我们在前面的文章中分别介绍了圆周率π和自然常数e，可以严格证明，π和e都是无理数，也都是超越数。所谓代数数是指能够满足整系数多项式方程的数，而所谓超越数就是指不能满足整系数多项式方程的数。超越数必然是无理数，但无理数不一定是超越数。例如√2是一个无理数，但√2不是超越数，因为√2是整系数多项式方程x^2-2=0的根。π和e不是任何整系数多项式方程的根，所以π和e是超越数，但是严格证明这个结论并不容易，大家只需要了解这个结论即可。今天我们来了解一个非常神奇的超越数——盖尔方德常数：e^π盖尔方德常数我们先来看一个有趣的结果。e^π=2.718…^3.14…=23.1406926327…e^π-π=23.1406926327…-3.1415926535=19.999099979…这个结果几乎就等于整数20，这真是一个令人着迷的现象。这个盖尔方德常数是如何出现的呢？其实这个问题并不复杂。在之前的文章中，我已经介绍过，利用泰勒展开式可以将函数f(x)=e^x作如下展开：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…令x=1，就可以得到e的表达式：e=1+1+1/2!+1/3!…令x=π，就可以得到盖尔方德常数e^π的表达式：e^π=1+π+π^2/2!+π^3/3!+…这里少写了一个π备注：以上图片中少写了一个π盖尔方德常数的连分数如下：接下来我们继续利用到欧拉公式，欧拉公式真是无处不在啊。欧拉公式：e^(ix)=cos(x)+i×sin(x)令x=π，可得e^(iπ)=cos(π)+i×sin(π)=-1+0=-1这就是著名的欧拉恒等式e^(iπ)=-1对欧拉恒等式两边同时取-i次方[e^(iπ)]^(-i)=(-1)^(-i)e^[(-i^2)π]=(-1)^(-i)我们又得到一个关于盖尔方德常数e^π的恒等式：e^π=(-1)^(-i)我们不妨给他取个名字就叫“数学边界恒等式”吧。数学边界恒等式这个美妙的数学边界恒等式是否可以和欧拉恒等式媲美呢？哈哈哈，开个小玩笑。其实，这两个恒等式本质上是完全一样的。欧拉恒等式接下来，我们对数学边界恒等式两边同时取自然对数e^π=(-1)^(-i)ln(e^π)=ln[(-1)^(-i)]π×ln(e)=-i×ln(-1)π×1=-i×ln(-1)π=-i×ln(-1)我们又得到了关于圆周率π的另一个美妙的恒等式。这个漂亮的恒等式的命名就留给大家来命名吧。再进一步变形π=-i×ln(-1)=-i×ln(i^2)=-2i×ln(i)2i×ln(i)+π=0我们又得到了一个恒等式。i×ln(i)+π/2=0还记得我在之前文章中介绍过的i的i次方吗？i^i=e^(-π/2)=0.207829…回顾一下之前的证明过程根据欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i×sin(x)i=0+i=0+i×1=cos(2nπ+π/2)+i×sin(2nπ+π/2)=e^[i×(2nπ+π/2)]，n∈Zi^i={e^[i×(2nπ+π/2)]}^i=e^[(i^2)×(2nπ+π/2)]=e^[-(2nπ+π/2)]，n∈Z令n=0，可得i^i=e^(-π/2)你们发现两者的联系了吗？(i^i)^(-2)=[e^(-π/2)]^(-2)i^(-2i)=e^[(-π/2)×(-2)]=e^πe^π=i^(-2i)=(i^2)^(-i)=(-1)^(-i)e^π=i^(-2i)=(-1)^(-i)这不就是前面给出的数学边界恒等式吗？数学边界恒等式最后，再介绍一个非常有趣的常数——拉马努金常数：e^[π×√(163)]拉马努金常数拉马努金常数也是一个超越数，这个常数有一个非常有趣的特性：e^[π×√(163)]=262537412640768743.9999999999992…这个常数在小数点后有连续12个9，它几乎就等于整数262537412640768744。当然，这个拉马努金常数其实并没有什么卵用。但对数学家们而言，有趣就已经足够了。你要是不服气的话，就再构造出一个小数点后有连续13个9的有意义的无理数或者超越数来打败拉马努金。盖尔方德常数

我今天又重新认识了这句话：有 \pi 的地方一定藏着一个圆。正态分布又名 Gauss 分布，是一个概率密度函数，其表达式为：{\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right) ,\ \ \ \ \ -\infty <x<\infty }.\tag{1} 其中， \mu 为数学期望， \sigma^2 为方差，你可能会感觉很奇怪，为何这样一个分布的系数里面会出现 \pi 呢？其实这个问题并不难回答，因为正态分布是一个概率密度函数，所以，我们要使 f(x
\,\mu,\sigma^2) 在 \mathbb{R} 的积分值为 1 ，即：\int_{x=-\infty}^{x=+\infty}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm{d}x=1\tag{2} 我们不妨设：\sigma^2=1,\ \ \ \ \ \mu=0\tag{3} 这样所得到的正态分布的表达式为：f(x|\, 0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\exp({-x^2\over 2})\tag{4} 为标准正态分布，由式 (2) 我们可以知道：\int_{x=-\infty}^{x=+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\exp({-x^2\over 2})\,\mathrm{d}x=1\tag{5} 也就是说标准正态分布前面的系数 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} 保证了该分布在整个实数域上的积分值为 1 ，从而可以使之成为一个合格的概率密度函数。好了，这就是正态分布中系数中的 \pi 的由来了。我感觉这篇文章可以结束了......等等，这里还有一个问题，现在我知道了正态分布前面的系数里面为何会有 \pi ，但为何：\int_{x=-\infty}^{x=+\infty}\,\exp({-x^2\over 2})\,\mathrm{d}x=\tag{6}\sqrt{2\pi} ？？？这个问题似乎不是很简单，看来这篇文章不能就这样草草的结束了呀，那我就继续写下去咯。为了解答这个问题，我们不妨先将式 (6) 做一些变换，设 x=\sqrt{2}\,t ，从而， \mathrm{d}x=\sqrt{2}\, \mathrm{d}t 代入到式 (6) 中我们有：\begin{align*} &\sqrt{2}\cdot\int_{t=-\infty}^{t=+\infty}\,\exp({-(\sqrt{2}t)^2\over 2})\,\mathrm{d}t=\sqrt{2\pi}\\ \\ &\Leftrightarrow\int_{t=-\infty}^{t=+\infty}\,\exp(-t^2)\,\mathrm{d}t=\sqrt{\pi}
\end{align*}\tag{7} 这个积分我们目前是不会计算的，但是请记住一句话：有 \pi 的地方一定藏着一个圆。那么这个圆在哪呢？我们继续往下看为了计算这个积分值，我们需要一个技巧，就是求一个更为复杂的积分：\int_{\mathbb{R^2}}\exp(-x^2-y^2)\,\mathrm{d}(x,y)\tag{8} 大家可能会觉得很荒谬，一元的积分还没算出来呢，怎么又搞了一个二元的积分？到了后面，相信大家会明白这样做的意义。首先我们要明白为何选了这样一个二元积分来进行求解，因为无论单独在 x 方向，或者单独在 y 方向去截曲面 \exp(-x^2-y^2) 得到的都是 \exp(-t^2) 的形式，我们不妨来简单验证一下：(\mathrm{i}) 沿 x 方向的平面（即平行于 xOz 面的平面）截曲面 :由于平面都是平行于 xOz 面的，所以有 y=\mathrm{const} ,则所截得的曲线方程为：f(x,y=\mathrm{const})=\exp(-x^2-y^2)=\exp(-x^2)\cdot\exp(-y^2)=C\exp(-x^2)\overset{x:=t}{\rightarrow}C\exp(-t^2)\tag{9} (\mathrm{ii}) 沿 y 方向的平面（即平行于 yOz 面的平面）截曲面 :由于平面都是平行于 yOz 面的，所以有 x=\mathrm{const} ,则所截得的曲线方程为： f(x=\mathrm{const},y)=\exp(-x^2-y^2)=\exp(-x^2)\cdot\exp(-y^2)=C\exp(-y^2)\overset{y:=t}{\rightarrow}C\exp(-t^2)\tag{10}
x=0和y=0截曲面\exp(-x^2-y^2)所得的曲线。图片来源：自己画的。好了，我们现在继续研究式 (8) 这个积分，我们将这个积分重新写一下：\begin{align*}
I&:=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2-y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2)\cdot \exp(-y^2)\,\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}y
\end{align*}\tag{12} 由于在内层积分的积分变量是 x ，所以 y 相对于 x 是常数，即上式可以写为：\begin{align*}
I &=\int_{-\infty}^{+\infty}(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2)\cdot \exp(-y^2)\,\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}y\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-y^2)(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2) \,\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}y
\end{align*}\tag{13} 式 (13) 中的内层积分 \int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2)\cdot \,\mathrm{d}x 相对于外层积分变量 y 是常数，所以有：\begin{align*}
I
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-y^2)(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2)\,\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}y\\ &=(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2)\,\mathrm{d}x)\cdot(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-y^2)\,\mathrm{d}y)
\end{align*}\tag{14} 如果将式 (14) 中的 x,y 都换成 t 则有：(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2) \,\mathrm{d}x)\cdot(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-y^2)\,\mathrm{d}y)\xrightarrow[ ]{x,y:=t}(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-t^2)\,\mathrm{d}t)^2\tag{15} 也就是说：\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2-y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-t^2)\,\mathrm{d}t)^2\tag{16} 这个等式说明曲面 \exp(-x^2-y^2) 下的体积等于曲线 \exp(-t^2) 下的面积的平方。我们现在观察曲面的指数：-x^2-y^2=-(x^2+y^2)\tag{17} 不知大家发现了吗，曲面 f(x,y)=-(x^2+y^2) 的水平集 -(x^2+y^2)=C=\mathrm{const} 是一族圆：曲面x^2+y^2。图片来源：自己画的。曲面x^2+y^2的水平集。图片来源：自己画的。这族圆就是藏在 \pi 后面的圆了，显然，这族圆以原点为圆心，也就是说在每一个圆 x^2+y^2=\mathrm{const} 上， \exp(-(x^2+y^2)) 的函数值都是一样的，仅与这个圆的半径有关。图片来源：自己画的。这族圆告诉我们我们可以在极坐标下计算计算二重积分 (8) ，在极坐标下有：\left\{\begin{matrix} x=r\cos\varphi\\
y=r\sin\varphi \end{matrix}\right.\tag{18} 所以：\exp(-(x^2+y^2))=\exp(-(r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi))\xrightarrow[ ]{\sin^2(\bullet)+\cos^2(\bullet)=1}=\exp(-r^2)\tag{19} 但是不要忘了，计算重积分时，如果要变换坐标系要乘上相应坐标系所对应的 Jacobi 行列式。在这里，我们计算的二重积分是从平面直角坐标系转化到极坐标系下，所以有二重积分的坐标变换公式：\int^{x}\int^{y}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int^{r}\int^{\varphi}r\cdot\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r\tag{20} 由于 x,y 的取值范围均是全体实数，所以半径 r 的范围是 [0,+\infty) ，而由于是对整个圆积分，所以 \varphi 的范围是 [0,2\pi) ，所以有：\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}\exp(-(x^2+y^2))\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int^{+\infty}_{0}\int^{2\pi}_{0}r\cdot\exp(-r^2)\cdot\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r\tag{21} 后面极坐标下的积分我们就会算了，只需要一个简单的变量代换，即 r\,\mathrm{d}r=-\frac{1}{2}\mathrm{d}(-r^2) ，代入式 (21) 得到：\begin{align*} \int^{+\infty}_{0}\int^{2\pi}_{0}r\cdot\exp(-r^2)\cdot\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r&=\int^{+\infty}_{0}\int^{2\pi}_{0}r\cdot\exp(-r^2)\cdot\mathrm{d}\varphi(-\frac{1}{2r}\mathrm{d}(-r^2))\\ \\ &=-\frac{1}{2}\cdot2\pi\int^{+\infty}_{0}\exp(-r^2)\mathrm{d}(-r^2)\\ \\ &=-\pi\cdot\exp(-r^2)|_{0}^{+\infty}\\ \\ &=\pi \end{align*}\tag{22}
所以我们得到了二重积分 (8) 的值为：\int_{\mathbb{R^2}}\exp(-x^2-y^2)\,\mathrm{d}(x,y)=\pi\tag{23} 即曲面 \exp(-x^2-y^2) 下的体积等于 \pi ，之前说过，它是曲线 \exp(-t^2) 下的面积的平方，所以：\int_{t=-\infty}^{t=+\infty}\,\exp(-t^2)\,\mathrm{d}t=\sqrt{\pi} \tag{24} 啊，这个问题总算是回答完毕了～现在这篇文章终于可以结束啦！