邢台学院数学系《实变函数》复习手册

本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。为以后学习其他课程打下良好的基础。

本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。为以后引入L积分打下了基础。 §1 集合的概念

理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。

深刻理解并集或合集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。 §3 对等与基数

1、掌握有限集、无限集、一一映射、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。

2、了解基数概念，会比较两个集的基数大小。 §4 可数集合

与自然数集合N对等的集合称为可数集合。 1、任何无限集包含一个可数子集。

2、若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则A?B是可数集合。 3、有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。

4、有理数全体是一可数集，代数数全体是一可数集。 §5 不可数集合

1、实数集全体R不是可数集。其基数记为c，称与R对等的集合具有连续基数。

2、任何区间具有连续基数，可数个c集的并是c集，实数列全体E?的基数是c。 3、不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。

1、下列对象不能构成集合的是（ ）

A、全体自然数 B、0,1之间的实数全体 C、?0,1?上的实函数全体 D、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是（ ）

A、{全体实数} B、{全体整数} C、{全体小个子} D、{x|x?1} 3、下列对象不能构成集合的是（ ）

A、{全体实数} B、{全体整数} C、{x|x?1} D、{全体胖子} 4、下列对象不能构成集合的是（ ）

A、{全体实数} B、{全体整数} C、{x|x?1} D、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是（ ）

A、{全体小孩子} B、{全体整数} C、{x|x?1} D、{全体实数} 6、下列对象不能构成集合的是（ ）

1、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合，若A?n，则B? 3

2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合，若A是一可数集，则B? 3、若A?c,B?c，则A?B?

（ ）2、任意两个集合A、B，都有A?B，或B?A。 （ ）3、任意集合都有子集。 （ ）4、a?{a}。 （ ）5、??{?}。 （ ）6、??{0}。

1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射。 2、构造(0,1)到R的一一映射。 3、构造(0,1]到[0,?)的一一映射。

4、构造{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射。 5、构造(0,1)到(0,1]?(2,3)的一一映射。 6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射。 五、证明题

1、任意无穷集合包含一可数子集。

2、若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则A?B是可数集。 3、若A和B都是可数集合，则A?B是可数集。 4、有理数全体成一可数集。

5、证明由直线上互不相交的开区间作为集A的元素，则A至多为可数集。 6、空间R2中，{(x,y)|x?Z,y?Z}是一个可数集合。

本章讨论了特殊的集合——空间中的点集中的一些基本概念及性质，主要讨论了开集及闭集的结构。为以后引入L积分打下了基础。

§1 度量空间 n维欧式空间

熟记距离、领域、点列的收敛、直径、有界集、n维空间中的区间及区间的体积的定义；会判断二元函数为距离。

§2 聚点 内点 界点

熟记并深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点、开核、边界、导集、闭包的定义。 §3 开集 闭集 完备集

深刻理解开集、闭集的性质；记住自密集、完备集的定义。 §4 直线上的开集、闭集及完备集的构造

理解构成区间的定义、了解康脱集的构造。

1、集合E的全体内点所成的集合称为E的（ ） A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

2、集合E的全体聚点所成的集合称为E的（ ） A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

3、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的（ ） A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 4、E—E’所成的集合是（ ）

A、开核 B、边界 C、外点 D、{E的全体孤立点} 5、E的全体边界点所成的集合称为E的（ ） A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包 6、设点P是集合E的边界点，则（ ）

221313、若A?B，则下列命题错误的是（ ）

C、A?B?C D、{A的孤立点}?{B的孤立点} 16、设eA是A的余集，则下列命题正确的是（ ）

A、A是闭集 B、A'是闭集 C、?A是闭集 D、A0是闭集 19、若A是闭集，B是开集，则A?B是（ ） A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 20、若A是开集，B是闭集，则A?B是（ ）

A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断

?21、若{An}是一开集列，则?An是（ ）

n?1A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断

?22、若{An}是一开集列，则?An是（ ）

n?1A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断

?23、若{An}是一闭集列，则?An是（ ）

n?1A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断

?24、若{An}是一开集列，则?An是（ ）

n?1A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、无法判断 二、填空题

（ ）1、若一个点不是E的聚点，则必然也不是E的内点。 （ ）2、{E的外点全体}和E的余集是相同的。 （ ）3、E的内点必然属于E。 （ ）4、E的孤立点必然属于E。 （ ）5、E的边界点一定不属于E。 （ ）6、E的聚点必然属于E。

本章主要是讨论Rn中点集的可测性与可测集的测度（度量）问题，它是建立新积分的理论基础。学生一定要注意对概念、定理、记号的理解。 §1 约当测度

第一，要弄清确界的概念；第二，了解约当测度，并知道[0,1]中全体无理点集是约当不可测的。 §2 外侧度

第一，重点掌握L外测度的定义及其三条基本性质，并会用定义讨论一些简单集合（如有限集，可数集）的外侧度；第二，知道任意区间I的外侧度为m*I?I。 §3 可测集

第一，需重点掌握L内测度及其性质 ，L可测集的两种定义方法；第二，深刻理解课本定义3，并会用它证明一些集合的可测性，如定理1，定理2等；第三，会用内外测度相等论证一些集合的可测性；第四，掌握可测集的运算性质，知道L可测集类是?环（主要指对运算的封闭性）；第五，一定要知道可测集的极限运算和测度运算的换序条件，一定要注意差运算和测度运算换序的条件（包含和测度有限），需理解可测集的测度有限与集合有界的关系。

本节首先给出了常见的L可测集（如零测集、区间、开集、闭集、康脱尔集及其条集）及其测度的计算方法；说明J可测集皆L可测；并从G?集，F?集到波雷尔集均可测，得到了可测集和G?集，F?集，波雷尔集的关系，揭示了L可测集的结构。

开集类、闭集类?G?型集类，F?型集类?波雷尔集类?可测集类=Rn中的一切子集类

A、E的测度有限，则E必有界 B、E的测度无限，则E必无界 C、有界点集的测度有限 D、Rn的测度无限 5、P0是康托尔（cantor）集，则mP0?（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 6、设A是B的真子集，则（ ）

A、可测 B、不可测 C、可能可测也可能不可测 D、以上都不对 9、m((0,1)?(?1,2))?（ ）

10、A可测，B是A的真子集，则（ ）

12、L可测集类，对运算（ ）不封闭。

A、可数和 B、有限交 C、单调集列的极限 D、任意和 13、外侧度不具有（ ）

A、非负性 B、单调性 C、次可数可加性 D、恒正性 14、下述哪种集测度肯定不为零（ ）

A、可数集 B、非空开集 C、不可数集 D、闭集 15、以下论述哪个不和E可测等价（ ）

n??3、设A=“开集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集类”，D=“G?型集类”。那么A，B，C，D的关系是 4、I是区间，则mI?

5、设E?Rn，E有界，I为任一包含E的开区间，则m*E?

7、若A?B,则m*A?m*B，这称为外测度的 8、若集合G能表示成 ，则称G为G?集。

9、设E?Rn,若?T?Rn都有 则称E是L可测的。 10、若集合F能表示成 则称F为F?集。

（ ）1、若E?F可测，则E和F都可测。

（ ）2、两个集合的某数相等，则它们的外测度相等。

（ ）5、若可测集A是可测集B的子集，且mB?mA,则m(B?A)?0。 （ ）6、若E可测，A可测，且m(A?E)?0,则mE?m(E?A)。 （ ）7、设E为测度有限的集，则E是有界可测集。

1、证明：集合E可测的充要条件是对于任意A?E,B?eE，总有

2、证明：对E?Rn，E可测的充要条件是eE可测。 3、证明：可数点集的外测度为零。

1、请指出L可测集和F?集的关系。

2、请叙述L测度的可列可加性。

3、从基数的角度请举出三种零测度集的例子。

为了以后建立新积分理论的需要，本章引进一个新的函数类——可测函数类。为此先给出一般点集上函数的基本概念（如有限、无限）和性质，并在此基础上讨论了可测集上的可测函数的问题，学生一定要注意对概念、定理、记号的理解。

§1 可测函数及其性质

本节首先通过集合的可测性定义了可测函数及其逻辑形式，列出了连续、单调、简单函数的可测性，需重点掌握这些概念的定义，并会用这些理论进行简单论述，如集合限定转换和表示；还讲述了可测函数的运算（四则和极限），这使可测函数类变得很大；第三个重点是可测函数与简单函数的关系，这是可测函数的又一描述；学生一定要知道f(x)和f(x)的定义；第四个重点是几乎处处概念，学生要认识到这是与测度有关的。 §2 叶果洛夫（EropoB）定理

本节主要通过叶果洛夫定理阐述了函数列的点态收敛与一致收敛的关系，要会证叶果洛夫定理的逆定理，要掌握证明时的思想方法。 §3 可测函数的构造

本节主要通过鲁金定理揭示了可测函数与连续函数的关系。我们常常应用鲁金定理把有关可测函数的问题转化为连续函数来处理，使问题得以简化。需会证鲁金定理的逆。 §4 依测度收敛

本节首先讲述了依测度收敛的概念，学生要会用该理论证明函数列的测度收敛和测度不收敛，其关键是对集E(fn?f??)的具体化；第二讲述了各种收敛的关系，学生一定要掌握这些关系及相应的反例。

?依测度收敛?存在子列几乎处处收敛 一致收敛?几乎处处收敛???基本一致收敛练习题

A、a,e一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、基本一致收敛

A、连续函数 B、单调函数 C、简单函数 D、简单函数列的极限 5、下述论断正确的是（ ）

nA、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、a,e一致收敛 7、设f(x)??（ ）

8、一个函数在其定义域中的（ ）处都是连续的。 A、边界点 B、内点 C、聚点 D、孤立点 9、下列说法正确的是（ ）

21A、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、a,e一致收敛

13、下列说法正确的是（ ）

31A、收敛 B、一致收敛 C、基本一致收敛 D、a,e一致收敛

16、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）

A、它们是同一概念 B、a,e有限的可测函数是连续函数 C、a,e有限的可测函数是基本上连续的函数 D、a,e有限的可测函数是a,e连续的函数 17、下列说法正确的是（ ） A、f(x)?1x2在(0,1)有限 B、f(x)?1x2在[12,1]无界

A、收敛 B、基本一致收敛 C、一致收敛 D、a,e一致收敛

20、关于简单函数与可测函数，下述结论不正确的是（ ）

A、简单函数一定是可测函数 B、简单函数列的极限时可测函数 C、简单函数与可测函数是同一概念 D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念 21、下列说法正确的是（ ） A、f(x)?1x3在(12,1)无界 B、f(x)?1x3在(0,1)有限

A、基本一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、a,e一致收敛

24、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）

A、依测度收敛不一定一致收敛 B、依测度收敛不一定收敛

1、设f(x)是定义在可测集E?Rn上的实函数，若?a?R，有 ，则称f(x)在E上可测。

2、fn(x)?f(x)的定义为 。 3、[a,b]上的连续函数及单调函数都是 。 4、叶果洛夫定理反映了 与 的关系。 5、可测集E?Rn上的连续函数都是 。 6、可测函数列的极限 。

7、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的 。

8、几乎处处是与 有关的概念。

9、E上的简单函数，指的是对E进行有限不交可测分解后，每一个可测子集上都取 的函数。

10、鲁金定理反映了 与 的关系。

11、两个可测函数的四则运算（假定它们都有意义）结果 。

n??（ ）4、若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意可测子集上也可测。 （ ）5、若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意子集上可测。

（ ）6、若?r?Q,E(f?r)都可测，则f在可测集E上也可测。 （ ）7、设E为可测集，f,g在E上可测，则E(f?g)可测。 （ ）8、黎曼函数可测。 四、证明题

1、设f(x)在E?[a,b]上是a,e有限的可测函数，则对于任何??0,??0，存在连续函数

3、设函数列{fn(x)}在有界集E上基本一致收敛于f(x)，证明fn(x)在E上a,e收敛于

在数学分析中遇到的函数大部分是连续函数，它们在有界闭区间上是黎曼可积函数的。但黎曼可积函数不能满足科学发展的需要。在1902年法国数学家Lebesgue成功地引入了一

种新的积分，即L积分，大大地扩充了可积分函数的范围，成为分析数学的不可缺少的工具。在本章中将详细给出L积分的定义及性质。 §1 黎曼函数

了解黎曼积分的定义和三个R可积的充要条件。本节不作为考核内容。

§2 勒贝格积分的定义

掌握有界函数在有界可测集上L积分的定义、性质及充要条件；了解R积分与L积分的关系；利用定理4求一些函数的L积分。 §3 勒贝格积分的性质

掌握非负可测函数和一般可测函数L积分的定义及性质；会计算一些函数的积分，熟记L积分的性质。 §5 积分的极限定理

掌握积分的极限定理（定理1至定理5）；勒贝格控制收敛定理的条件及结论；会用L控制收敛定理求一些积分的极限。

1、设f(x)是可测集E上的非负可测函数，则f(x)（ ）

A、必可积 B、必几乎处处有限 C、必积分确定 D、不一定积分确定 2、设f(x)在可测集E上可积，则在E上（ ）

C、f?(x)与f?(x)不一定可积 D、f?(x)与f?(x)至少有一个不可积 3、设mE?0(E??)，f(x)是E上的实函数，则下面叙述正确的是（ ） A、f(x)在E上不一定可测 B、f(x)在E上可测但不一定可积 C、f(x)在E上可积且积分值为0 D、f(x)在E上不可积 4、f(x)在可测集E上（L）可积的充要条件是：f(x)为（ ）

A、连续函数 B、几乎处处连续函数 C、单调函数 D、几乎处处有限的可测函数 5、设D(x)为狄里克雷函数，则?A、0 B、1 C、

A、0 B、二、填空题

2、（叙述积分的绝对连续性）设f(x)在E上可积，则对任何可测集A?E，有

N7、设f(x)在E上可积，且?三、计算题

n??2、设mE???，f(x)是E上的有界可积函数，则对任何可测集A?E，有

3、设由[0,1]中取出n个可测子集E1,E2,?,En，假定[0,1]中任一点至少属于这n个集中的q个，试证必有一集，它的测度大于或等于q/n。 4、试从

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