想气体.麦-玻分布已给出气体分子按能量的分布.当忽略分子的内部运动时，分子的能量则为质心的平动能.现在应用麦-玻分布研究二维理想气体分子分布，导出麦克斯韦速度分布和速率分布. 根据麦-玻分布，四维μ空间体积元 内的平均粒子数为

28、第五章 第7题 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体.不考虑分子间的相互作用，由正则分布导出该气体的物态方程 解 第 7 题，第 1 步 根据题意，此系统可视为二维理想气体. 为了导出气体的物态方程，首先需要计算系统的配分函数，这是解决此类问题的基本步骤.根据正则系综理论，若气体分子的能级是“准连续”的，则体系的配分函数为 ( ) (式中，r为分子自由度)

31、第 7 题，第 4 步 求得二维气体的配分函数后，根据基本热力学公式，可以得到内能、压强(物态方程)、熵等基本热力学函数.本题要求导出二维气体的物态方程，则根据压强公式可得 （） 由结果可知，在不考虑分子间相互作用的时候，气体物态方程与二维单原子分子理想气体物态方程相同，即分子内部运动对物态方程没有贡献，物态方程仅与分子质心的平动有关

32、第五章 第10题 遵循经典统计的N个粒子组成的理想气体系统，粒子能量为ε = cp.在不考虑粒子内部结构时，求理想气体的热力学函数E，H，Cp和Cv. 解 第 10 题，第 1 步 根据题意，粒子能量满足ε = cp关系，属于极端相对论性粒子，且本题不考虑粒子的内部结构，可将体系视为最简单的单原子分子理想气体.首先写出系统能量，其次求出系统配分函数，最后利用基本热力学公式，通过偏导数求出内能、物态方程和熵三个最基本的热力学函数，进而得到其他热力学函数. 设单粒子的配分函数为z，系统配分函数为Z，压强为p，熵为S，内能为E，定压热容量为Cp，定容热容量为Cv，c为光速.

第六章 开放系 测试（1）

1、第六章 第1题 用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程、内能、熵和化学势. 解 第 1 题，第 1 步 开放系(粒子数可变的体系)既和外界交换能量又交换粒子，达到平衡态时，体系具有确定的温度、化学势和体积. 描述这种系统的系综为巨正则系综，遵循巨正则分布. 利用巨正则分布求解热力学函数的过程与前面章节介绍的利用其他分布求解热力学函数的过程是相同的，首先求出巨配分函数的对数lnΞ，然后通过求导数等运算获得热力学函数. 适用于开放系的巨正则分布为 在非简并和能级准连续的极限情形，量子统计退化为经典统计. 巨配分函数的经典形式则为 （ ） (式中，r为粒子的自由度，E(q,

18、第六章 第9题 蒸汽与液相达到平衡.在维持两相平衡的条件下，导出蒸汽的两相平衡膨胀系数 与温度T及相变潜热L的关系. 解 第 9 题，第 1 步 在蒸汽与液相达到平衡时，克拉珀龙方程 给出相平衡条件.本题则用蒸汽体积随温度的变化率

23、第六章 第10题 证明半径为r的肥皂泡内压与外压之差为 证 第 10 题，第 1 步 用γ1代表外界面相，γ2代表内界面相.由于界面相是一个很薄的薄层，故可视其面积相同，均为A.在相变过程中，其质量和体积的变化均可略去，将以肥皂泡分界的内外两相分别用α和β表示．可将三相的独立变数分别取为 、 和 ，假定系统已满足热平衡条件，即 . 同时，系统的总体积 和 粒子数也保持不变．因此，可用自由能判据来讨论． 如果α相的半径r有微变动δr，则其体积和内界面面积的变化分别为 α，γ相的自由能可写为

第六章 开放系 测试（2）

1、第六章 第11题 表面张力σ恒定的肥皂膜形成球形皂泡，泡内有空气（视为理想气体），用 和T分别表示外部压强和温度. （1） 找出皂泡的平衡半径r和其内部空气质量间的关系； （2） 对“充分大”的半径r，解出式（1）中的关系. 解 第11题 第1步 （1）本题属于曲面为边界的二相系平衡问题. 设τ为皂泡表面积，

6、第六章 第14题 一理想溶液中有两种组元，其摩尔分数分别为 和 ，已知一组元的化学势为 试根据吉布斯关系求另一组元的化学势. 解 第14题 第1步

7、第14题 第2步 式中， 为第i组元的偏摩尔吉布斯函数，满足 (2) 因为它与组元之间的化学反应平衡性质密切相关，故也称其为化学势. 吉布斯函数又可写为 对上式两端微分，有

8、第14题 第3步 式中， 和 分别为两组元的物质的量. 另外，摩尔分数 和 分别满足

12、第六章 第15题 mol的气体 和 mol的气体 的混合物在温度T和压强p下所占的体积为

16、第六章 第16题 试求：对化学反应 和 其平衡恒量满足的关系式，设α为分解度． 解 第16题 第1步 本题讨论有化学反应的物体系之平衡性质. 首先需给出化学反应方程的普遍形式. 化学反应在热力学中惯用的书写原则是：在生成物前冠以正号，反应物前冠以负号，令其代数和为零.根据这一原则，化学反应的普遍形式则为 （1） 式中， 代表第i种组元的名称， 为其参加反应的物质的量. 根据质量作用律的定义 （2） 平衡恒量K是T和p的函数，在温度和压强不变的条件下，它是常数. 还可定义定压平衡恒量 ，满足 （3） K和

第七章 量子统计法 测试（1）

3、第七章 第4题 随着超大规模集成电路和半导体光电器件技术的发展，一维固体 (很多平行的原子长链，链之间作用很弱) 和二维固体 (很多平行的原子平面，平面之间作用很弱) 的物理性质备受关注. 试证明：在低温极限下，它们的热容分别与T, 成正比. 证 第4题 第1步 将长度为L的一维原子链视为可传播纵波和横波的连续弹性链. 由周期性边界条件可知，在k～k + dk波矢范围内，可能的波矢数为 . 若以 和 分别表示纵波和横波的传播速度，则二者的角频率ω与波矢大小分别满足

8、第4题 第6步 同理，对面积为 的二维固体，由周期性边界条件可知，在 波矢范围内，可能的波矢数为 . 若用k空间的平面极坐标表示，则在k～k + dk波矢范围内，可能的波矢数为

12、第七章 第5题 (1) 试求光子气体的压强随内能的变化关系，设E是光子气体的内能，V是体积； (2) 利用热力学基本定律和上述关系，推导光子气能量对温度的依赖关系. 解 第5题 第1步 首先回顾光子气体的一些基本特征： (1) 光子之间无相互作用. 光子组成的系统——光子气为近独立粒子系，是理想气体. (2) 光子没有经典粒子与之对应，光子气是典型的量子简并气体. (3) 光子的静止质量为零，频率为ν的光子的能量为ε = hν，动量为p = hν/c (c为光速). (4) 光子是自旋为1的玻色子，不受泡利不相容原理的约束. 由于电磁波只有两个偏振方向，即自由度为2，对应的光子只有两个自旋态，自旋投影取零的态是非物理态. (5) 光子数不守恒，则光子气的化学势μ = 0. ① 考虑到光子动量态的简并度为2(两个偏振方向)，根据光子能量与动量的关系ε =

第七章 量子统计法 测试（2）

1、第七章 第7题 考虑体积V内，温度为T的光子气. 已知光子静质量为零，即ε = cp. (1) 光子气化学势是多少？ (2) 确定光子数对温度的依赖关系； (3) 能量密度可写为 ，试确定能量谱密度ρ(ω)； 解 第7题 第1步 (1) 光子气化学势为零.

4、第七章 第8题 试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率及与费米能量间的关系. 解 第8题 第1步 电子的自旋为1/2，由其组成的电子气是最典型的费米子系统，遵循费米-狄拉克统计. 电子的能量与速率间的关系为 . 首先考虑态密度，若引入态密度g(v)，其意义为单位速率间隔内的状态数，则在体积V内，速率处于v ~ v +

6、第8题 第3步 式中， 为化学势或费米能量，且满足 ， 为费米速率(度). 在绝对零度时，费米函数简化为能量的阶跃函数. 根据题意，还可将费米函数进一步简化为速率的阶跃函数

第七章 量子统计法 测试（3）

17、第16题 第2步 根据色散关系 ，可得在体积V中，ω～ω + dω频率范围内，准粒子的状态数为 ，式中， .

第八章 涨落理论 测试

12、第八章 第3题 试证明：开放系涨落的准热力学公式为 在T，V恒定时计算 ， . 证 第3题 第1步 考虑系统和源构成一个孤立的复合系统，则涨落状态出现的概率应与其相应的热力学概率成正比，即 （1） 由于熵为广延量而具有可加性，则复合系统熵的偏离是系统的熵偏离和源的熵偏离之和 .开放系的热力学基本方程给出 . （2） 复合系统是孤立系，必有 （3） （4） （5） 所以

6、第3题 若一温度为 的高温物体向另一温度为 的低温物体传递热量Q，试用熵增加原理证明此过程为不可逆过程. 解 第3题 第1步 熵增加原理为:孤立系内发生的任何过程，其熵不减，熵在可逆过程中不变，在不可逆过程中增加. 视

9、第3题 第4步 在T＝0K时，在 的每一量子态上平均电子数为1，在 的每一量子态上平均电子数为0。可以理解为：在T＝0K时电子将尽可能的占据
    A、能量最高的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从 的状态起依次填充到 .
    B、能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从 的状态起依次填充到 .
    C、状态数最少的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从 的状态起依次填充到 .
    D、状态数最多的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从 的状态起依次填充到 .

10、第4题 物体的初始温度 高于热源的温度 .有一热机在此物体和热源之间工作，直到物体的温度降低到 为止，若热机从物体吸收的热量为Q,根据熵增加原理求此热机输出的最大功. 解 第4题 第1步 令 ， ， 分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变.由熵的相加性知，整个系统的熵变为

14、第5题 设经典双原子分子的振动能量为一维线性谐振子 试求分子的振动配分函数，从而求得双原子分子理想气体的振动熵. 解 第5题 第1步 本题可通过正则分布或麦-玻分布来获得系统的配分函数Z ，从而得到内能和熵．解决此类问题的关键是得到系统的配分函数，我们将以正则分布为例来给出此题的解题过程． 正则分布给出“封闭系”微观状态按能量分布的规律，即 （1） 式中， 为玻尔兹曼因子，系统的配分函数为 （2）

7、第2题 第3步 但前者的弊病在于
    A、大量次观测需要无限长的时间，而严格的孤立系并不存在,经无限长时间后系统已不是原来的系统.故采用系综讨论系统的分布函数.
    B、几次观测需要无限长的时间，而严格的孤立系并不存在,经无限长时间后系统已不是原来的系统.故采用系综讨论系统的分布函数.
    C、大量次观测不需要无限长时间，而严格的孤立系并不存在,经无限长时间后系统已不是原来的系统.故采用系综讨论系统的分布函数.
    D、几次观测不需要无限长时间，而严格的孤立系并不存在,经无限长时间后系统已不是原来的系统.故采用系综讨论系统的分布函数.

21、写出T 0时的费米函数，并解释其物理意义，进而求出T=0时金属中自由电子气的平均动量. 第6题 第1步 解: 费米函数为 （1） 其物理意义为一个状态上的平均电子数.

    A、自由能可由其导数及代数运算求出，这个函数称为特性函数.
    B、其它热力学函数可由其导数及代数运算求出，这个函数称为特性函数.
    C、吉布斯函数可由其导数及代数运算求出，这个函数称为特性函数.
    D、其它热力学函数可由其导数运算求出，这个函数称为特性函数.

21、第 7 题 第 4 步 若体系在 不变时降温，（1）结合（2）式，欲 不变，需 直至为零，此时T=Tc. 则_______. 可知若n有限,则Tc=0,