如何用向量法证明凡·奥贝尔定理？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-16 04:22 标签： 向量法证明托勒密定理

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是在一般三角形情形下的推广。高中阶段，余弦定理是比较重要的。

如图所示，△ABC，余弦定理可表示为：

余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：

  • 当已知三角形的两边及其，可由余弦定理得出已知角的对边。
  • 当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

余弦定理公式可变换为以下形式：

如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

余弦定理公式可变换为以下形式：

因为余弦函数在 上的，可以得到：

因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

∵如图，有 a+ b= c (平行四边形定则：两个邻边之间的 对角线代表两个邻边大小）∴ c· c=(a+ b)·( a+ b)

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话：“向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。” “当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。 ”同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。

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这个没法回答，高数里面泰勒公式和三重积分等，都不简单。

线性代数里面惯性定理，矩阵的特征值特征向量，矩阵的对角化等，也很难。

更不用提数分，概率论里面的定理，还有历史上的待证明的，泛函分析，发散级数里面也是定理一大堆，没法比较，毕竟学无止境么，最难的，我想应该是未知。

有的数学定理看起来没用，实则不然。

如夹逼定理，表面太简单，好像没用，但实际很有用。

阿贝尔-鲁菲尼定理 阿蒂亚-辛格指标定理 阿贝尔定理 安达尔定理 阿贝尔二项式定理 阿贝尔曲线定理 艾森斯坦定理 奥尔定理 阿基米德中点定理 波尔查诺-魏尔施特拉斯定理 巴拿赫-塔斯基悖论 伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理 多项式余数定理 大数定律 狄利克雷定理 棣美弗定理 棣美弗-拉普拉斯定理 笛卡儿定理 多项式定理 笛沙格定理 二项式定理 富比尼定理 范德瓦尔登定理 费马大定理 法图引理 费马平方和定理 法伊特-汤普森定理 弗罗贝尼乌斯定理 费马小定理 凡·奥贝尔定理 芬斯勒-哈德维格尔定理 反函数定理 费马多边形数定理 格林公式 鸽巢原理 吉洪诺夫定理 高斯-马尔可夫定理 谷山-志村定理 哥德尔完备性定理 惯性定理 哥德尔不完备定理 广义正交定理 古尔丁定理 高斯散度定理 古斯塔夫森定理 共轭复根定理 高斯-卢卡斯定理 哥德巴赫-欧拉定理 勾股定理 格尔丰德-施奈德定理 赫尔不兰特定理 黑林格-特普利茨定理 华勒斯-波埃伊-格维也纳定理 霍普夫-里诺定理 海涅-波莱尔定理 亥姆霍兹定理 赫尔德定理 蝴蝶定理 绝妙定理 介值定理 积分第一中值定理 紧致性定理 积分第二中值定理 夹挤定理 卷积定理 极值定理 基尔霍夫定理 角平分线定理 柯西定理 克莱尼不动点定理 康托尔定理 柯西中值定理 可靠性定理 克莱姆法则 柯西-利普希茨定理 戡根定理 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理 凯莱-哈密顿定理 克纳斯特-塔斯基定理 卡迈克尔定理 柯西积分定理 克罗内克尔定理 克罗内克尔-韦伯定理 卡诺定理 零一律 卢辛定理 勒贝格控制收敛定理 勒文海姆-斯科伦定理 罗尔定理 拉格朗日定理 (群论) 拉格朗日中值定理 拉姆齐定理 拉克斯-米尔格拉姆定理 黎曼映射定理 吕利耶定理 勒让德定理 拉格朗日定理 (数论) 勒贝格微分定理 雷维收敛定理 刘维尔定理 六指数定理 黎曼级数定理 林德曼-魏尔斯特拉斯定理 毛球定理 莫雷角三分线定理 迈尔斯定理 米迪定理 Myhill-Nerode定理 马勒定理 闵可夫斯基定理 莫尔-马歇罗尼定理 密克定理 梅涅劳斯定理 莫雷拉定理 纳什嵌入定理 拿破仑定理 欧拉定理 (数论) 欧拉旋转定理 欧几里德定理 欧拉定理 (几何学) 庞加莱-霍普夫定理 皮克定理 谱定理 婆罗摩笈多定理 帕斯卡定理 帕普斯定理 普罗斯定理 皮卡定理 切消定理 齐肯多夫定理 曲线基本定理 四色定理 算术基本定理 斯坦纳-雷姆斯定理 四顶点定理 四平方和定理 斯托克斯定理 素数定理 斯托尔兹-切萨罗定理 Stone布尔代数表示定理 Sun-Ni定理 斯图尔特定理 塞瓦定理 射影定理 泰勒斯定理 同构基本定理 泰勒中值定理 泰勒公式 Turán定理 泰博定理 图厄定理 托勒密定理 Wolstenholme定理 无限猴子定理 威尔逊定理 魏尔施特拉斯逼近定理 微积分基本定理 韦达定理 维维亚尼定理 五色定理 韦伯定理 西罗定理 西姆松定理 西尔维斯特-加莱定理 线性代数基本定理 线性同余定理 有噪信道编码定理 有限简单群分类 演绎定理 圆幂定理 友谊定理 因式定理 隐函数定理 有理根定理 余弦定理 中国剩余定理 证明所有素数的倒数之和发散 秩-零度定理 祖暅原理 中心极限定理 中值定理 詹姆斯定理 最大流最小割定理 主轴定理 中线定理 正切定理 正弦定理

拿破仑·波拿巴是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国的皇帝。拿破仑也是一名颇具才能的数学爱好者，上军校时曾获得数学奖，被其数学老师视为得意门生。他发现并证明了以下定理：

以任意三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。

放手家长（头条号）曾利用复数三点比的性质，对上述定理给出了一个非常漂亮的证明。证明简洁美观，感兴趣的读者可以去了解一下。

现在，我们重新思考拿破仑定理，初等几何最常见两大类几何图形就是三角形和矩形了。拿破仑定理中，是根据三角形的每条边同时向内或向外做正三角形，那么如果向外或向内做正方形会如何呢？

如下图，任取三角形ABC,以三条边分别向外做正方形。取三个正方形的中心，连接成新三角形DEF。利用几何画板作图如下：

然而，并没有正三角出现，甚至连个等腰三角形也不是。似乎此路不通。

不着急。我们再仔细观察一下上面的图形。看起来，如果连接BG的话，似乎BG和EF是垂直的，而且长度还差不多。由三条边的未加限定的一般性可知，假如BG和EF垂直且相等的话，那CE和FG垂直且相等，AF和EG垂直且相等。从图上看来，似乎是成立的！不妨一试。

这里以验证线段BG和EF的关系为例：隐藏无关线段，连接BG。移动三角形各个顶点，观察EF、BG的长度和斜率变化，如下：

在变化的过程中，EF与BG始终相等且两者斜率乘积为-1，也就是互相垂直。

现在，几乎可以肯定结论是正确的，但几何画板不是证明。还需要给出严格的数学证明。类似地，这里用复数的性质进行证明。两线段垂直且相等，其实就是旋转90°的关系。等价于线段对应的复数z1和z2满足z1=±i*z2（i是虚数单位，i^2=-1)。

建立复平面，A,B,C,E,F,G各点分别表示一个复数。怎么样处理这六个点呢？题设是先有任意一个三角形ABC，再有三个点EFG的，所以思路就是建立EFG三个点和ABC三点之间的关系。

容易知道，三角形AEB是等腰直角三角形，AE=BE,且互相垂直，对应复数关系，也就是：

从而|EF|=|BG|，两者的确垂直且相等。同理可证CE和FG垂直且相等，AF和EG垂直且相等。

现在，我们再思考一下。拿破仑定理是利用任意三角形然后再做正三角形，上面的推广把正三角形变成了正方形，以任意三角形然后再做正方形，我们也得到比较不错的性质。但是，似乎哪里有些不和谐的地方？

任意三角形是不是可以改成任意四边形呢？以该四边形的四条边再做四个正方形，这样是不是和拿破仑定理更有”对称性“的一种推广形式呢？不妨一试。

几何画板作图如下：作任意四边形ABCD,分别以各边向外做正方形，中心分别是EFGH.

有了前面的铺垫，一眼可以看出GE与FH垂直且相等。

类似地，利用复数，有如下证明：

于是，我们得到奥贝尔定理：任意一个四边形（凸或凹皆可），在其各边外侧构造一个正方形。将对边正方形的中心连线，就得到两条长度相等且互相垂直的线段。三角形可以视为四边形的特例——一条边为0的四边形。此时，两个顶点以及相应正方形的中心收缩为同一个点，奥贝尔定理仍成立。

复数作为几何证明的一种方法，其实就是解析几何中的向量分析。但复数天然地既可视为数，又可视为旋转拉伸变换，具有良好的运算性质和清晰的几何意义，所以许多平面几何的问题，运用复数都可以做出比较简洁的解答。

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