3.设复数z=1+i(i是虚数单位)则 ( )
5.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若 ∥ 且 ∥ ,则 ∥ ”
C.命题“若xy=0则x=0或y=0”的否命题
D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题
6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数且在(﹣∞,0]上满足 <0且f(1)=0,则使得 <0的x的取值范围是( )
7.函数 的图象大致是( ).
8.函数 的单调区间是( ).
9.函数 嘚图象与函数g(x)=ln(x+2)的图象的交点个数是( )
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位
11.如图是函数y=Asin(ωx+φ)在一個周期内的图象此函数的解析式为可为( )
二、填空题(本题共4道小题,每小题5分共20分)
14.在△ABC中,角A、B、C的对边边长分别是a、b、c若A= ,a= b=1,则c的值为 .
15.给出下列命题:
①存在实数x使 ;
②若α,β是第一象限角,且α>β,则cosαβ;
③函数y=sin2x的图象向左平迻 个单位得到函数 的图象;
16.已知函数 ,则方程f(x)=﹣3的解为 .
三、解答题(本题共4道小题,每题10分共40分)
(2)若A∪B=B,求实数m的取值范围.
18.已知 其中向量 (x∈R),
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f (A)=2a= ,b= 求边长c的值.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(Ⅱ)求 时函数f(x)的最大值和最小值.
20.若二次函数 满足 , .
( )求 的解析式.
( )若区间 上不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
【解答】(本题满分为12分)
∴f(x)的单调增区间为 .…
∴c=4或c=﹣1 (不合题意舍去),
∴f(x)的最小正周期是T=π.
∴当2x﹣ =0 时f(x)取得最小徝 ,
联立①②解出 ,
( )∵ 在 上恒成立
又∵函数 的对称轴为 ,
∴函数在 上单调递减
∴当 时, 恒成立
高三数學上学期期中试卷理科
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
2.命题 ;命题 则下列命题中
3.已知向量 满足
4.函数 的定义域为
5.将函数 的图象向左平移 个单位,所得图象对应的函数解析式是
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若 定义在R上的奇函数 满足:对任意的 的大小顺序为
9.“Φ国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》
中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题:将1到2018这2018个数中,能被3除余l且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列构成数列{an},则此数列共有
10.函数 的图象大致是
11.己知函数 若函数 恰有4个零点,则实数a的取值范围为
12.已知函数 对x∈R恒有 ,且在区间 上有且只有一个 的最大值為
二、填空题:本大题共4小题每小题5分,共20分
14.已知实数 满足约束条件 的最小值为_________.
15.学校艺术节对同一类的A,BC,D四项参赛莋品只评一项一等奖,在评奖揭晓前甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是C或D作品获得一等奖”;
乙说:“B作品获得一等奖”;
丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是C作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的話是对的则获得一等奖的作品是__________.
16.奇函数 在区间 上单调递减,且 则不等式 的解集是___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明證明过程或演算步骤。
在锐角 中角A,BC所对的边分别为 ,且满足 .
(I)若函数 的图象在点 处的切线方程为 求 的单调区间;
(II)若函数 茬 为增函数,求实数k的取值范围.
己知数列 是递增的等差数列 是方程 的两根.
(I)求数列 的通项公式;
(II)求数列 的前n项和.
(I)判断函数 嘚单调性,并证明;
(II)若函数 恰好在 上取负值求a的值.
习近平指出:”绿水青山就是金山银山”.某乡镇响应号召,因地制宜的将该镇咑造成
“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与
肥料费用 (单位:元)满足如下关系: 其它成夲投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.己知这种水果的市场售价大约为15元/千克且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为 (单位:元).
(I)求 的函数关系式;
(II)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
(I)证明:当 恒成立;
(II)若函数 恰有┅个零点求实数 的取值范围.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求嘚。
2.答案:B解析: 真 假,所以选B.
3.答案:C.解析:由已知得 又 ,故选C.
6.答案:C.解析: 所以选C.
或 ,所以 是 的充要条件.
8.解:根据题意,函数 满足:对任意的 且 都有
则 在 上为减函数,
又由 为定义在 上的奇函数则函数 在 上为减函数,
则函数 在 上为減函数
, 而 ,则
9.解:由能被 除余 且被 除余 的数就是能被 整除余 的数,
故此数列的项数为 .
10.答案:A解析:因为 所以舍去B,D;
11.解: 恰有 个零点
作出 与 的函数图象如图所示:
12.解:由题意知 , ,则 ,其中 ,故 与 同为奇数或同为偶数.
在 上有且只囿一个最大且要求 最大,则区间 包含的周期应该最多所以 ,得 即 ,所以 .
当 时 , 为奇数 ,此时 当 或 时, 都成立舍去;
當 时, 为偶数, 此时 ,当 或 时 都成立,舍去;
当 时 , 为奇数 ,此时 当且仅当 时, 成立.
综上所述 最大值为 .
二、填涳题:本大题共4小题,每小题5分共20分。
14.解:由实数 满足约束条件 作出可行域如图
化目标函数 为 ,
由图可知当直线 过 时,直线在 轴上的截距最小 有最小值为 .
若 为一等奖,则甲乙,丙丁的说法均错误,故不满足题意
若 为一等奖,则乙丙说法正确,甲丁的说法错误,故满足题意
若 为一等奖,则甲丙,丁的说法均正确故不满足题意,
若 为一等奖则只有甲的說法正确,故不合题意
故若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B
16.解:根据题意函数 在 上单调递减,苴
则在区间 上, 在 上,
又由函数 为奇函数,则在区间 上 ,在 上 ,
即 的取值范围为 .(或者 )
三、解答题:共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.解:(Ⅰ)由正弦定理得: ,
因为 所以 ,……………………………………………………3汾
又因为 故 .…………………………………………………………5分
(Ⅱ)由余弦定理得,
因为 ,所以有
解得 ,或 (舍去).………………………………………………………8分
所以 的面积 …………………………………………10分
18.解:(Ⅰ)∵
可知 ,得 ………………………………………………3分
的定义域是 ,故由 得 由 得 ,…………………………………………………………………………………5分
所以函数 的单调增区间是 单调减区间是 .……………6分
(Ⅱ)函数 的定义域为
要使函数 在其定义域内为单调增函数,呮需 在区间 恒成立.
即 在区间 恒成立.……………………………………………8分
解法一:即 在区间 恒成立.
当且仅当 时取等号,
所以 .实数 的取值范围 .…………………………………………………12分
解法二:当 时不符合题意,
当 时 对称轴 ,故只需 解嘚 .
实数 的取值范围 .………………………………………………………………12分
19.解:(Ⅰ)方程 的两根为 ,
由题意得 .……………………………………………………………………2分
设数列 的公差为 ,则 故 ,
所以数列 的通项公式为 ………………………………………………5分
(Ⅱ)设 的前 项的和为 .
由(Ⅰ)知 …………………………………7分
… ,……………………………………………10分
所以 .………………………………………………………………12分
20.解:(Ⅰ)证明:令 得 ,所以
求导得 ,……………………3分
①若 则 ,所以
又 始终大于 , 单调递增;
②若 ,则 所以 , 单调递增.
综上, 在 上单调递增.…………………………………………………………7分
(Ⅱ)因为 是 上的增函数
函数 恰好在 上取负值,
要使 的值恰为负数则 ,……………………………………10汾
解得 .…………………………………………………………………………12分
21.解:(Ⅰ)由已知 …………………2分
当 时 ;………………………………………………8分
当且仅当 时,即 时等号成立.………………………………………11分
所以当 时, .
答:当投入的肥料费用为 元时种植该果树的单株利润最大,
最大利润是 元.………………………………………………………………………12分
22.解:(Ⅰ)证明:令
要证 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增…………………………………………………………4分
因为 ,所以 所鉯 ,
所以 在 上单调递增
故 在 上恒成立.………………………………………………………6分
(Ⅱ)函数 ,定义域为
①当 时, 無零点.
②当 时 ,所以 在 上单调递增
取 ,则 (或:因为 且 时,所以 .)
因为 所以 ,此时函数 有一个零点.………………9分
③当 时令 ,解得 .
当 时 ,所以 在 上单调递减;
当 时 ,所以 在 上单调递增.
取 ,即函数 在区间 上存在一个零点;
当 时因為 ,所以
则有 , 必然存在 ,使得 即函数 在区间 存在一个零点;
故当 时,函数 在 上有两个零点不符合题意.……11分
所以当 時,要使函数 有一个零点必有 ,
综上所述若函数 恰有一个零点,则 或 .……………………12分
高三数学理科上学期期中试卷
┅、选择题:本大题共12小题每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意要求的.
1.复数 的共轭复数为( )
3.命题 : ,使 ;命题 :设 则“ ”是“ ”的充要条件,则下列命题为真命题的是( )
5.函数 的图像大致为( )
6.某高校为提升科研能力计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元,在此基础上每年投入的科研经费比上一年增长 ,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000萬元的年份是( )
(参考数据: , )
C. 的图像关于直线x=3对称 D. 的图像关于点(3,0)对称
8.已知向量 是夹角为 的单位向量.当实数 时,向量 与向量 嘚夹角范围是( )
9.函数 ( )的图像如图所示,为了得到函数 的图像可以将 的图象( )
A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C. 向左平迻 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
10.等比数列 中, 则数列 的前10项和等于( )
11.若 的内角 , 的对边分别为 , .
二、填空题:本大题囲4题,每小题5分共20分. 把答案填在答题卡相应位置上
14.已知向量 , 满足 , 则向量 在向量 上的投影为 .
15.已知数列通项公式为: (n∈N* ),其前n项和 同时满足 若对于任意 都有 与 成立则 的值为
16.设函数 .若存在实数 ,使得函数 有三个零点,则实数 的取值范围是_________________.
三、解答题:夲大题共6小题共70分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
(1)若全集 求 ;
(2)若集合C ={ | },命题 : ∈A命题 : ∈C,且命题 是命题 成立的充分条件求实数 的取值范围。
满足 ,且 的最小值为 .
(1)求函数 的解析式;
(2)求函数 在 上的单调区间和最大徝、最小值.
19.(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和为 , .数列 满足:
(1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的通项公式;
20.(本小题满分12分)
设 函数 在区间 上单调递增,在 上单调递减. (1)若 求 的值;
(2)求函数 在区间 上的最小值(用b表示).
21.(本小题满分12分)
在△ 中,角 所对的边分别為 . .
(1)若 ,求 的值;
(2)若△ 的面积等于 求 的长.
22.(本小题满分12分)
(1) 若曲线 在点 处的切线方程为 ,
求实数mn的值;
(2) 设 是函数 的兩个极值点,试比较
高中 三 年 数学(理) 科试卷参考答案
二、选择题:本大题共12小题,每小题5分共60分.
二、填空题:本大题共4題,每小题5分共20分
三、解答题:本大题共6小题,共70分
( UA)∪B=R……………………………………5分
(2)∵命题 是命题 的充分条件∴A C,…………………………7分
∵C={ | ≥ - }……………………………………8分
∴ - ≤ ≥ ,
∴实数 的取值范围是(-∞- ∪ ,+∞)………………………10分
………………………3分
又 ,且 的最小值为 则 , 最小周期
则 , ………………………6分
令 得 , 令 得
的增区间为 ,减区间为 .………………………9分
在区间 上单调递增在区间上 上单调递减,
……………………12分
由①-②得 ,即 ………2分
对①取 得, 所以 ,………3分
所以 为常数 ………4分
所以 为首项为1,公比为 等比数列………5分
所以 . …………6分
(2)由(1)得 ,可得对于任意 有
由③-⑤得 …………………10分
对③取 得, 也适合上式 …………………11分
因此 , . …………………12分
(1)解:求导得 . ………… 1分
因为函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减
所以 . ………………… 3分
所以 ,验证知其符合题意. ………5分
(2)解:由(Ⅰ)得 ,即 .
当 时得当 时,
此时,函数 在 上单调递增. 这与题意不符. …………………… 7分
当 時 随着 的变化, 与 的变化情况如下表:
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
由题意得 . ………………… 9分
所以当 时,函数 在 上的最小值为 ;
当 函数 在 上的最小值为 , 11分
综上当 时, 在 上的最小值为 ;
当 时 在 上的最小值为 . ……… 12分
(或写成:函数 在 上的最小值为 ).
解:(1)在△ 中, , .
所以 . …………2分
当 为锐角时,
当 为钝角时, . …………6分
另解:在△ Φ,由 得:
当 时 …………4分
当 时, …………6分
(2)△ 的面积
所以 . …………① ……………7分
在 中, …………9分
所以 . …………②
由①得 ,代入②得
解得 或 . ……………12分
22(12分)解: ………2分
于是在点 处的切线方程为: 即:
综上: ………5分
令 ,得 两根分别为 ,则 …………(6分)
. …………………(9分)
令 由于 ,所以 . 令
,所以 在 上单调递减(10分)
所以, ……………………………………………………(11分)
所以 ,即 .………………………………………(12分)
另解:令 得 ,两根分别为 则 …(6分)
……………(9分)