用 DFT 理论解释为何两种 N 值下的 DFT 结果差别如此之大?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-15 13:24 标签： N字理论交易系统指标公式

①因果系统 ②非因果系统 ③ 稳定系统 ④不稳定系统

51. 若一模拟信号的频率是? ，对其进行数字化得到的数字信号频率是w ，采样频率是

fs，三者之间的关系是( )

? fs52. 采用基2FFT算法计算序列的N点DFT，则复数加法次数正比于( )

56. 以下关于用双线性变换法设计IIR滤波器的论述中错误的是( )

A. 数字频率与模拟频率之间呈线性关系

B. 总是将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器 C. 使用的变换是s平面到z平面的单值映射 D. 可以用来设计高通和带阻滤波器 57. 实偶序列的傅里叶变换必然是（ ）

A. 虚偶函数 B. 实偶函数 C．实奇函数 D. 虚奇函数

58. 以下单位冲激响应所代表的线性时不变系统中因果稳定的是( )

61.已知序列Z变换的收敛域为

1，则该系统是( ) 10A. 非因果不稳定系统 B. 因果不稳定系统 C. 因果稳定系统 D. 非因果稳定系统

64.下列关于数字信号处理应用发展特点说法正确的是（ ）

A．由复杂的运算走向简单的运算 B．由高频走向低频

C．由一维信号处理走向多维信号处理 D．以上说法都不对

65.下列属于数字信号处理优点的是（ ）

①精度高②灵活性强③功耗小④频率范围不受限制

A．①、② B．③、② C．①、③ D．②、④ 66.下列序列是周期序列的是（ ）

70.下列关于FFT算法的说法中错误的是（ ）

A．FFT算法可以大大减小DFT的运算量 B．原位运算可以帮助FFT减少存储器数目

C．按时间抽取和按频率抽取采用相同的蝶形进行运算 D．迭代次数增加时，进行蝶形运算的两点间隔增大

71. 采用基2FFT算法计算序列的N点DFT，则复数乘法次数正比于( )

C. FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 D. 基2 FFT要求序列的点数为2(其中L为整数)

76. 在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期Ts与信号

77. 已知某系统的系统函数为H (z ) ，唯一决定该系统单位冲激响应h (n) 函数形式的是（ ）

C. 系统的输入信号 D. 系统的输入信号与H (n) 的极点 78. 以下单位冲激响应所代表的线性时不变系统中因果稳定的是( )

81.下列属于数字信号处理缺点的是（ ）

①精度低②灵活性弱③功耗大④频率范围受限制

A．①、② B．③、② C．①、③ D．③、④

我计划将分红两章讲解“快速傅里叶变换与快速数论变换”。这一篇博客是我在研究和学习了3~4天的FFT和FNT的基础之上诞生的。

本片博客主要讲解FFT和FNT的最基本的知识。

FFT和FNT是用来解决数个多项式相乘的问题的。

秦九韶算法（在西方叫作“霍纳法则”）能在  的时间内计算  次多项式的值

2.1.2算法的具体过程

int i; //a[]储存每一个x项的系数值，在函数外初始化

则 ,此方程在实数集上没有解。因而，咱们再设置一个复数集。

在复数集上，咱们设 ,因而此方程也有解。其中，咱们把  叫作虚数

2.2.2复数及其属性

咱们把实数+虚数结合体叫作复数，好比： 

2.2.3复数的运算法则

所以，有结论：两个复数相乘：模长相乘，辐角相加

2.2.4一种特殊的复数

这个复数能够用来旋转一个复数.

这就是著名的欧拉公式。

2.3多项式的两种表示方式

该多项式在数学上有两种表示方式，分别为：系数向量法、点值法

注意，在这里，咱们用任意一个变量取代 ，也就是把上面这些式子看成形式幂级数（形式幂级数的概念在母函数中提到过） 

所谓的系数向量法就是利用多项式中未知数前的系数构成的一组系数向量（咱们将它当作是列向量）

若采用系数向量法来表示两个多项式相乘，

点值法的本质就是取  个样本，从而构成一个  阶方阵。而后就能够惟一肯定一组系数向量，从而惟一肯定一个多项式

2.3.3二者之间的联系

性质一：复数集的基数是 ，也就是有  个这样的复数

性质二：复数集中的复数均匀分布在复平面上的单位圆上，将单位圆均匀的分红了  个部分

性质三：复数集中的各个复数的模长为 

性质五：由性质四，获得复数集中各元素分别为：

性质五：复数集是一个群，知足如下恒等式

备注：折半引理是FFT得以成立的充要条件

STEP 3：将乘好之后的点值转换为新的系数向量C------

所以，能够获得 FFT 的时间复杂度为 

咱们将STEP 1 叫作 DFT（即离散傅里叶变换），将STEP 2 叫作 IDFT（即逆离散傅里叶变换）

接下来，我将分红了两个部分（DFT和IDFT）来说解FFT是怎么算的

 是将系数向量转化为点值，是求值运算

设用点值法表示为 

4.1单位复数根的点值法表示多项式

从而获得一组新的点值式：，记做 （未知）

根据这个结论，就能使得原问题的规模缩小到原来的一半，所以， 的时间复杂度就是  

4.3.1递归分治法(自顶向下，常数比较大)

4.3.2迭代法（自底向上，常数比较小）

以  为例子，观察下图中系数向量在分治法中的变化：

STEP 3 : 倒数第二位为0的在左树，倒数第二位为1的在右树

STEP 4 : 倒数第三位为0的在左树，倒数第三位为1的在右树

再观察 STEP 4 中个系数的顺序，咱们发现：

0
0

将 STEP 4 中个系数的二进制翻转后的数是逐一递增的。（咱们把这个叫作逆序置换）

咱们假设  是 将  的二进制翻转以后的数，那么咱们就能够获得如下的伪代码：

 是将点值转化为系数向量，是插值运算

  写成矩阵的形式就是：

咱们发现，使用  次单位复数根能够简化多项式的计算，可是复数的计算不免会产生精度的偏差。在对大整数的多项式的计算过程当中就会失去优点，所以，咱们将采用一种新的方式来代替了原来的  次单位复数根。

根据原根的特色，咱们设一个素数 ,

7.2 经常使用模数和对应原根的表

引言：在信号与系统中，我们对连续信号的谱分析的过程是连续的，这不适合计算机的处理，而DFT是一种时域和频域都离散的变换，这样的变换结果才能让计算机处理，因此用DFT进行谱分析是其另一大应用，本文将介绍DFT谱分析的思想，并用实际例子为你介绍在谱分析过程中遇到的误差问题以及解决方法。

在前面的文章中，我们已经知道，DFT是在 上对于离散时间信号DTFT的均匀采样，那么把离散信号交给计算机进行DFT处理时，能否由DFT的包络得到准确的DTFT波形是我们关心的问题。（因为，毕竟频域是均匀采样，采样点之间不连续，可能因此错过两采样点间的关键信息点）这就涉及到频率分辨率的问题，只有所需的分辨率达到要求，才能较好的得到满足要求的DTFT。

一.实际DFT结果和理论结果的区别

可见，对于一个单频的连续信号进行采样，我们不可能采用无限个点，在进行DFT操作得到真实的DTFT频谱。因此实际中，我们是采样了有限长的样本点，这样就相当于对采样信号在时域上加了一个长度有限的矩形窗，那时域相乘，频域卷积，故真正的由这一部分采样信号得到的DFT和理论分析的由DTFT采样得到的DFT还是有一定差别，因为受到了窗函数的影响。

模拟频率分辨率为： ，即抽样频率和采样点的个数的比值。

数字频率分辨率为： ，即采样频率和DFT分析点数的比值。

由于受到窗函数影响，频谱并不是单纯的一条线
两个单频信号，依然可以分开的情况
如果两信号的频率更加接近，认为此时已经不能分辨出两个信号了，也就是说在此条件下，已经分辨率不够了
即模拟频谱分辨率增加，又可以分出是两个信号
经过计算至少要取72点的样值，才能在DTFT包络中分辨出两个信号

当取50个点时，模拟频谱分辨率为2KHZ，并不能分辨开两个频率相差1.4KHZ的信号，而此时数字频谱角频率为48.8HZ已经很高了，分析结果为：

可见虽然数字频谱分辨率很高，但由于模拟分辨率不符合，分辨不开

当取90点时，模拟分辨率达到要求，分别取90，128，512点频率抽样，得到的结果为：

可见，当90点频率采样时，有关键点丢失，依然不可分辨

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