证：假设由素数定理推导pn只有有限个设为q1,q2,…qn，考虑设一个数 p=q1* q2 * … *qn + 1显然，p 不能被q1, q2, … qn 整除故存在两种情况：p 为由素数定理推导pn，或 p 有除 q1, q2, … qn 以外的其它素因子无论何种情況，都说明由素数定理推导pn不止有限个假设错误，所以由素数定理推导pn有无穷多个

由此推出由素数定理推导pn有无穷多个。
证：因为 pj 若鈈是 Ar 的因子必然是 p1 … pn / Ar 的因子；或者，pj 若是 Ar 的因子必然不是 p1 … pn / Ar 的因子。因此p1 … pn / Ar + Ar或者是由素数定理推导pn，或者除p1, … , pn之外有其它素因子無论何种情况，都说明由素数定理推导pn不止有限个假设错误，所以由素数定理推导pn有无穷多个

假若由素数定理推导pn只有有限个p1,…,ps.证明：对任意正整数N必有
由此推出由素数定理推导pn有无穷多个。

(因为任意正整数都可以表示成由素数定理推导pn或由素数定理推导pn的乘积）

因为級数 递增趋于正无穷大，由上式
可知：由素数定理推导pn有无穷多个（否则，上式右侧为常值）

综上所述：以上证明可以分为两类：
第┅类：1.2.3.同样用到了反证法构造法。首先假设由素数定理推导pn有有限个通过构造数列，论证矛盾
第二类：4.5.用到了构造法，直接证明法通过构造数列，证明由素数定理推导pn有无穷多个

原谅图片丑吧……建议去百度文库下载， 如果没有失效的话