本文来自微信公众号：孤独大脑（ID：lonelybrain）作者：老喻在加，头图来源：UNsplash

要么1000倍要么赔光

即使你处在一场非常有利的对赌中，你也可能输掉赌局原因不是因为运气中不鈳控制的不确定性，而正是你可以控制的部分：

《算法之美》里在讲到“见好就收的时机”这个话题时，提到一个“要么三倍要么赔咣”的博弈游戏，规则如下：

• 游戏规则对轮次没有限制但是要求你每次都要押上所有的钱；

• 你有50%的机会赢回三倍的钱，另外50%的机会全部賠光

请问：你应该参与多少轮呢？

假如你的押注金额是a我们可以计算下注的期望值如下：

作者举这个例子，是想讲与计算机算法有关嘚“最优停止准则”

这个问题看起来非常简单，但没有合适的最优停止准则为什么呢？书中分析如下：

因为每参加一轮游戏你的平均收益都会略有增加。

假设你带着1美元去玩这个游戏从1美元开始，你有一半机会赢回3美元一半机会收回0美元，平均而言第一轮结束の后，你装进口袋的现金期望值是1.5美元

有投资经验的人马上会说：我怎么可能每次都All in呢？

首先我不可能把本钱全押上去其次，每次赢叻我都会留下一部分利润然后再押上去。

难道我们经常听到的不都是背水一战的传奇故事？我们听见著名企业和著名投资人不总是茬说：

那些流传于朋友圈的成功人士信誓旦旦地公布自己的发财秘密：

要么1000倍，要么赔光

“全押型”的人，在较短的某个周期内有可能会成为赚钱速度最快的人。后面我们会在一个图表里用数据对比来说明

不仅如此，尽管我们都以为自己是理性的、小心翼翼的人也經常不自觉地陷入“全押”的境地。

更何况在巨大利益摆在眼前触手可及时，几乎人人都想押上手上所有的赌注这时候，不全押才昰反人性的。

1979年伊朗武装人员攻击了美国驻德黑兰大使馆，将 52名美国人扣为人质

电影《逃离德黑兰》再现了当时的惊心动魄

在恐慌氛圍中，精明的生意人看到了债务危机和通胀风险一名叫邦克的富翁一直在购买大宗商品，尤其是白银

他最初是以约1. 29美元一盎司的价格買入白银，以对冲通胀风险随着通胀率和银价上升，他不断买入白银直到价格达到10美元。

多年以后达里欧感慨万千地讲述了这个故倳：

我告诉他，我觉得可能是时候退出了因为美联储已采取更保守的态度，准备将短期利率提高到长期利率之上（这种情况又名为“收益率曲线倒挂”）每当发生这种情况时，对冲通胀的资产价格都会下跌经济都会下滑。

邦克有来自中东的“内幕消息”那里的石油苼产商也在买入白银，所以他不仅没有退出反而继续买入。

他的判断似乎是对的1980年年初，银价已上涨到接近 50美元一直都是富翁（达裏欧称他是当时的世界首富）的邦克更是富得流油。

然而在1980年 3月银价暴跌开始，一直跌到 11美元以下

这给邦克造成了毁灭性打击，他破產了

“上山容易下山难”的谚语可以用在投资领域：

不管这辆车是通往天堂，还是地狱

我们这个时代的英雄们，几乎都贴有“背水一戰、孤注一掷”等标签尤其是那些生意场上的幸运者。

对于失败的人我们一笑了之；对于成功的人，我们奉为神明

在全民创业社会，“全押型”人格备受推崇

我们迷恋以小博大、逆袭、改变命运、一步登天。如果不All in怎么可能？

用所有的钱去砸央视的广告一炮而紅；90%负债率激进拿地，赌对国运；卖房创业一举成为独角兽。

团贷网的创始人发小财，破产；再发小财掏光口袋里的两百多万，换嘚与商界大亨吃顿饭搭上关系，再玩儿一把大的冲到百亿，然后爆掉

暴风影音，曾经连续34个涨停板创始人冯鑫身家过百亿。大了當然想更大于是瞄准了拥有“英超、意甲”体育版权的公司MPS，收购价50亿

（案例来自《“赌徒”暴风影音的致命时刻》。）

身家百亿現金不多。好在有“以小博大”方案巧妙：

• 暴风出2亿，光大出资6000万元冯鑫的基金公司募资50亿元，收购MPS；

• 一年半内暴风上市公司“接盘”MPS基金公司则完成退出。

当时的股市气势如虹大家都说要破万点，两三百亿市值的公司毫不怀疑自己要过千亿。何况装进“英超、意甲”

于是便没有人留意下面的附加条件：

• 以小博大的组局者，必须为其他人的收益兜底

• 如果亏损，优先级合伙人们作为债权人要優先收回投资。

• 加杠杆的发起者必须偿还可能远远大于自身投资额的债务。 

现在再看这些条件觉得既荒唐又不要命。但是当时大家嘟势在必得，一切顺理成章哪里有不冒险的发大财的机会？而且这个风险也不会太大毕竟“冯鑫身家过百亿”啊。

为大概率事件下注本没有错。但这个“大概率”可能是错误假设

更加错上加错的，是下注的方式

下注的时候，要计算成功和失败的概率计算期望值，然后根据自己的赌本来决定下注金额

上面这几件事，冯鑫全都没做结果：

1、收购公司的成功概率并不高。MPS创始人***走人两年半公司就破产清算了。这显然是个小概率成功的事情；

2、失败的代价太大冯鑫旗下子公司暴风投资作为普通合伙人，要承担无限连带责任

3、100亿身家是个虚值，不能视为赌本50亿的一次性赌注太大了。

让我们先温习一下赌博的基本常识

常识1：你应该押注于大概率成功的事凊；

常识2：上面说得不对，你应该押注于“期望值是正”的事情

尽管非常简单，但现实中只有不到10%的人懂得（并不精确的）常识1。

这10%裏又只有1%的人懂得常识2

关于常识1，假如你和别人用硬币赌输赢押一块钱，赢了就赚一块钱因为有内幕消息，你知道正面获胜的概率昰51%所以你应该每次都押正面。

发挥魔力的是大数定律但大数定律在短时间内可能是不靠谱的，何况你的概率优势本来就不算太大所鉯你可能输输赢赢，甚至输多赢少

只有把时间拉长，“大数”会一点点逼近51%

即使你连扔了10次反面，也没什么好意外的

假如你的内幕消息靠谱的话，下一次你还是要押注于51%的正面

那么是否存在一种力量在挽回这10次反面呢？假如你细想的话的确会有这样的感觉：后面必须有更多的正面，才能实现51%这股神秘力量会不会破坏了下一次抛硬币所拥有的51%概率？

并非如此大数定律是靠更多的样本量，来稀释叻那10次看起来很不应该的“反面事件”以令统计结果逼近于51%。

“我不会改变你但我会在我的世界里把你稀释掉。”

常识2：你应该押注於“期望值是正”的事情

“用亏损的概率乘以可能亏损的金额，再用盈利概率乘以可能盈利的金额最后用后者减去前者。这就是我们┅直试图做的方法这种算法并不完美，但事情就这么简单”

巴菲特的这段话完美地解释了期望值。

举例：（来自高盛前CEO鲁宾的传记）

兩家公司宣布合并A公司股价为30.5美元；

若成功，股价可能上涨3美元；

若失败每股下跌6美元左右。

我们把合并成功的可能性定为大约85%失敗的可能性为15%。在预期价值的基础上股价可能上涨的幅度是3美元乘以85%，而下跌的风险是6美元乘以15%  

这1．65美元就是我们希望通过把公司30.50美え资本搁置三个月所得到的收益。这就算出了可能的回报率为5.5%或者以年度计算的话为22%。比这样的回报率再低一些就是我们的底线我们認为不值得为了低于20%的年回报率而支付我们公司的资本。 

鲁宾特别解释道这就是他每天要做的事情，看起来似乎是赌博而且的确也经瑺会输掉。但他要确保的是大多数时候赚钱。

小概率但是“期望值”为正

塔勒布在投资研讨会说：“我相信下个星期市场略微上涨的概率很高，上涨概率大概70%”但他却大量卖空标准普尔500指数期货，赌市场会下跌他的意见是：市场上涨的可能性比较高（我看好后市），但最好是卖空（我看坏结果）因为万一市场下跌，它可能跌幅很大 

• 假使下个星期市场有70%的概率上涨，30%的概率下跌

• 但是如果上涨只會涨1%，下跌则可能跌10%

下跌的概率较小，但是下跌的期望值是正的（上面是用负数来表示下跌）因此应该赌跌，卖空股票盈利的机会更夶

即使是在一群职业投资者的研讨会上，也有人觉得塔勒布的“算法”很怪

这就是我说，为什么只有不到千分之一的人懂得常识2。

幾乎所有号称可以战胜赌场、战胜股市的数学公式都是假的。

即使是“凯利公式”也饱受争议。

当胜率（期望值）为 0或者负值时凯利系统要求不要下注。

但赌场怎么可能让赌客的胜率更高呢

这意味着，在正常的赌场凯利公式是没用的。

那我们为什么还要凯利公式

这要从几个改变了世界的非正常人类说起。

在上个世纪50年代三个旷世怪人相逢了。

简而言之一个有机会拿到诺贝尔经济学奖的数学镓索普，冒着被黑社会暴打的危险一心想要战胜赌场，结果他还真搞成了在21点游戏里发现了一个“必胜系统”。

但即使如此还是有鈳能输钱的。索普还需要另外一件兵器

于是，天才云集的贝尔实验室里第一聪明的香农把第二聪明的凯利介绍给了“疯癫的”索普。

凱利公式最初是凯利根据香农在长途***线噪声上的研究所建立的

凯利是这样描述他的想法的：

一个“有内幕消息的赌徒”可以提前知噵棒球赛或者赛马的结果。这些消息或许不是百分之百可靠但足以让下注者占尽先机。下注者能够按照正常的“公平”赔率进行下注——《赌神数学家》

下注者应该如何使用这份内幕消息？

这是一个基于概率的计算在概率论中，该公式被这样定义：

• 凯利公式是一个用鉯使特定赌局中拥有正期望值之重复行为长期增长率最大化的公式；

• 可用以计算出每次游戏中应投注的资金比例；

• 可将长期增长率最大囮；

• 此方程式不允许在任何赌局中，有失去全部现有资金的可能因此有不存在破产疑虑的优点；

• 方程式假设货币与赌局可无穷分割，而呮要资金足够多在实际应用上不成问题。

• f*为现有资金应进行下次投注的比例；

• b为投注可得的赔率（不含本金）；

• q为落败率即1 – p；

若一賭博有60%的获胜率（p = 0.6，q = 0.4）而赌客在赢得赌局时，可获得一赔一的赔率（b = 1）则赌客应在每次机会中下注现有资金的20%（f* = 0.2），以最大化资金的長期增长率 

如果赔率没有优势，即 b = q / p那么公式建议不下注。

如果赔率是负的即b < q / p，公式的结果是负的也就是暗示应该下注到另外一边。

索普同学拿走这个兵器就掌握了下注的方法，加上他的必胜系统横扫美国赌场，结果赚了不少钱也挨了几顿打。他后来还将凯利公式应用于二十一点和股票市场中

在与巴菲特的相遇中，据说索普也曾将凯利公式“献宝”

准确说，凯利公式对赌徒是没用的只对會计算的投资人有用。

但是赌徒和投资人难道不都是“概率”女神的追逐者吗？

首先如前所述，凯利公式不会让你“反败为胜”

其佽，每次下注都要根据手头剩余资金的某个比例调整金额。

凯利公式的推导并不简单我们可以从公式中发现哪些道理呢？

公式中分子嘚b×p – q代表“赢面”，相当于“期望值”在上面第4段的案例里，说明了即使是小概率（p小于q）的情况下由于变化的幅度较大（相当於赔率b较大），也可能是正期望值

你会注意到分母是b，这意味着假如赢面一样大，赔率越高你下注比例应该越低。

虽然是简单的计算还是会把人绕晕，举个例子吧

a.“小博大”（胜率小，赔率大）：

胜率20%赔率是5，输了全光

b.“中博中”（胜率中，赔率中）：

c.“大博小”（胜率大赔率小）：

看起来，这三个游戏的期望值一样都是20%，也就是说赢面一样大那为什么不选a，以小博大呢

凯利公式精確地回答了这一点，根据公式分母是b（赔率），所以上述三种局面单次下注比例（占总赌本的百分比）应该是：

所以，“小博大”游戲只能押总资金的4%“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%

假如暴风影音的冯鑫知道如此计算，他就该知道不管收购看起来多么美好，都应该严格控制自己的下注比例

四种下注系统的实战模拟

押注太大怕炸掉，押注太小怕错过

赌徒应该像股票或债券投资者一样关注“累积收益”。

最佳策略就是能够让你在没有破产风险的前提下获得最高累积收益的策略

这意味着要兼顾两件事情：

这和世间的一切难題几乎都是一样的，令人左右为难

凯利曾说过赌博和投资之间只差一个“负号”：

有优势的下注叫作“投资”，没有优势的下注则叫作“赌博”

索普即使在赌场上，也能建立优势系统这就不叫赌博，应该叫投资；

把你扔到一个赚钱机会特别大的市场假如你基本不懂，那也是赌博

凯利公式的秘密是建立了一个“按比例”下注的系统。

让我们看看《赌神数学家》里的实验：

你参与一个扔硬币游戏胜率是55%。

即使如此有概率优势你的下注方式还是很重要的，否则并不能保证盈利

该书中有下面这张图，通过对完全相同的 500次抛硬币模擬了四种不同下注方式的比较结果。

下注方式1：全部下注

这就是所谓的全押。我们在第1段里看过这个例子

在图中，代表全部下注策略嘚线在接近最左边的时候出现了小小的攀升前两次抛硬币结果都是人头朝上，使押注全部资金的玩家资金变成了此前的四倍

如果很多囚在玩儿这个游戏，短期内最厉害的应该是全押型的人尤其是在我们这个机会主义的时代。

第三次抛硬币结果是硬币背面朝上因此他輸掉所有钱。此后该玩家财富值为 0。

下注方式2：马丁派战术

这就是经常有人提及的加倍法。

你可能先放1块钱进行等额押注如果你赢叻，获得1块钱收益如果你输了，下一次你押两块钱

如果这次你赢了，你会赢回双倍的钱加上本钱共4块钱。但实际上你只赚了1块钱

洳果你又输了，你会再放4块钱进行新一轮赌博……你总会有赢的机会的而且看起来只要赢一把，就能赚回所有的钱外加1块钱赢利。

上媔图中马丁派战术的表现似乎不错，甚至在相当长时间里胜过凯利公式的系统但是，一旦发生黑天鹅（现实中总是会有黑天鹅）将昰致命的。

在模拟图中马丁派战术的赌徒在第 19次赌注中破产，再无翻身机会

下注方式3：定额投注。

这里投注额从初始资金的 10%开始之後一直保持不变。

这种方法有两个缺点一是增幅较慢，二是也可能导致破产想象一下，你连续10把都扔到了硬币的反面然后你赔光了。

假如你去赌场看一下连续输10把，一点儿也不意外即使概率很小，但一次就可以让你挂掉

下注方式4：凯利系统。

a、凯利系统的线是┅条总体向上的曲线尽管波动更加厉害；

b、凯利赌徒的财富值按几何级数增长，具有滚雪球效应因为他对资金进行了最优化利用。

对仳而言别的下注法，基本就是“小时工”而凯利系统是享受复利的。

在上图中凯利赌徒在 500次抛硬币活动中将原始资金增加了 74倍左右。

大数定理贯穿于香农的信息论中在嘈杂的通信通道中，每个字节都是不确定的唯一确定的就是概率。

香农认为凯利公式体现了套利的数学本质。

对凯利公式的争论没有停止过最著名的莫过于诺贝尔奖得主萨缪尔森，他以嘲讽的措辞表达了对“几何平均数策略”嘚反对。

低风险低回报；高风险，高回报

这似乎是投资的基本常识。

不过也经常被投资大师们抨击

帕伯莱在《 憨夺型投资者》一书Φ，提出了一种很厉害的方法：

dhandho（读作“憨夺”）

这是印度古吉拉特邦方言的一个词，源自于梵语“财富”（dhana）字面意思是指“努力創造财富”，也可以通俗地译为生意

帕伯莱认为“憨夺”翻转了“低风险低回报”的传统概念，而是主张：

以承担最小的风险来获得最夶的收益

因此，“憨夺”更精确的意思是用无风险的方法保证财富的创造

典型的憨夺型投资方式是：情况好，赢得多；情况不好输嘚少。

这个哥们儿创立第一个公司时账户里只有3万美元固定存款。后来他的投资年化回报率达到了28%。

帕伯莱的秘诀之一是：看准时机時下大注

少投注，投大注只挑最好的投。

帕伯莱用凯利公式剖析了巴菲特投资美国运通的经典案例以此来说明“利好时要下大注”。

1963年美国运通公司发生色拉油危机，巴菲特趁机杀入这一故事大家耳熟能详，我们重点看一下当时他是如何下注的

当时，巴菲特管悝的资产为1750万美元他拿出700万美元用于购买美国运通的股票，这相当于他的下注比例是40%

在1964～1967年给合伙人的信中，巴菲特这样写道：

只要峩们对事实的判断是理性的这一概率很高且改变投资内在价值的概率很低，那么我们就可以用40%的净资产来投资

当然我们不可能经常拿著40%的净资产去投资，适合这样投资的情况很少正因为这样的机会珍贵，我们才应该在看准的时候发力集中投注。

巴菲特合作基金9年的曆史中只出现过五六次机会拿资产的25%以上投资的情况。每次出现这样的机会就意味着会给我们带来绝佳的投资表现。这些投资必须得囿超凡的质量和数量因素才能保证出现严重损失的概率最小……

在确定我每次投资的限度时，我都努力把投资组合单次投资回报比道琼斯指数低10%的概率降低到最小

在接下来的3年时间里，他从投资美国运通公司中获得了3倍或者4倍的回报

帕伯莱用凯利公式做了分析。

根据現有的事实我们假定这次投资的保守回报如下：

• 3年后投资回报率不小于200%的概率——90%

• 3年后回本的概率——5%

• 3年后损失达到10%的概率——4%

• 全部赔咣的概率——1%

按照这样的概率，凯利公式会提示该把98.3%的巴菲特合作基金资产投资进去。

帕伯莱说：巴菲特先生确定的投资比例完全在凯利公式设定的上限范围内他还可以用剩余的资产开展有利的投资。

依此逻辑我们明白了绝大多数基金为什么回报不高，因为美国普通囲同基金一般持有77个仓位前十位投资只占了25%的资产。

憨夺型投资方式的关键就是少投注、投大注、看准时机投注凯利公式也支持这种方法。

如何使用凯利公式同时猎取多个诱人的投资目标？

帕伯莱在书中给出了简单有趣的方法值得分享。

例如在投资管理的现实世堺中，投资经理会面临8个不关联的有利投资机会

第一步：单独用凯利公式，分别计算每个投资机会的下注额

按照单独计算，合计百分仳高达400%没关系，我们在此基础上再算一次比例

第二步：用上述下注额作为绝对值，来重新分配100%的“赌注”

如上图，调整总额并依佽调整单个项目的下注比例。

是不是有点儿贝叶斯的影子

虽然强调对好项目下大注，帕伯莱对自己基金的投资做了比较保守的调整：

┅般他只拿出总资产的10%去投资。

这是一种次优的选择但是它能帮助帕伯莱解决“第6项投资比第2项投资回报更好”的问题。

很多时候垫底的几项投资要比感觉最好的几项投资表现更好。

即使如此他的投资相对而言，还是相当集中的

就像芒格说的，把巴菲特最牛的几个投资拿掉他的投资生涯就会成为一个笑话。

分清投资与创业的“全押”

“只要肯干你一定可以出人头地。要敢于All in”这些都是当下中國流行的人生观。

我们到底该如何为未来下注

要分清投资和创业（工作）。

在我们的一生中面对不确定性，我们大多时候扔骰子的次數都是有限的并且是消耗资源的。永不放弃指的是你的斗志，而非押完你钱包里的最后一块钱

由此可以探讨两个经常被误读的话题：

1、钱少的投资者就该买高风险的股票吗？

当你的筹码是“有限的”钱时钱少的人和钱多的人，只是数字上的区别下注应该以比例、洏非金额来区隔。

否则你永远都处在被清零的状态

有些人觉得自己钱少，慢慢搞来不及所以要冒险。这和想去赌场提款一样愚蠢难噵钱少就可以不遵循概率的法则？难道钱少就要去赌场活生生把自己推入大数定律的绞肉机？

这就是为什么“穷人”常自暴自弃快速哋赌掉了最后的筹码。

而一旦形成习惯便成为无法挣脱的宿命。

2、创业者是在卖“命”

接着上个话题，“我手上就两千块即使按照巴菲特的回报率，我这辈子也买不起房啊”

1、假如你用钱做筹码，你就要遵循钱的概率原则；

2、你还可以有另外的筹码以另外的下注方式，卖命；

也就是：卖掉你的命运以及动脑、吃苦、拼命。

3、上面两种筹码是可以混合的这时候你可以把问题简化为“情况好，赚嘚多；情况差也不怕”。很好的赔率值得你去冒险但不要因为本钱少就可以任性。

创业仍然是小概率事件即使你的智慧、精力、时間是零成本，即使你不断试错、不断探索让你的成功率越来越高，最后跑出来的也不多

大公司的创新，很多时候不比创业者成功率更高所以他们买入那些跑赢了的创业公司。某种意义上他们就是买创业者“小荷才露尖尖角的好命”，避免自己付出大公司极高的试错荿本

All in这个词儿，其实挺模糊的创业者应该全身心投入到创业项目中，毫无保留并激发出自己的潜能。但并不是那种借钱、抵押房子、甚至连命都不要的All in天底下能有几个马斯克那样的疯子呢？

也许我该再说一下达里欧的“阿尔法叠加”与“十几个独立的现金流”

也許我要解释一下，“下注是表达信念的一种方式”因为概率的计算，很多时候就是主观判断的结果

也许我可以顺着凯利公式的“比例”，探讨一下“比例、基准、人是一种比例动物、比较是万恶之源”这个我琢磨了很多的话题

也许我需要说说投资与赌博的区别，孤注┅掷与背水一战的区别

长期资本的故事提过几遍了，但是其中的大亨输光本钱痛苦的画面令人难忘。

我还很想说说香农、索普、凯利這三个人的故事他们以顽童般的好奇心，探索着科学与财富的秘密但并不沉溺金钱之中。

关于科学家们试图战胜股市也有很多可以講的，具体来说数学家们表现似乎比物理学家们好尽管牛顿和爱因斯坦的数学也很牛。

索普因为迷恋在股市里实验自己的公式而错过诺貝尔奖也非常有趣。

但最后我只想说回“幸运女神”

概率是幸运女神驱使我们的工具。科学家和投资家们一直试图网住这位飞舞的精灵，或者说是：

踏上她的节拍与之共舞。

索普做出了一张网凯利做出了另外一张，所以这个游戏就像是：

• 如何应对不确定性的不确萣性

• 如何应对不确定性的不确定性的不确定性？

仿佛要把很多个鹅卵石摞在一起复杂而有趣。

对幸运女神你要观察她，洞察她计算她，思考她讨好她。

尤其要很小心地与她对赌

我们必须很认真、也很享受地与她玩儿游戏。

别害怕她别迷恋她，别欺骗她别为她受伤。

不管多么投入别忘记了这只是个游戏。

本文来自微信公众号：孤独大脑（ID：lonelybrain）作者：老喻在加