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1、 A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他本科生毕业论文（设计）数列极限的几种求法目录1 引言12 关于数列极限两种最常见的求法12.1 定义法12.2 两边夹原则33 几种判别数列极限存在的方法43.1 单调有界定理43.2 柯西收敛准则64 利用函数性质求极限104.1 海涅定理104.2 重要极限的应用125 其它方法145.1 施笃兹定理法145.2 级数性质法175.3 定积分定义法175.4 错位法与拆分法19数列极限的几种求法摘 要：主要介绍了极限的几种求法,并以几个实例来加以说明.关键词：数列;极限;求法Several Methods of Finding the S

引言数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础.同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛.虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成

3、熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等.因此通过比较研究，实例对比总结结论以获得对知识更深的理解就显得极其重要.2 关于数列极限两种最常见的求法2.1 定义法定义2.1.14 设为数列,为实数,若对任给的正数 总存在正整数 使得当时有 则称数列收敛于 实数称为数列的极限,并记作或.例2.1.21 设证明证明 因为故(取), ,有于是 由的任意性知例2.1.36 用语言证明证明 设 由于 所以 由二项式定理得因此 解此不等式得应取用语言表述即为:即当时，有这就说明了小结 设通过以上例子总结出运用

4、论证法的大致步骤:任意给定 令 推出 取 再用语言顺述并得出结论.以上是对已知数列极限存在的情况下求数列极限,那么对于一个给定的数列,当它满足什么条件时才能保证这个数列的极限存在呢?下面给出的迫敛性法则有助于我们找到结论.2.2 两边夹原则定理 2.2.12 设收敛数列,都以为极限,数列满足存在正整数 当时有， 则数列收敛，且例 2.2.25 求极限 解 利用得从而 又由于 所以有 故 例2.2.34 求极限（北京大学1999年）解 由题意立即可得又有 同理可得因此 小结:运用两边夹原则的关键在于将数列进行适当地放大与缩小,一般是从数列本身结构出发,将其通项放大后得数列,缩小后得数列 并使与的

5、极限都存在且相等,放缩的技巧基本上类似应用定义法证数列极限时的常用方法,关键在于掌握不等式放缩的各种方法.但事实上很多数列不一定就有一定规律的或者很容易使用两边夹原则就可以求之的,而且有的数列是有极限还得进行判断,这时就得引入判别数列极限存在的定理.我们已经知道,收敛数列必定有界,但有界数列却不一定收敛,那么对于有界数列,我们应该附加什么条件,才能保证它收敛呢?3 几种判别数列极限存在的方法3.1 单调有界定理定理3.1.11 在实数系中,有界的单调数列必有极限.注:定理中的两个条件（单调和有界）缺一不可,如数列是有界的,但它不满足单调性,由以前学习所知,它的极限并不存在,又如数列显然是单调的

6、,但它无界,显然它的极限不存在.此定理中“单调有界”的条件是充分的,然而并非必要.例如的极限存在,但它不具备有单调性.例3.1.22 设 求 （华南理工大学1998年）解 由题意可得, 且又 所以数列单调减少有下界，从而收敛.不妨设对两端取极限可得 解得 (舍去)因此 例3.1.39 证明证明 令 则显然是严格单调递增的，又因为 故有上界.因此收敛，另一方面，任意设定 当时， 由此式两端令得 另外，又可看出 故由两边夹法则可知 到目前为止,我们讨论一个数列是否收敛时,总是和一个特定的数列紧密联系在一起的,我们的任务只是验证数列是否以为极限,但事实上如果预先不告诉我们那个,如何从数列本身的特性来

7、判断它是否收敛?另一方面,单调有界原理只是数列收敛的充分条件,它只适合于一类特殊的数列-单调有界数列，因而它对求数列极限有很大的局限性.所以单调有界原理并不是收敛的特征性质，这也就要求我们必须寻找一个能够刻画数列收敛的特征,即从数列本身的结构出发，来研究收敛的充要条件.3.2 柯西收敛准则定理3.2.14 数列收敛的充分必要条件是任给 存在 使得当时,都有 成立.注:我们令则这时为正整数（当时必有）.于是上式可以改为 这样我们就得到柯西准则的另一种表述形式: 定理3.2.27 数列收敛的充要条件是:任给 总存在正整数 使得时,对一切正整数 都有 成立.显然,柯西收敛准则的两种表达形式等价,他们

8、各有方便之处.柯西收敛准则揭示了收敛数列的本质特征,它表明数列收敛时,对于下标充分大的任意两项能相差任意小.利用柯西收敛准则来判断一个数列是否收敛(也是方法)无需事先知道数列的极限是什么,只需根据数列本身的结构特征,恰当的运用不等式,就能鉴别它的收敛性.例3.2.35证明数列收敛.证明 (证法一)设 考虑下式 可见,任给要使只需要或即可,故只须选取正整数 则当时,有所以由定理4.11便可知收敛.(证法二)因为 可见,任给 要使只需要或即可,故只须选取正整数则当时,对一切正整数都有所以由定理4.12知数列收敛.注:上例表明,运用柯西收敛准则的两种形式(定理4.11和定理4.12)证明一个数列的收

9、敛性,其方法与利用定义法验证数列极限的方法在程序和要求上是类似的.但要注意,由于绝对值不等式和都有两个下标,而所要确定的正整数仅与有关,而与或无关,故在放大或时必须设法把下标或去掉,使最后得到的式子仅含有如下例:例3.2.45 已知 证明数列收敛.证明 设 因为 可见，任给 要使只需要或即可,故只须选取正整数 则当时,有从而由定理4.11可知收敛.与此同时,上述柯西收敛准则也经常用来研究数列的敛散性,为此我们又给出:定理3.2.57 数列发散的充要条件是:存在某个 使得对任何的自然数,必有和,使得此定理是柯西收敛准则的反面叙述.例3.2.63 证明数列发散.证明 由定理并设考虑到 因此,如果

10、则有 这样对于 不管多大,如果取 则并且从而发散.最后,我们强调指出,利用以上定理分析解决数列问题时,必须正确指出使用定理的条件,否则就会出现不必要的错误.如对柯西收敛准则中和式中的 它只与有关,而与及都无关,如果不注意这一条件就会出现错误.例如,对于数列对任一正整数及确定的正整数 取当时,即时,恒有 但事实上由例6我们知,数列是发散的. 4 利用函数性质求极限我们已经指出函数极限与数列极限的主要差别在于前者的变量连续地变化,后者的变量离散地变化(跳跃地变化).实际上,无论变量是离散地变化还是连续地变化,只要它们的变化趋势相同,从极限的意义来说,效果就都是相同的.基于这个事实,数列极限与函数极

11、限之间应该存在着一定的关系,它们在一定的条件下应能相互转化,能够建立这种关系的就是下面的海涅定理:4.1 海涅定理定理4.112 的充分必要条件是：对于任意满足条件 且的数列 有 例4.1.27 求极限解 由于由海涅定理我们知 所以原式为 例4.1.34 若,求.（华南师大1997年）解 先考虑而极限 所以 小结:海涅定理揭示了变量离散地变化与连续地变化之间的内在关系,即在某种条件下,数列极限与函数极限可以相互转化.海涅定理有着广泛的应用,在解决问题时,根据海涅定理,我们可以把关于函数的极限问题转化为数列的极限问题;也可以把数列的极限问题转化为函数的极限问题.根据归结原则,若函数的极限存在，则

第1-7节数列极限的例题和习题

下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的*是不容易的，能够*完成后面那些习题就更不容易.因此，你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分)，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练.

称一个数列xn(n=1,2,)为无穷小量，即limxn=0，用“ε-n”说法，就是它满足条

称一个数列xn(n=1,2,)为无穷大量，即limxn=∞，用“m-n”说法，就是它满足条件：

n=+∞，就是它满足条件：

n而limxn=-∞，就是它满足条件：

无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念，即当xn≠0(n=1,2,)时，

11是无穷小量；若xn是无穷小量，则是无穷大量.xnxn

在第0章(看我做题)中，那些有关数列极限的习题，如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话，那么下面这些结论，就必须用“ε-n”说法才能够*.你看一看其中的*，可以学习到如何用“ε-n”说法做数列极限*题的方法.

例1设有数列xn(n=1,2,).*：若有极限limxn，则算术平均值的数列

任意给定正数ε.因为limxn=a，所以有正整数n1使|xn-a|≤

第1章函数的极限和连续函数25

再取正整数n≥n1足够大，使当n≥n时，右边第一项也小于ε2.这样，当n≥n时，就会有|yn-a|≤

ε2+ε2=ε，即*了有极限

n→∞n→∞nx1+x2++xnlim请注意：有极限，不一定有极限limxn！考虑数列．．．n→∞n→∞n

【应用】作为例1的应用，例如

*根据极限单调*，必有limxn≥0.首先设limxn=0，ε为任意给定的正数.先取正

(你知道为什么吗？见第0章题33)

因此，必有正整数n≥n1，使当n≥

【注】假若你知道“几何平均值不超过算术平均值”的话,根据例1的结论,则有

其次，设limxn=a>0，ε为任意给定的正数(不妨认为ε

≤1+ε(你知道为什么吗？见第0章题33)

由于正数ε可以任意地小，故有limn=1，即=a=limxn

【应用】作为上述结论的应用，若xn>0(n=1,2,)且有极限limn+1，则也有极限

*下面*⑴.你可用类似的方法*⑵.

设limxn=0.根据数列极限的定义，必有正整数n1使|xn|≤

(n≥n1)；同理，必有2

第1章函数的极限和连续函数27

【注】这里是根据数列极限的定义,构造出了一个满足题中要求的数列yn.在数学中,称这种*方法为“构造**”.

例4海因定理(函数极限与数列极限的关系)

(1)有极限limf(x)=a的充分必要条件是：对于以a为极限的任何数列xn(≠a)，都有极

(2)有极限limf(x)=a的充分必要条件是：对于任何数列xn→∞(n→∞)，都有极限

*为简单起见，下面*结论(1).你可用类似的方法*结论(2).

设ε为给定的任意正数.若limf(x)=a，则有正数δ，

又因为xn≠a且limxn=a，所以有正整数n，当n≥n时，0

反之，设上面(1)中的条件满足.(反*法)假若a不是函数f(x)在点a的极限，用“ε-δ”的话说，就是：至少有一个正数ε0，不论取正数δ多么小，总有对应的点xδ，使0ε0.

【注】海因定理就像是架在函数极限与数列极限之间的一座“桥梁”，沟通了两者之间的关系.因此，不仅可以把数列极限看作函数极限的特例，而且函数极限的某些结论，根据海因定理，

可以用数列极限的相应结论来*.在有的微积分教科书中，先讲数列极限的理论，然后根据海因定理，把有关数列极限的结论转移到函数极限上.

⑴一个数列xn(n=1,2,)的前面有限个项(如x1,x2,,xm)，对该数列是否有极限或有极限时的极限值有影响吗？

⑵正数数列的极限一定是正数吗？

⑷有界数列一定有极限吗？无界数列一定没有极限吗？

⑸若数列xn和yn都没有极限，那么数列(xn+yn)与xnyn一定也没有极限吗？⑹若数列xn有极限，而数列yn没有极限，那么你对数列(xn+yn)是否有极限，可以做出什么结论？

1的极限是0；⑶limxn≥limyn；⑷有界数列n→∞

不一定有极限，例如xn=(-1)n就没有极限；无界数列一定没有极限，因为有极限的数列是有界数列；⑸不一定，例如xn=(-1)n,yn=(-1)n-1，则(xn+yn)与xnyn都有极限；⑹一定没有极限.(反*法)若(xn+yn)有极限，则yn=(yn+xn)-xn也有极限，与数列yn没有极限矛盾.⑺是，因为|xn|-|c|≤xn-c；反之不成立.

1.下面的习题都出现在第0章(看我做题)中，你不会做时，可去再看一下那里的做法.*：

n→∞n!n→∞n→∞

第1章函数的极限和连续函数29

提示：用xnyn替换上一题中的xn.

根据假设条件(ii)，有极限limn=limn，而根据上式(※)和题6，则有极限

【注】作为施笃兹定理的应用，则有

*设ε为任意给定的正数.因为lim(xn-xn-2)=0，所以有正整数k，使

nn≥n≤.于是，当n≥n(≥k)时，(≥k)再取正整数足够大，使当时，

第2篇：考研数学的极限计算的答题技巧

摘要：极限的计算可以说是考研数学中一个必出的考点，它以怎样的形式出现还会是很多研友们的困扰。

极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础*，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。

极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续*求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算；单调有界收敛定理可用来*数列极限存在，并求递归数列的极限。

1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；

2、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；

3、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查*极限不存在。

下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。求数列极限可以归纳为以下三种形式。

这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本*质及运算法则直接验*。

2、求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：

a.利用单调有界必收敛准则求数列极限

首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调*和有界*，进而确定极限存在*；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。

b.利用函数极限求数列极限

如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。

3、求n项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：

a.利用特殊级数求和法

如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。

若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。

c.利用定积分定义求极限

若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。

d.利用夹逼定理求极限

若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。

e.求n项数列的积的极限

一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

第3篇：奥数专题之数列求和练习题参考

3、求数列6，9，12，…前100个数的和。

4、如果一个等差数列的首项是5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？

5、一个剧场设有20排座位，后一排都比前一排多10个座位。最后一排有250个座位，问这个剧场一共有多少个座位？

6、求所有加6以后被11整除的三位数的和。

7、求1至100以内所有不能被5或7整除的三位数的和。

8、15个连续奇数的和是1995，其中最大的的奇数是多少？

10、求从1开始连续100个奇数的和。

11、平面上共有50个点，没有3个点在同一直线上，试问，过这些点最多可以画出多少条直线？

12、在1至200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？

13、小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某个数时，和是1997，但他发现计算时少加了一个。问：小明少加了哪个数？

14、学位进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？

15、有数字塔如下图：

求第100层中间的数是多少？