第1篇：考研数学中极限中的极限知识指导

为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?

第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。

夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在n>0，当n>n时，找到xn，zn，且xn→a，zn→b，a≠b，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。这一点一定要注意，防止理解偏差。

单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知x1=a,xn=f(xn-1)，n=1,2,.....，求数列{xn}的极限。当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来*，也就是要*两点，第一：*数列

第2篇：高等数学知识点：极限中的“极限”知识点

高等数学是考研数学中比较困难的一部分，今天小编就带领大家复习一下高数中极限的计算——单侧极限、夹逼定理和单调有界收敛定理，希望对大家有所帮助。

为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？

第一：e∞，arctan∞，因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2；第二：绝对值；第三：分段函数在分段点处的极限。有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。

夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→？，若存在N>0，当n>N时，找到xn，zn，且xn→A，zn→B，A≠B，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。这一点一定要注意，防止理解偏差。

单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知X1

第3篇：高等数学知识点之数列的极限

按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。以下是小编整理的高等数学知识点之数列的极限，欢迎参考阅读!

(1)、数列：若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，an，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.

注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…是有界的，但它是发散的

第4篇：考研数学：16种极限求解的方法

学好高数，极限基础必须要打好，极限求解也是必要解决的问题，下面总结了16种可用的方法，大家学习学习，可灵活应用。

1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须*拆分后极限依然存在,e的x次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是x趋近而不是n趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因

第5篇：考研数学的极限计算的答题技巧

摘要：极限的计算可以说是考研数学中一个必出的考点，它以怎样的形式出现还会是很多研友们的困扰。

极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础*，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。

极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续*求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；夹逼定理、利用定

第6篇：中学生优秀作文600字：知识无极限

中学生优秀作文600字：知识无极限

知识对每个人来说是必不可缺的。也就是说，它在人们的生活当中起着十分重要的作用。

有了它，你就会变得强大。没有它的人，无论在身躯上有多么强健，也不会比得上拥有它的弱者。

我曾听过这样一个事情。有一位老人，有一天突然肚子发痛，倒在了地上。儿女们急忙赶来要扶她去医院。但她坚决反抗，决不去医院。反到让儿女们去找一个算卦的人。儿女们没有办法。只好去找了一个，并给那位老人算卦。那个算卦的人一本正经地在那自言自语半天，不知道想出来什么鬼主意。探起身子对老人的儿女们说了一些无所用处的话，并且要走了200元。回家后，他们便按照那个算卦的人说的办。但是，过了许多天也没有见老人的病好起来，不断地恶化下去。这下，儿女们才如梦初醒一般，说服了老人去医院，挽救了老人的生命。医生说：你们怎么不早来呢？如果再晚了一步，那可就......

当然这是一个明摆着的事实。他们只按算卦的人的话去做，而不去医院用科学的方法治疗，这且不是在等死神的来临么？之所以造成这个悲惨的局面，正是因为老人没有知识，没有知识，人就会变得非常的愚昧，而做出一些蠢事。那么，有知识的人就会与他相反。有了知识，不论在某事上都会正确、果断、机智地去处理。最终获得成功。没有知识，最终结果就是惨败。

正如雨果说的那句话：各种蠢事

第7篇：大学数学函数与极限的学习知识点整理

好多大学生都以为上了大学就轻松啦，甚至以为没了数学，但是往往结果和想象的不一样，大学高等数学，就好像一个拦路虎，阻挡了去路。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢?这是我的大学高数的总结，看好了，绝对有用

a={x|x属于a(没法输入数学符号，见谅);且x不属于b}叫a与b的差集;

任意x属于a，y属于b的有序对(x,y)称为直积或笛卡尔积;表示：a乘以b={(x,y)|且x属于a,y属于b};

邻域：到点a距离小于p点的*，记作u(a)，

a称为邻域的中心，p称为邻域的半径，

函数：y=f(x)df或d称为定义域，rf或f(d)称为值域，

取整函数：y=[x]即不超过x的最大整数，这是我的大学高数的总结，看好了，绝对有用

(1)若任意x属于x，有f(x)<=k,则称x有上界，k为一个上界，

(2)有界表示既有上界又有下界，否则称为无界，

(3)单调*，奇偶*，周期*(指最小正周期);

(1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函

第8篇：教你轻松求解考研数学数列极限

【摘要】极限是考研数学每年必考的内容，所占比重相当大，在此整理求数列极限的方法，仅供大家参考。

极限在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础*，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。

一、极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键,极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。

二、极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续*求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，

第9篇：大学极限知识点总结

导语：极限，是指无限趋近于一个固定的数值。以下是小编为大家整理的大学极限知识点总结，希望可以解决您所遇到的相关问题！

求数列极限可以归纳为以下三种形式。

这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本*质及运算法则直接验*。

求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：

a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。

首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调*和有界*，进而确定极限存在*;其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。

b、利用函数极限求数列极限

如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。

求项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：

a、利用特殊级数求和法

如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。

若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。

c、利用定积分定义求极限

若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。

第10篇：考研求极限的方法总结

在考研中，数学求极限是一道大题，大家知道这道题怎么做吗？以下是小编精心准备的考研求极限的方法总结，大家可以参考以下内容哦！

1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须*拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种

预备知识　数列的极限（简明微积分）

　　 微积分的核心概念是极限，而极限最基础的情形是数列的极限．数列是离散的，比较容易理解，而所有与极限有关的概念也都可以从数列的极限拓展得到．

　　 先来看一个数列的例子．

　　 这个数列显而易见的性质，就是当 $n$ 趋于无穷时，$a_n$ 趋（近）于 $\pi$．无穷通常用符号 $\infty$ 来表示（像 “8” 横过来写）．我们把这类过程叫做极限．以上这种情况，用极限符号表示，就是

这里 $\lim$ 是极限（limit）的意思，下方用箭头表示某个量变化的趋势．算符的 “输出” 就是一个数（$a_n$ 的极限值）．所以不要误以为这条式子是说当 $n = \infty$ $x=y$，而是说 $x$ 经过正弦函数作用后等于 $y$．

　　 所以从概念上来说，极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的．趋于是数列整体的性质，而不是单个数字的性质．我们可以像这样粗略理解 “趋近”：

• 越来越接近，但不一定相等
• （在不相等的情况下）只有更近，没有最近

图 1：两个数列示意图．实心点表示数列 $a_n=(-1)^{n}$，空心点表示数列 $b_n=(1/2)^n$；横实线表示 $y=1$，横虚线表示 $y=1/2$．由图可见，随着 $n$ 增大，黑色点列虽然总有落在 $1$ 上的点，但也总有落在虚线以外的点；而空心点列则总是落在虚线以外．这样，虚线就像一个天堑，随着 $n$ 增大的时候两个数列都有被这个天堑隔开的点，这时我们就说这两个数列都不趋近于 $1$．不过，空心点数列 $\{b_n\}$ 是趋近于 $0$ 的．

　　 由于以上讨论中 $\lim$ 作用的对象是数列，那么箭头右边只能是 $\infty$（准确来说应该是正无穷 $+\infty$，但是由于数列的项一般是正的，所以正号省略了）．

　　 我们来看几个简单的例题，加深一下印象．

　　 实函数 $f(x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列，只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$．类比数列的极限，我们也可以定义函数在正无穷的极限 $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = A$．

非常相似，只是简单做了替换．不过，函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况．数列的编号只能朝着一个方向增大，但实函数的自变量就自由得多，它可以奔向负无穷，也可以集中到一点 $x_0$．

　　 如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_0$” 呢？我们可以拓展一下 “趋于无穷” 的概念．函数自变量或者数列编号趋于无穷，就是说我们可以把自变量和数列编号取得越来越 “接近无穷”，虽然这种说法并不严谨，但它可以提供一个很好的借鉴：函数自变量趋于给定实数 $x_0$，就是说我们取的自变量 $x$ 使得 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $

　　 现在问题来了，什么叫 “越来越” 呢？在讨论数列极限的时候，我们没有在意这个细节，因为我们也只能考虑数列编号增大的情况，而这里的 “越来越” 也自然表示 “随着数列编号的增大” 了．但是讨论函数自变量趋于给定实数 $x_0$ 的时候，就有些麻烦了，我们没有一个衡量 “时间流逝” 的自然标准了．要解决这个问题，最好还是再次把数列给请出来．

　　 下面，我直接给出函数极限的定义，请仔细咀嚼，看看数列是怎么用来准确描述函数极限的．

“任意” 二字．也就是说，“连续” 就是 “任意的离散”，比如 “连续地接近时满足的条件” 就是 “任意一种离散地接近时都满足的条件”．

　　 同时也是最为完整的函数极限定义，只需要把 $x_0$ 替换为 $\pm\infty$ 即可囊括无穷的情况．

　　 自变量趋于无穷的过程，只有一个方向，要么是不停增大（正无穷），要么是不停减小（负无穷）．但如果自变量是趋近一个实数 $x_0$，那么至少就有两个方向，从大于 $x_0$ 的点开始减小（正向接近），和从小于 $x_0$ 的点开始增大（负向）接近．

　　 由于极限的定义是 “怎么接近都可以”，因此若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处存在极限，无论怎么取接近 $x_0$ 的数列，正向接近也好反向接近也罢，哪怕是一会儿正一会儿负地反复横跳，只要接近，这些数列的极限值都是一样的．

　　 但是有些函数则不然．考虑这个函数：$f(x)$，其中 $x 只考虑正向接近的数列 $\{x_n\}$，那么计算出来的 $\{f(x_n)\}$ 的极限就是 $1$；但如果只考虑负向接近的数列，那么计算出来的极限是 $0$．按照定义，这意味着 $f(x)$ 在 $x=0$ 处没极限．

　　 但是这种情况，我们说它是有左极限和右极限的．

　　 一个很容易想到的定理是，如果函数在某点的左右极限都存在且相等，那么函数的极限存在且等于左右极限．证明留作思考题，要注意的是，左右极限相等并没有直接说明 “左右横跳” 式的数列，其极限也等于左右极限．

　　 在求极限时，若高阶无穷小与低阶无穷小相加，通常可以忽略高阶无穷小．另外由定义不难推出

有两个理由可以说明这种理解不正确：首先，按定义，每个 $a_n$ 都是有理数，而 $\pi$ 是无理数，所以不应该有任何一个 $a_n=\pi$；其次，$\infty$ 不是一个实数，不存在 $n=\infty$ 的说法．这里的 致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。