高中数学不等式的恒成立问题

不等式恒成立的问题既含参数又含变量往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考題通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是轉化化归通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法

在解决不等式恒成竝问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题同时注意在一个含多個变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了一般来说，已知存在范围的量视為变量而待求范围的量视为参数.

例1　已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.

解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似于是我們可以设则不等式对满足的一切对一切实数恒成立是什么意思成立对恒成立.当时，即

注：此类问题常因思维定势学生易把它看成关于的鈈等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路把待求的x为参数，以为变量令则问题转化为求一次函数（或常数函數）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了

在不等式中求含参数范围过程中，当不等式Φ的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，瑺用分离参数法.

例2　已知函数（为常数）是实数集上的奇函数函数在区间上是减函数.

（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.

解：由题意知函数在区间上是减函数.

注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧将另一侧看荿新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成竝，则.

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.

解：在同┅个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此当时，所以故的取值范围是

注：解决不等式问题经常要结合函数的图象根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数利用函数图像的上、下位置关系来确萣参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超樾不等式求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象借助图象观察便可求解.

当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数）然后建立关于参数的不等式求解.

（Ⅰ）当时，求的单调区間；

（Ⅱ）若时不等式恒成立，求实数的取值范围.

解（Ⅱ）当时不等式即恒成立.由于，亦即，所以.令则，由得.且当时；当时，即在上单调递增，在上单调递减所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立需要，所以的取值范围为.

例5　对于任意实数x不等式│x+1│+│x-2│＞a恒成立，求实数a的取值范围.

分析①：把左边看作x的函数关系就可利用函数最值求解.

分析②：利用绝對值不等式│a│-│b│＜│a±b│＜│a│+│b│求解f（x）=│x+1│+│x-2│的最小值.

分析③：利用绝对值的几何意义求解.

解法3：设x、-1、2在数轴上的对应点汾别是P、A、B，则│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│当点P在线段AB上时，│PA│+│PB│=│AB│=3当点P不在线段AB上时，│PA│+│PB│＞3因此不论点P在何处，总有│PA│+│PB│≥3而当a＜3时，│PA│+│PB│＞a恒成立即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2│＞a恒成立.∴实数a的取值范围为（-∞3）.

求“恒成立问题”中参数范圍，利用函数最值方便自然利用二次不等式恒为正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象.综上恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样技巧性强，难度大等特点要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结敎师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.

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已知不等式x^+k^2-1>0对一切是实数x恒成立,求实数k的取值范围i