第1篇：比例的知识点总结

学而不思则罔，思而不学则殆，在我们进入新阶段的时候，要对自己过去的思想和行为进行反思，从中得到的体会总结出来，以求与同行共勉。下面是小编带来的是比例的知识点总结，希望对您有帮助。

1．比例的意义和组成部分：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

2．比例的基本*质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本*质。

（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。

（2）比有基本*质，它是化简比的依据；比例也有基本*质，它是解比例的依据。

4．解比例：根据比例的基本*质，把比例转化成以前学过的方程，求比例中的未知项，叫做解比例。

5．成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的（一定）。

6．成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定）。

7．判断两种量成正比例还是成反比例的方法：先要看它们的变化规律，关键是看这两个相关联的量中相对的两个数的比值（商）一定还是乘积一定，如果商一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。

（1）比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。图上距离=比例尺实际距离

（2）比例尺的分类：数值比例尺和线段比例尺。（数值比例尺的前项和后项单位要一样，一般是厘米。而线段比例尺的前项和后项单位不一样，比如课本54页

做一做的那个，它表示图上1厘米相当于实际距离600米。）

缩小的比例尺和放大的比例尺。（缩小的比例尺比如1?300000，放大的比例尺比如2?1）

（3）要会求比例尺:根据比例尺的意义，写出图上距离?实际距离的比，单位化成一样并化简，一般要写成前项或后项是1的比。

（4）会根据比例尺、图上距离、实际距离三者之间的关系来求图上距离和实际距离。会用比例尺来画图。（请认真复习课本第54到58页的例题和练习）相关方法：实际距离×比例尺=图上距离图上距离÷比例尺=实际距离图上距离÷实际距离=比例尺

（5）图形的放大与缩小：按照比例尺把图形的各边相应缩小或放大，所得的图形只是大小发生了改变（这里的大小指的是边长的长短），形状还是与原来相同。

（1）先在题中找到两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系。有些题目中的两个数量直接可以用正、反比例的公式去判断，比如单价一定，总价和数量肯定成正比例关系。还比如路程一定，速度和时间成反比例。有些题目中的两个数量还可以根据数量的变化规律来判断，比如课本第64页的第5题，修一条水渠，每天工作6小时要修12天完成，每天工作8小时要修完的天数肯定要少于12天，因为水渠的长度不变，每天工作的时间越长最后完成的天数会相应的减少，所以每天工作的时间和天数这两个数量符合反比例关系的变化规律，一个变大，另一个反而变小，因此它们成反比例关系。

（2）判断好成什么比例关系后，就可以根据公式写出比例（方程），再解比例把问题解决。在写正比例关系方程的时候等号左右两个比一定要意思相一致，比如前面一个比是路程比速度，那么后面那个比也要路程比速度。另外两个比的单位名称也要一致，比如前面的比单位名称是厘米比米，那么后面那个比单位名称也要厘米比米。

（3）用比例解决问题的题目都是我们以前会做的应用题，只是现在用比例的方法来解决。所以请大家一定要善于总结和反思，把自己不会做的题目或者经常要做错的题目抄在笔记本里，分析一下自己为什么会做错，不懂的地方要多问问其他同学，要经常*的去读一读，想一想，做一做，一定要把它们牢记在脑子里。

所以请把单元复习题里做错的应用题认真的进行反思，再去做做，并记住！

第2篇：反比例函数知识点总结

各位同学们注意啦，小编给大家带来了反比例函数知识点总结，下面贴出内容，希望大家喜欢。

若k为常数，则函数y=k/x就是反比例函数，自变量和自变量的函数分别是x和y，又因为反比例函数式本身是一个分数，所以x可以是任意不等于0的实数。同时，函数式有时候也写成y=k·x^（-1）或者k=xy.反比例和正比例函数以及一次函数等都是二次函数的基础，它们的应用一样广泛，所以不要轻视反比例函数。

那么，怎样学好反比例函数？其实反比例函数不难，只要能理清思路，把反比例函数知识点理清，把反比例函数图像理解透彻，一切是那么容易，总之，只要你能熟练数形结合，任何函数学习都会轻松很多。

步骤/方法以下是反比例函数知识点总结

1、反比例函数的表达式

x是自变量，y是x的函数

y=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处x必须为一次方）

2、函数式中自变量取值的范围

①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴y轴但不会与坐标轴相交（k≠0）。

4、反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？

过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点p（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、p点组成一个矩形，矩形的面积s=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|

研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点p作x轴、y轴的垂线pm、pn，垂足为m、n则矩形pmon的面积s=pm·pn=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

5、反比例函数*质有哪些？

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点p，q，过点p，q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为s1，s2则s1=s2=|k|

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于a、b两点（m、n同号），那么ab两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x，y=-x轴对称，并且关于原点中心对称.

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点

第3篇：正比例函数知识点总结

正比例函数属于一次函数，是一次函数的一种特殊形式。即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，则叫做正比例函数。下面是小编收集整理的正比例函数知识点总结，希望对您有所帮助！

正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为

第4篇：初二数学比例的知识点总结

我们所学的比例是用于反映总体的构成或者结构，是一种代数计算要领。

是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重。

比例分为比例尺和比例两种.表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的基本*质。求比例的未知项，叫做解比例。

①表示两个比值相等的式子叫做比例，如3:4=9:12、7:9=21:27

比例有四个项，分别是两个内

第5篇：初二数学反比例知识点总结

满足关系式xy=k(k为常量)的两个变量，我们称这两个变量的关系成反比例;

显然，若y与x成反比例，则xy=k(k为常量);反之亦然。

例如：在行程问题中，若路程一定，则速度与时间成反比例;在做工问题中，若工作总量一定，则工作效率与工作时间成反比例。

也就是说，总量不变，其他量变，其它量就成反比例。

两种相关联的量，一种量随另一种量变化而变化，但这两种量之积一定是个常数，这时，这两种量是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。通常用xy=k(常数)来表示。

反比例关系在应用题中属于归总

第6篇：六年级数学比例的知识点汇总

1、理解比例的意义和基本*质，会解比例。

2、理解正比例和反比例的意义，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，能运用比例知识解决简单的实际问题。

3、认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。

4、了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。

5、认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。

6、渗透函数思想，使学生受到辩*唯物主义观点的启蒙教育。

第7篇：九年级数学反比例函数知识点总结人教版

函数的相关知识非常多，也是各种数学考试中常出现的题目。接下来是小编为大家收集整理的九年级数学反比例函数知识点总结人教版，欢迎大家学习!

本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和*质的过程。

本节课前一课时是在具体情境中领会反比例函数的意义和概念。函数的*质蕴涵于概念之中，对反比例函数*质的探索是对其内在规定*的的认识，也是对函数的概念的深化。同时，本节课也是下一节

第8篇：初一地理知识点总结归纳之比例尺计算方法

地图按比例尺分为大比例尺地图、中比例尺地图、小比例尺地图三类，这是区别地图内容详略、精度高低、可解决问题程度的，为人们常用的一种分类方法。

如果将原比例尺放大到n倍;那么原比例*n。

如果将原比例尺放大n倍;那么原比例*(n+1)。

如果将原比例尺缩小到1/n;那么原比例*1/n。

如果将原比例尺缩小1/n;那么原比例*(1-1/n)。

比例尺缩放后,原面积之比会变为缩放倍数的平方。

总结：鉴于各个国家、国内各个部门对地图精度的要求和实际使用的情况不尽相同，因而对地图比例尺大小的概念有所不同，以普通地图为

第9篇：等比数列知识点总结

知识点是在教育实践中，对某一个知识的泛称，多用于口语化，特指教科书上或考试的知识。下面是等比数列知识点总结，请参考！

（1）如果a,a,b成等比数列，那么a叫做a与b的等差中项，即：a2=

ab或a=注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

第10篇：比热容知识点总结

题目所在试卷参考答案：

2016年河南省信阳市中考数学一模试卷

1．下列各组数中，互为倒数的是(　　)

A．2和﹣2　　 B．﹣2和　 C．﹣2和﹣　　　 D．﹣和2

[分析]根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．

[点评]本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．

2．下列不是三棱柱展开图的是(　　)

[考点]几何体的展开图．

[分析]根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．

[解答]解：∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，

∴C选项不是三棱柱展开图，

[点评]本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．

3．据统计，今年春节期间(除夕到初五)，微信红包总收发次数达321亿次，几乎覆盖了全国75%的网民，数据“321亿”用科学记数法可表示为(　　)

[考点]科学记数法-表示较大的数．

[分析]科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

[点评]此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．如图，把等腰直角三角板的直角顶点放在刻度尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数为(　　)

[考点]平行线的性质．

[分析]先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．

[解答]解：∵直尺的两边互相平行，∠1=60°，

[点评]本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

5．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民2015年4月份用电量的调查结果：

那么关于这10户居民月用电量(单位：度)，下列说法错误的是(　　)

A．中位数是50　　 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是21

[考点]方差；中位数；众数；极差．

[分析]根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，极差与方差，即可做出判断．

[点评]此题考查了方差，中位数，众数，以及极差，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．

6．一次函数y=kx+b的图象如图，则当0＜x≤1时，y的范围是(　　)

A．y＞0 B．﹣2＜y≤0　　　 C．﹣2＜y≤1　　　 D．无法判断

[考点]一次函数的性质．

[分析]根据一次函数的图象与两坐标轴的交点直接解答即可．

[解答]解：因为一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴的交点分别为(1，0)、(0，﹣2)，

所以当0＜x≤1，函数y的取值范围是：﹣2＜y≤0，

[点评]本题考查的是用数形结合的方法求函数的取值范围，解答此题的关键是正确观察函数在平面直角坐标系内的图象，属较简单题目．

[考点]平行四边形的性质．

[分析]由平行四边形的性质得出AD=BC=4cm，AB=DC，AD∥BC，由平行线的性质和角平分线求出BE=AB=4cb，得出BC=7cm，即可得出结果．

[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形，

[点评]本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．

8．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为(　　)

A．2　　　 B．﹣2　 C．3　　　 D．﹣3

[考点]反比例函数与一次函数的交点问题．

[分析]想办法把C点坐标用a表示出来，然后代入y=﹣即可．

[解答]解：作CE⊥x轴于E，

∴点C坐标(﹣，　a)，

[点评]本题考查反比例函数与一次函数的有关知识，学会用转化的思想解决，把问题变成方程是解题的关键，属于中考常考题型．

二、填空题：每小题3分，共21分．

[考点]实数的运算；特殊角的三角函数值．

[分析]首先化简二次根式以及利用特殊角的三角函数值代入求出答案．

[点评]此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．

10．不等式组的解集为　﹣3＜x＜﹣2　．

[考点]解一元一次不等式组．

[分析]分别求得各不等式的解集，然后求出公共部分即可．

则不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．

故答案为：﹣3＜x＜﹣2．

[点评]]此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中“立定跳远”、“1000米跑”、“篮球运球”为必测项目，另一项从“掷实心球”、“一分钟跳绳”中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的概率是　　．

[考点]列表法与树状图法．

[分析]首先分别用A，B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”选择同一个测试项目的情况，利用概率公式即可求得答案．

[解答]解：分别用A，B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”，

∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的有2种情况，

[点评]此题考查了树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

[考点]等腰三角形的性质．

[分析]设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．

[点评]本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．

13．在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(5，﹣2)，以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是　(，﹣1)或(﹣，1)　．

[考点]位似变换；坐标与图形性质．

[分析]由以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，直接利用位似图形的性质求解即可求得答案．

[解答]解：∵以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，B(5，﹣2)，

∴点B的对应点B′的坐标是：(，﹣1)或(﹣，1)．

故答案为：(，﹣1)或(﹣，1)．

[点评]此题考查了位似图形的性质．注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为　8﹣4+π　．

[考点]扇形面积的计算．

[分析]根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，进而求得∠1=60°；由勾股定理求出DE，再根据阴影FDE的面积S₁=S_扇形AEF﹣S_△ADE、阴影ECB的面积S₂=S_矩形﹣S_△ADE﹣S_扇形ABE列式计算即可得解．

则图中阴影部分的面积为=8﹣2﹣π+π﹣2=8﹣4+π．

故答案为：8﹣4+π．

[点评]本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出∠AED=30°是解题的关键，也是本题的难点．

15．如图，有一张长为8cm，宽为7cm的矩形纸片ABCD，现要剪下一个腰长为6cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)，则剪下的等腰三角形的面积为　18或3或12　cm²．

[考点]勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质．

[分析]因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：

(1)△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；

(2)先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；

(3)先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．

[解答]解：分三种情况计算：

故答案为：18或3或12．

[点评]本题主要考查了勾股定理的运用，矩形的性质，三角形的面积，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．

三、解答题：本大题8个小题，共75分．

16．先化简分式：()，若该分式的值为2，求x的值．

[考点]分式的化简求值．

[分析]先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由该分式的值为2，求出x的值即可．

∴=2，即2(x+2)=4，解得x=0，经检验x=0是分式方程的解．

[点评]本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，tanA=．

(1)求证：CE是⊙O的切线；

(2)猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．

[考点]切线的判定；菱形的判定．

[分析](1)连接OD，由锐角三角函数得出∠A=60°，证出△OAD是等边三角形，得出∠ADO=∠AOD=60°，再证明△COD是等边三角形，得出∠COD=60°=∠ADO，证出OC∥AE，由已知条件得出CE⊥OC，即可得出结论；

[解答](1)证明：连接OD，如图所示：

∴△OAD是等边三角形，

∴△COD是等边三角形，

(2)解：四边形AOCD是菱形；理由如下：

由(1)得：△OAD和△COD是等边三角形，

∴四边形AOCD是菱形．

[点评]本题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、三角函数、菱形的判定；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

18．手机给人们的生活带来了很多的方便，但也出现了过度使用手机的现象，出现了所谓的“手机控”、“低头族”等，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生家长有　200　名，“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是　36°　；

(2)请补全报“无所谓”态度的家长所对应的条形统计图(标上柱高数值)；

(3)请你对初中生是否应该带手机上学提出一个合理化的建议．

[考点]条形统计图；扇形统计图．

[分析](1)根据赞同的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以无所谓所占的百分比求出无所谓的人数，用总人数减去其它的人数求出很赞同的人数，然后乘以360°求出“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角的度数；

(2)根据(1)求出无所谓的人数可直接画出条形统计图；

(3)根据学生现在正需要好好地学习，不应该带手机，网络这么发达，会影响学习．

[解答]解：(1)本次调查的学生家长有=200(名)，

则“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是360°×=36°；

故答案为：200，36°；

(2)根据(1)求出的无所谓的人数是40，补图如下：

(3)初中生不应该带手机，影响学习．

[点评]本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

(1)求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．

(2)若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．

[考点]根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

[分析](1)求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；

(2)分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答．

故不论k取何实数，该方程总有实数根；

(2)解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，

当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，

[点评]本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根与△=b²﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

20．如图1，被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)就坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度．如图2，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上测得楼顶的仰角为30°．若高台高DE为5米，点D到点C的水平距离EC为187.5米，A、C、E三点共线，求“玉米楼”AB的高(，结果保留整数)．

[考点]解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

[分析]作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，根据题意和正切的定义表示出DM、FM，列出方程，计算即可．

答：“玉米楼”AB的高约为280米．

[点评]本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

21．“红星”中学准备为校“教学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具，已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元，2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元．

(1)求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？

(2)如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x(x＞0)件甲种学习用具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱．

[考点]一次函数的应用；二元一次方程组的应用．

[分析](1)设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元，根据花费钱数=单价×数量，结合两种不同购进方式可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

(2)结合优惠政策对x进行分段考虑，由花费钱数=单价×数量，可得出y关于x的函数关系式；

(3)找出购进乙种学习用具x件的花费，令乙种的花费＜甲种的花费找出关于x的一元一次不等式，解出不等式即可得出结论．

[解答]解(1)设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元，

根据题意得：，解得：．

答：每件甲种学习用具的进价是30元，每件乙种学习用具的进价是27元．

(3)购买x件乙种学习用具的花费为27x元，购买x件甲种学习用具的花费为(21x+180)元，

即：当20＜x＜30时，购进乙种学习用具更省钱；当x=30时，两种学习用具的花费一样；当x＞30时，购买甲种学习用具更省钱．

[点评]本题考查了解二元一次方程组、一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：(1)根据已知列出关于a、b的二元一次方程组；(2)结合优惠政策分段寻找函数解析式；(3)令购买乙种的花费＜购买甲种的花费找出此时的x的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目时，把握住数量关系是关键．

22．阅读并完成下面的数学探究：

(1)[发现证明]如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图(1)证明上述结论．

[考点]四边形综合题．

[分析](1)根据旋转变换的性质和正方形的性质证明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，证明结论；

(2)把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，证明△EAF≌△HAF，证明即可；

(3)延长BA交CD的延长线于P，连接AF，根据四边形内角和定理求出∠C的度数，得到∠P=90°，求出PD、PA，证明∠EAF=∠BAD，又(2)的结论得到答案．

[解答](1)证明：由旋转的性质可知，△ABE≌△ADG，

∴G、D、F在同一条直线上，

∵四边形ABCD是正方形，

证明：如图(2)，把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，

∴∠ADH+∠D=180°，即F、D、H在同一条直线上，

故答案为：∠EAF=∠BAD；

(3)如图(3)，延长BA交CD的延长线于P，连接AF，

[点评]本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边都相等、四个角都是直角，旋转变换的旋转角相等、旋转后的三角形与原三角形全等是解题的关键．

23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c关于直线x=对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．

(1)①求点B的坐标；②求抛物线的解析式．

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC，若△PAC的面积是△ABC面积的，求出此时点P的坐标．

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ADC为直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

[考点]二次函数综合题．

[分析](1)①由直线过点A，可得出点A的坐标，由A、B关于直线x=对称可找出B点的坐标；

②由直线经过点C可求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)由△PAC的面积是△ABC面积的，结合同底三角形的面积公式即可得出点P到直线AC的距离为点B到直线AC的距离的，设出P点坐标，由点到直线的距离可列出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；

(3)假设存在，设出D点坐标，由两点间的距离公式用n表示出各边长度，结合勾股定理分别讨论即可得出结论．

即点A的坐标为(4，0)．

∵A、B关于直线x=对称，

∴点B的坐标为(﹣1，0)．

∴点C的坐标为(0，2)，

故抛物线解析式为y=﹣++2．

设点P的坐标为(m，﹣　+m+2)，

∵点P为直线AC上方的抛物线上的一点，

∵△PAC的面积是△ABC面积的，

∴点P到直线AC的距离为点B到直线AC的距离的．

由点到直线的距离可知：|m﹣+m+2﹣2|=|﹣﹣2|，

所以点P的坐标为(1，3)或(3，2)．

(3)假设存在，设D点的坐标为(，n)．

由两点间的距离公式可知：AC==2，AD=，CD=，

△ADC为直角三角形分三种情况：

此时点D的坐标为(，﹣5)；

此时点D的坐标为(，5)；

此时点D的坐标为(，1+)和(，1﹣)．

综上可知：在抛物线的对称轴上存在点D，使△ADC为直角三角形，点D的坐标为(，﹣5)、(，5)、(，1﹣)和(，1+)．

[点评]本题考查了待定系数法求解析式、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是(1)待定系数法求解析式；(2)结合点到直线的距离列出关于m的一元二次方程；(3)结合两点间的距离公式和勾股定理得出关于n的方程．本题属于中档题，(1)难度不大，(2)可以借助点到直线的距离找出关于m的一元二次方程来解决问题，(3)分情况讨论找出点D的纵坐标．

则可写为xy=2则.对于任意一个不等于0的X,Y都有值使XY等于2,可以看为 y=2（1/X),由于分子不为0所以Y不为0,又由于X为非0实数,其倒数必为非0实数,所以Y不能为0为其值域.