高等数学，计算二重积分？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-03 03:53 标签： 二重积分计算例题

在中，我们讲解了一下相对来讲最普通的不定积分和定积分的问题，相信大家对积分已经有了大概的了解了，可是仍有一些小问题，比如如何计算多个变量的积分，比如二重积分、甚至三重三重积分呢？本讲中，我将做详细讲解。

首先复习一下一元的定积分、然后讲解二重积分，如果可能，讲解三重积分。

在之前，先复习一下之前学习的内容。使用matlab求解定积分的步骤大概如下：

  1. 定义符号变量（syms关键字）
  2. 定义内联函数（inline函数）
  3. 使用matlab内置函数进行计算定积分或者不定积分（使用int函数，具体求解定积分还是不定积分，根据参数的数量决定）

我们都知道：定积分是求解一个图形与坐标轴围成的面积。而今天我们需要深入理解一下：定积分是求解两条曲线之间围成的面积，如果只有一个公式，比如x，我们可以理解成 x-0，y=x 这个函数减去了 y=0这个常数函数，或者说，上面函数与x轴围成的面积减去了下面函数与x轴围成的面积（并且这个面积在x轴上方是正的，下方是负的），这样我们就可以推广，假设我们现在有两条曲线，一个是sinx，一个是 ,我们求在0-pi的范围内，两个图形围成的面积，容易知道，两个图形大概是这样围起来的：

PS: 上图的代码和讲解如下

hold on; % 保持这个窗体，保证后面的内容都画在了上面，hold off解除 % 两个函数直接填充颜色，每一个方括号代表一个函数的内容

OK，那么我们就可以很容易的使用int()函数算出这样一个定积分，代码如下： 

%% 对上面的函数进行计算定积分
 

 
 


 

 上面左边是我手算结果，右边是matlab计算结果，可见我算的还是很准的哈哈哈哈哈哈哈。
 


 

 上面复习了定积分的计算和一般概念，下面我们看二重积分，先了解下二重积分是什么吧：
 


 

 二重积分的一个概念是求体积（还有其他的，比如薄片质量等，在这里先不谈，先说体积的问题），那么明确概念其实就不难了，定积分求面积、二重积分求体积，那么这个体积是哪里的体积呢？
 


 

 
 


 

 如图，粉红色的是z=f(x,y)的函数图像，下面是地面的阴影部分，红色的是边界，这个体积就是粉色的顶部与底面阴影之间的一个曲顶柱体的体积，那这个体积怎么求呢？
 


 

 在定积分中，我们把整个面积分成了无数个小面积，计算后累加，同样的，在二重积分中，我们也采取同样的方法，我们把这个柱体切成一个一个的小柱体，就像图中的那个黄色柱体一样，假设我们把整个底面分成了无数份，每一份的底面积都无限接近于0，假设这个底面积是d ，那么这个地方的高就是f(x,y)，所以这个小柱体的体积就是 f(x,y)d ，我们只需要将这些小体积全部加起来，就能得到整个曲顶柱体的体积公式了：
 


 

 


 

 并且我们很容易发现，积分的区间其实就是底面，被积函数是曲面的公式。公式中各个符号在下图中体现：
 


 

 
 


 

 现在，计算一个例子给大家看，假设底面如图所示（灰色阴影部分）：
 


 

 
 


 

 


 

 


 

 下面我们以X型为例，使用matlab计算曲面为 f(x,y) = xcos(y)的曲顶柱体的体积：
 


 

 
 


 

 详细的代码以及注释见下方：
 


% 这样定义函数句柄时，需要在所有的运算前加一个.（表示对应元素各自计算，不按照矩阵的规则）
% 计算二重积分的函数 
 

 最后，让我们欣赏一下这个曲面的形状吧：
 


 

 
 


 

 


 
%% 看一看这个曲面吧
% 设置x和y的区间，以及细分程度
 

 那么，今天就先到这里吧，三重积分留到下次在讲解，谢谢观看！
 


 

 今天我们学到了如下的知识：
  1. 复习了之前学习的定积分、不定积分的内容
  2. 学习了二重积分的概念，以及应用的大概场景：求曲顶柱体体积，平面薄片质量（底面换位薄片，被积函数即薄片面密度的函数）等。
  3. 学会了如何在一个figure里面绘制多个图像
  4. 学会了如何在matlab中绘制图像、对目标区域填充颜色并命名标题
  5. 学会了怎么在matlab中声明（定义）一个函数句柄，或者说创建一个多元函数，以及怎么反解一个函数中某个变量（y = @(x) x  ，此处函数是y=x），其实说白了，反解函数就是定义函数句柄。
  6. 学会了怎么在matlab中绘制二维曲面的图像。

本书从高职高专学生的实际出发,结合职业教育的特点,以“掌握知识、培养能力”为重点,以“必需、够 用”为原则而编写. 既注重内容的选取,力求做到简明易懂;又兼顾体系的完整,强调数学思维和方法. 全书共分七章,包括函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分和常微分 方程.本书适用于高职高专各专业,可作为理工类和财经类相关专业的高等数学教材,也可作为工程技术人员

今日做的是在极坐标系下计算二重积分的题目： 做这种题掌握下面这个公式即可： 本期题目解答如下： 13题积分区域如下： 14题积分区域如下： 15题积分区域如下： 但是我好像没做出来，先记着后面补！！ 16题R未知所以我就不画了，解答如下：...

一、问题的引入——如何抛开二重积分的几何意义来计算二重积分？ 二、X-型区域上的二重积分计算 ，艾特换成@)。

3. 空间立体的质量 4. 上述问题的共同点 三、重积分的概念 1. 二重积分的概念（积分和、积分域、被积函数、面积元素、积分表达式） 2. 三重积分的概念 3. 二重积分的存在性判定 四、重积分的性质 1. 二重积分的线性运算性质 2. 二重积分对积分区域的可加性 3. 二重积分的保号性、保序性及有界性 4. 二重积分的积分中值定理

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