日积月累第三周第二天。忙碌的四月啊。发现高中所学的数学全部忘光。。。一点印象也没有了。现在用到了，又要重新学习一遍了，看了一些很基础，越看越起劲。。。。数学发现也挺有意思，比起以前学习数学我觉得最大的不同是，自己学的很有意思。

1.正弦定理、三角形面积公式

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：===2R.

定理是揭示 边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

2.正弦定理的变形及应用

应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：

a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.

b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.

一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况.

(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.

在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.

4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π

掌握正、余弦定理，并学会用其余弦定理解三角形.

解：由正弦定理=及A=2C得=,即=,

由已知a+c=8=2b及余弦定理，得

从而△ABC是等腰直角三角形.

例3  如图已知：平行四边形两邻边长为a和b(a＜b)，两对角线的一个交角为θ(0°＜θ＜90°)，求该平行四边形的面积.

分析：由于已知了平行四边形相邻两边长和对角线的一个交角，再考虑到平行四边形的面积是△AOB的四倍，因此只要求OA·OB·sinθ即可.

在△AOB中，应用余弦定理可得：

在△BOC中，应用余弦定理可得：

分析：由于题设条件b²+c²-a²=bc十分特殊，将它与余弦定理对照可得A=60°,这样B+C=120°，于是再利用条件4sinBsinC=1，可求得B与C.

解法一：由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB，由和差化积公式得

两式相减可得B=-2C

分析：很明显，只要求cosC的值，应用余弦定理即可求出AB.

解法一：由已知条件a=5,b=4

解法二：∵A＞B，如图，作∠BAD=∠B,∴AD=BD

评析：上述解法反映边向角的转化，也可由角向边转化直接求出边.

例2  半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，且OA=2，B为半圆周上任意一点以AB为边向形外作等边三角形ABC(如图)，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积.

解：设∠AOB=x，则

分析：先依题意画出图形(如图).因为变动三角形PQR为正三角形，它的面积S=PQ²，问题可转化为求边长PQ的最大值.为此需要建立PQ的函数式，这又必须选取适当的量作为自变量.观察图形可以发现，PQ的位置是随着∠PAB的大小变化而变化的.不妨就以∠PAB为自变量.以下的程序就是应用三角形的边角关系，求出以∠PAB的三角函数表示PQ的解析式，最后求它的最大值.

评析：解本题的关键是利用正弦定理及三角公式将转化为，结合角A的取值范围推得结论.

课本第132页，习题5.9第8题：

两条对角线的长分别是4cm和4cm,面积是48cm².

本节主要考查：1.根据已知条件，求三角形的末知元素，或判断三角形的形状.

2.运用正、余弦定理及关系式A+B+C=π解决三角形中的计算和证明问题.

3.利用所学的三角知识解决与三角形有关的三角函数问题和简单的实际问题.

根据考试的方向，可以预见，利用正、余弦定理解斜三角形问题将会与三角函数、数列、方程、向量等知识相结合，尤其是与生活、生产、科学实验实际相结合，考查综合运用数学知识的能力.

解：设三角形三内角从小到大依次为B-d,B,B+d,

设最小边为x，则最大边为2x,

△ABC的外接圆半径为2R，则由正弦定理得：

说明：本题采用了构造法，题中余弦变正弦之后，注意到=-2cos(180°-10°-20°).

21:12:37式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角与 5 图题涂题 22:19:16三角函数目录隐藏起源同角三角函数间的基本关系式：三角函数的诱导公式正余弦定理三角恒等式部分高等内容三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数反三角函数 起源同角三角函数间的基本关系式：三角函数的诱导公式正余弦定理 三角恒等式部分高等内容三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数反三角函数 起源历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用（一）马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源（二）早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx.当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延（三）函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步”在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式1822年，他在名著热的解析理论中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数更确切地说就是，任意一个以2为周期函数，在，区间内，可以由表示出，其中富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数”根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：f（x）= 1（x为有理数），0（x为无理数）在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义（四）生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数-函数，即（x） 0，x0，,x=0且-函数的出现，引起了人们的激烈争论按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“”作为数另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的然而，-函数确实是实际模型的抽象例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是P（0）=压力接触面=10=其余点x0处，因无压力，故无压强，即P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念“关系”设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y=（x,y）xX,yY积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。基本初等内容它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割(见:函数图形曲线)三角函数图形曲线在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有正弦函数 sin=y/r余弦函数 cos=x/r正切函数 tan=y/x余切函数 cot=x/y正割函数 sec=r/x余割函数 csc=r/y（斜边为r，对边为y，邻边为x。）以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数 versin =1-cos余矢函数 covers =1-sin正弦（sin）:角的对边比上斜边余弦（cos）:角的邻边比上斜边正切（tan）:角的对边比上邻边余切（cot）:角的邻边比上对边正割（sec）:角的斜边比上邻边余割（csc）:角的斜边比上对边 三角函数的诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角与 正余弦定理正弦定理是指在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中R为外接圆的半径)余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2=b2+c2-2bc cosA角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边斜边与邻边夹角asin=y/r无论y>x或yx无论a多大多小可以任意大小正弦的最大值为1 y=-y''y=y''''，有通解Q,可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-/2y/2， 真真正正

高中数学，在引入正弦定理内容时，提出在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?

在引入余弦定理内容时，则会提出探究性问题如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。

三角函数历来是高考重点热点之一，题型有选择填空和解答题，难度上相对容易，一般位于中档题，只要大家掌握好三角函数公式，利用公式化简解析式并求性质，三角函数类问题就能解决。

三角函数高考题型虽然不难，但内容却比较丰富，如包含三角函数的图像与性质、三角函数恒等变化、诱导公式等等。因此，我们学习三角函数，一定要特别注意对它的化简、计算以及证明的恒等变形的方法的积累与应用。今天我们就来讲讲三角函数的图像与性质这一块内容。

正弦定理和余弦定理有关的高考试题，典型例题1：

（Ⅰ） 在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解．

（Ⅱ） 法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面积公式可求PB=3．进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP=3sin120°/√19的值．

正弦定理和余弦定理有关的高考试题，典型例题2：

（1）根据余弦定理表示出cosB，再根据条件可得b+c﹣a=√3bc，再利用夹角公式级即可求出A，再根据两角和的余弦公式即可求出，

（2）不妨设DC=x，则BD=2x，BC=AC=3x，根据正弦定理和余弦定理即可求出x，再根据三角形的面积公式计算即可。

正弦定理和余弦定理有关的高考试题，典型例题3：

（2）若角A为锐角，求m的取值范围．

（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．