泰勒公式跟麦克劳林公式的关系,为什么e的x^2次方,可以先看成先写出e^x的泰勒公式跟麦克劳林公式的关系,然后将式？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-10 05:36 标签： 泰勒公式跟麦克劳林公式的关系

常用十个泰勒展开公式 泰勒公式,泰勒公式⑴真的非常有名,我相信上过高数课的一定都记得它的大 名。即使你翘掉了所有的课,也一定会在考前重点里见过。 我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而 已。最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。 泰勒公式的用途 在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带看对用途的理 解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。这也是我自学这么久总结出来的 规律。 泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我 们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。所以我们希望能够找到一个近似的方法 来获得一个足够近似的值。 从这里,我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。我们 既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。否则一切 都没有意义，结合实际其实很好理解,比如我们用机床造一个零件。我们都知道 世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是 可控的，并且在一定的范围内。泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似, 也可以保证得到的结果是足够精确的。 泰勒公式的定义 我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似 值。但是我们怎么来求呢,其实一个t凸交朴素的思路是通过斜率逼近。 举个例子: 这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随看Ax的减小，点P0和P也 会越来越接近,这就带来了 Ay越来越接近Ax f'(xO)。 当然，当Ax比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引 入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶 导数,我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n + 1)阶导数,我们试看写出一个多项 式来逼近原函数： P.n(x) =ao 丄创(丄 _ 巧)+ _ ’ci)? 1- 4仗 _ 刊)” 我们希望这个式子与原值的误差趣小趣好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们 给出了定义，希望它是 （x-xO）A n的高阶无穷小。也就是说误差比上（x-xO）A n的极限是0。 我们前面说了 ,我们是通过导数来逼近的,所以我们假设： 禺（迓0）= PnM -尸（力0） 冗伽）-严（讪…尼切二严）（巩） 按照这个假设我们可以很方便地得到系数了，其实很简单，我们构造系数使得求 导之后相乘的常数项全部约掉。 ?0 - f 伽）＞1 ?血=尸伽） 2! ‘ 血=严（怎°）,…,加 ‘ g = /n（xo） 我们把这两个式子带入一下,可以得到： 耳2） = /（^0）+尸（珈）（龙一引）+ 码了?（卫一叼尸# … —龙0厂 泰勒公式的证明 其实上面的式子就是泰勒公式的内涵了，也就是说我们通过高阶导数来逼近了原 函数。最后我们只需要证明这个式子就是我们根要的,也就是它的误差足够小。 我们同样用一个函数R（X）来表示P_n（x）与原函数f（x）的差值。我们直接比 较比较困难,所以数学家采取了一系列花里胡哨、叹为观止的操作。 我们带入一下可以发现，R（xO）二0 ,不仅如此: Ji(xq) = jR"(￡0)=…=(XQ)= 0 以上步骤完全不需要证明,我们直接带入求导就可以得到。因为存在x - xO的 项，很明显当x二xO的时候,可以得到如上的结论。 到这里,我们需要进行一个猜测,这里的步骤有一点跳跃。就连课本上都没有详 细的解释,没有详细解释的原因也很简单，因为需要用到积分的知识。而读者在 这里是还没有接触过积分的，不过，我们不是严谨的论文，可以稍稍放松一些。 其实根据上面的公式,我们是可以有些猜测的。根据上面的规律，以及我们的目 标——证明这个R(x)函数是一个关于(x-xOF n的无穷小所以我们可以猜测 它应该是一个与(x-xO)^(n + l)相关的函数。

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