资本有机构成迅速提高。又会加快资本的积聚。因而会加速资本的集中;另一方面，资本积聚使个别资本总额增大，
二者的联系在于它们相互制约，所以它的增长比较缓慢;而资本集中则不存在这种限制，第二，而资本集中则不会增大社
③)资本积聚和资本集中的关系。亦即它既可以采取大资本吞并中小资本
②资本集中：把原来分散的中小资本合并成为少数的大资本。从
而引起生产资料和劳动力的积聚。
①资本积聚：单个资本家通过剩余价值的资本化，
(三)资本积聚和资本集中的关系
资本有机构成提高的前提是单个资本的增大。
劳动在任何条件下都不能成为商品。
那么这里就出现了一个与上述知识点相关的难点——资本主义工资是劳动力的
价值或价格。所以，剩余劳动时间相对延长，劳动力价值也降低，使劳动生产率普遍提高，是个别企业改进生产技术、提高劳动生产率的直接动机，它
是商品的个别价值低于社会价值的差额。使其产品的个别
价值低于社会价值而得到更多的剩余价值。二者之间的区别：物质技术基础以及在资本主义发展的各个历史阶段上所
起的作用不同。也是相对剩余价值生产的起点。两者在本质上是一致的;第二，
然后我们要理顺绝对剩余价值生产和相对剩余价值生产的关系：
首先，相对剩余价值是指在工作日长度不
接着，绝对剩余价值生产是指在雇佣工人的必要
25、（103）设函数f(x)在闭区间[0,3]上连续,在开区间(0,3)内二阶可导,且
方法：1）同时两次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理2）用一次后再用一次
2）直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理（要求a,b分离）
2）恒等变形，2）内具有二阶导数且
11、设f(x)在[0,2]上连续，证明至少存在一个
10、设f(x)在[0,3]上连续，2]上满足拉格朗日中值定理，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，
7、（0234，证明方
式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．
而基点和阶数，必须要搞清楚三点：
1．展开的基点；2．展开的阶数；
0
x如果函数f(x)在含有0的某个开区间(a,b)内具有直到n1则当x
在(a,b)f(x)可以表示为xx的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和，则至少存在一点,c(a、b)，
1、介值定理（根的存在性定理）
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.（2）零
设f(x)在[a、b]连续，掌握这四个定理的简单应用（经济）。
2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，介值定
第四篇：高等数学考研知识点总结5
第五讲中值定理的证明技巧
1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，然后对次重点知识辅
助做一些题，要反思，大家先针对我说的重点知识进行做题巩固，我希望大家能够事半功倍。因为大家的时间有限并且题海战术在没理解知识点之
在大家理解了基本概念以及明确了计算方法后，大家一定要沉下心仔细体会方法，所以，至于条件极值，大家可以把它跟一元函数极值做个类比。它分为无条件极值和
有条件极值。然后记住两个公式就行了。至于计算方向导数与梯度，大家只要掌握了链式法则就够了。计
算偏导数，不用理解方法怎么来的。其实考查计算对大家来说是最容
易的考法。计算实质上就是多元函数微分学的应用。说完概念，我说了对基本概念理解的重要性。后面的内容就偏向
计算了。大家通过自己推一推就可
以准确的把握这三个概念了。希望
大家不仅要记住结论，可微可以推出可导和连续，这是
相当重要的一个点。最后，虽然有些变化，所以实质上还是求一元函数的导数。那么可导就是说的偏导数。还是以二元函数为例。然后，把极限搞清楚
了，那么大家就选取两个方向来说明就够了。而一元函数中就两个方向。以二元函数为例，大家对极限的理解很
也就是要理解多元函数的极限，在多元函数微分学的知识体系中，我说的深刻理解概念
就是要说清楚多元函数微分学与一元函数微分学的区别以及大家需要注意的地
方。但也有区别。它与一元部分也有所
区别。相应的理论和方法也
可以从一元那里类比过来。多元函数积分学。多元部分较为重要。
你根本就不知道无从下手。去看。无论是哪本数学复习书，同学们要多利用这段时间夯实基础，不用再报培训班
第三篇：2021考研数学暑期复习：高等数学之多元函数微分学
暑期，都有个好成绩。一元函数的积
分计算的二重积分以及三重积分等的基础，还要求掌握用定积分求曲线弧长、旋转曲面的侧面积。在真题中确实出现过定积分几何
应用于微分方程结合出题的，数学三的同学要掌握用定积分求面积及旋转的体
积。其主要就是利用微元法在几何上应用，关于定积分的定义这一块，
常积分的计算，没有其他内容，这一块的内容大纲解析要求我们了解反常积分的基本定义，而2021年考研对于这块的知识出了道填空题，还有资料商城等你入驻
2021年考的那题敛散性的选择
考试使用毙考题，这个是不应该的。由于对这一块知识的生疏，这块内容在2021年考研数学一的第一道
选择题出现了，应当值得我们重视。以前考研真题中也出现过此类问题。求导，即含有变上限积分的极限计算题。这一块知识与极限结合，关于变上限积分
而对于微积分基本定理这一块的知识点是非常重要的。对于这一部分的内容与数列极限结合是我们要重视的。我们知道主要是利用夹逼定理和定积分定义两
种常用方法。因此希望这一部分能引起同学们的一定的
重视。是利用定积分定义来做的，与此同时还要求同学们知道其几何意义及定义中我们所要注
关于定积分的定义及性质。
是由于很多同学对反常积分的敛散性的判别不熟，了解反常积分的概念并会判别收
至于反常积分这一块，而其中有关定积分的定义是要求
我们掌握的重点，性质；微积分基本定理；反常积分以及定积分的
应用这几个部分。主要是换元法和分部积分法。掌握不定积分的的基本
公式，理解原函数的概念，我们结合刚刚出来的2021年考试大纲来明确这一部分的知识体系。我们在2021年的考研备考中所要注意的问
题。并结合今天出来的2021年考试大纲来给2021
这一部分内容与去年比较整体要求没有什么出入。今年比去年晚了半个月
的时间。还有资料商城等你入驻
2021考研数学考点解析：一元函数积分学
2021数学考试大纲已经出来了，是对t求导，则此时对该函数求导，G'(x)g((x))'(x)，
有引进新的积分变量，应注意在换元的同时要注意换积分限，原式为0，且有()a,x1t11
11不满足这些条件的代换将会导致错误的结果.()b，但偶函数的原函数不全是奇函数.7．应用换元
法计算定积分应注意哪些问题？
答：在应用定积分的换元法时，则
6．对连续函数而言，牛顿莱布尼兹公
式成立的条件还可以适当放宽，此公式也称为微积分基本定理.它把函数f(x)在区间a,b
上的定积分的计算转化为求f(x)的原函数在区间a,b
的计算十分方便.当条件不成立时，所以sgnx在1,1.5．在什么条件下，在a,b
不一定有原函数.例如符号函数sgnx在1,1x0是它的第
0,x01212xsincos,x022xxx，最后的结果中常数C一定不能忘记．4．下列两个命题是否正
命题都不正确.先讨论命题1），最后的结果应为arctan()C，所以不能就此结束，这里的最后结果
做到这里并没有完成求解原函数的任务，CC
(x0)3．利用换元法求解不定积分，所以，
这时要对两个常数C1,C2进行统一．
最后的常数要统一，在对其进行不定积分的时候，那么其全体原函数
0T6）、如果分段函数存在原函数，则其全体原函数均为偶函数；
当函数f(x)为偶函数时，因此在任意一个包含x0在其内部
数为xC，则在任意一个
这是因为，则该函数在该区间上存在原函数；
如果函数f(x)在区间上有第一类间断点，所以一个函数f(x)的原函数为其不定积分中的一个函数，这些函数之间相差
2）、一个函数的不定积分和原函数是两个不同的概念．
如果F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，由于C的不同，第一篇：2021考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分
2021考研数学常见疑难知识点精析之
1．关于不定积分的一些知识
1）、求导数与求不定积分是互逆的．已知一个函数其导数是唯一的，但是其逆运
C，导致一个函数的不定积分有很多函数，那么函数F(x)就是f(x)的在某个区间上
的一个原函数；函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为该函数在某个区间上的
3）、如果函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上不存在原函数．
当函数f(x)为奇函数时，则其只有唯一一个原函数为奇函数．5)、周期函数的
原函数不一定是周期函数．如果函数f(x)是以T为周期函数，则其原函数一定是连续的．2．分段函数不定
对于分段函数，要注意在分别求不定积分的时候，从而保证原函数的连续性．
x122解：作积分变量变换，因为原积分变量为x，而是含u，而是要再重新换为原来的积分变量．
要再次强调一下，在a,bf(x)未必是可积
所以f(x)在1,1.再讨论命题2），我们知道在某区间I上具有第一类间断点的函数在该区间上原函数
莱布尼兹公式成立？答：如果函数f(x)在a,b—莱布
尼兹公式成立，就不能用此公式.当然，例如有下面结论：
定理设f(x)在a,bF(x)存在，奇函数的原函数是偶函数吗？偶函数的原函数是奇函数吗？
答：奇函数的原函数是偶函数，首先要注意选取代换的函数x(t)必须在[,
从而，结果显然不正确.产生错误的原因在于x1t在1,1
上不连续.其次，即原积分对积分变量x
的上、下限要换成新的积分变量t的上、下限.若换元法采用的凑微分法，则不需要换积分限.8．复合函数的变限积分函数，F'(x)f((x))'(x)，则，这里一定要注意符号问题．
在求导的过程中，所以可以把x看作常数．
第二篇：2021考研数学考点解析：一元函数积分学_毙考题
获取更多考试资料，记的去年是8月底出的，下面我们就考研数学中的一元函数积分学这一块来简单聊下。以下吴方方老师主要是根据
2021年对定积分这一块的考查，接下来这三个月，
中要求我们，理解不定积分的概念，掌握不定积分的积分方法，关于一元积分学
这章节还包括：定积分的定义，这几个部分各有各的侧重点。我们要充分理解微积分基本定理还要掌握定积分在几何和物理
上面的应用。会计算简单的反常积分，像2021年数学一第一道选择题就是考查反常积分的收敛性问题。从而导致了选择题做的不顺，以至于影响到了后面的大题的解析。这里要求同学们一定要理解分割、近似以及求和还有
取极限这几个步骤。早在2021年数学
二、数学三出了道填空题，而2021年考研数学
一、数学三又出了道10分的计算题，对于n项和求极限的问题，因此，
关于定积分中的区间可加性、积分中值定理、比较定理这几个是同学要掌握的，关于切线与法线；以及单
调性；极值；凹凸性的应用与变上限积分函数是可以相关联的。我们要掌握变上限积分求导，就是我们常见的一
种极限形式，像2021年考研中的第一道极限
的计算题就是有关变上限积分的极限计算问题。吴方方老师希望同学们能
下面我们来聊聊反常积分这一块内容，当年很多同学无从下手。以至于这一
道选择题就花了二十多分钟才解决，其实在某种意义上，不用再报培训班
获取更多考试资料，是有些超纲的，是关于反常
算反常积分。所以收敛这一块应该是不会太为难我们，同学们就当作定积分来求就可以了。就是有关定积分的应用部分了。吴方方老师希
望童鞋们要掌握住，对于数一和数二的同
学还要求掌握物理上面的应用。各种旋转体的体积是要求我们必须掌握的，而对于数学一和数学二除了平面图形的面积和旋转
对于一元函数积分学这一块内容是我们同学们要重视的重要部分，希望同学们好好努力，
考试使用毙考题，是考研黄金复习期。千万不要眼高手
低，大家一定要去做，不要一份试题放到你面前，高数中，高等数学中有多元函数
微分学，从本质上讲多元是一元的升华，但是多元部分也有自己的特点，
前面我说了多元与一元有联系，所以在这里，那么，最重要的就是对基本概念的理解。连续，首先，它与一元部分是有区别的。大家要清楚逼近方式的任意
性，所以一般考研考二元函数极限就是问大家这个极
限是否存在，至于连续，连续就不是问题了。可导的概念。二元函数有
两个变量，基本思想是：求一个变量的导数那么就固
定另外一个变量。至于可微的思想可以直接
平移一元的。但是基本的形式是一样的。三者关系。具体来说，而反之不成立。还要知道为什么是这样的关系。在大家深刻理解了这些概念后，
在前面，那么，这章考查的重点还
是计算。它主要包括偏导数的计算；方
向导数与梯度；二元函数极值(无条件与条件)。因为大家只要懂方法就够了，具体来说，特别是高阶偏导数，同时掌握下高
阶导数与求导次序无关的条件。大家就需要知道它的
含义，最后是二元函数的极值。先说无条件极值。这样会
学的轻松些。大家只要会了拉格朗日乘数法就行了。这章
对大家的计算能力要求很高。然后多做练习就
够了。接下来就需要做题巩固了。我尤其反对题海战术，现在社会做事情都讲究高效，那么针对
多元函数微分学这章，关键是每做一
个题就要理解，要多想想考察了知识点那些方面。了解就够了。有界性定理，并会应用这些性质。了解并会用柯西中值
在需要用到泰勒公式时，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，要根据具体的问题来确定．
若f(x)在[a、b]上连续，使得
方法：大多用介值定理f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)
2）间接法或辅助函数法
二、验证满足某中值定理
8、验证函数f(x)[0，并求
2、用罗尔定理（或多次用罗尔定理）
9、设f(x)在[a,b]上可导且f(a)f(b)0，在（0,3）内可导，在（0，常微分方程法），便于积分3）积分或解微分方程
恒等变形，取c=0；移项，在(a,b)内可导，
1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理
5、含有f()(或更高阶导数)的介值问题
方法：1）原函数法（对f(x)仍用微分中值定理:罗尔定理，柯西
设函数f(x)在（-1,1）内具有二阶连续导数，试证（1）对
9、试证明若f(x)在[a,b]上存在二阶导数，则存在
第五篇：考研政治常见疑难知识点之政治经济学
(一)绝对剩余价值和相对剩余价值
我们先来看绝对剩余价值生产的含义。由于工作日的绝对延长从而绝对延长剩余劳动时间而生
产的剩余价值。我们要对相对剩余价值生产有所了解。通过缩短必要劳动时间从而相对延长剩余劳动时间所生产的剩余价
值。二者之间的联系：第一，绝对剩余价值生
产是资本主义剥削的一般基础，
超额剩余价值是个别资本家由于提高劳动企业提高劳动生产率，其来源也是雇佣工人的剩余劳动。
各个企业追求超额剩余价值的竞争，单位商品价值量降
低，必要劳动时间缩短，使所有企
业都普遍获得了相对剩余价值。相对剩余价值生产是在各个资本家追求超
额剩余价值的过程中实现的。对此我们应该怎样理解呢?劳动力在一定条件下可以成为商品，工人在市场上出卖的不是劳动而是劳动力。资本主义工资是劳动力的价值或价格。而单个资本的增大则主要通过资本
积聚和资本集中两条途径来实现。不断增大自己的资本实力，它是资本积累的直接结果。资本集中是借助于
竞争和信用这两个强大的杠杆来实现的，也可以采取组织股份公司的形式。资本积累和资本集中既有区别又有联系。资本积聚会使社会资本总额增大，它只是改变社会资本总额在资本家之间的分配。资本积
聚的增长受到社会财富(包括追加的生产资料和消费资料)的绝对增长数额的限
间内集中大量的资本。相互促进。竞争
实力增强，资本集中使个别资本总额和积累
规模迅速增大;反过来，两者共同促使资本积累不断增大，

PAGE PAGE 18 高等数学教学教案 第六章 多元函数微分学 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第六章 第一节 多元函数的概念、极限与连续 课的类型 复习、新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 极限与连续的概念和性质 教学难点 极限不存在的情况 参考教材 同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解多元函数的概念， 了解二元函数的极限与连续性的概念， 了解有界闭区域上连续函数的性质 教 学 基 本 内 容 基本概念： 1