性质6怎么证明？高等代数矩阵特征值与特征向量的关系问题里的知识 蹲蹲蹲！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-03-10 13:15 标签： 特征值与特征向量的关系
1、第三节第三节 相似矩阵相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化四、小结四、小结 思考题思考题.,., , 111的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对行运算行运算进进对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设定义定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA 1. 等价关系等价关系2.相相似似矩矩阵阵有有相相同同的的行行列列式式2、. . 3. 相相似似矩矩阵阵有有相相同同的的秩秩. .本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对对称称性性传递性传递性)3(证明证明相相似似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA BAPPP 1,使得使得可逆阵可逆阵., 1的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn 4.,.若若 与与 相相似似 则则与与相相似似为为正正整整数数mmABABm推论推论 若若 阶方阵阶方阵3、A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nAn 利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的多项式的多项式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 则则PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个个,1为对角矩阵为对角矩阵使使若可逆矩阵若可逆矩阵特别地特别地 APPP, 1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用4、上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .)( A ., 1对角化对角化这就称为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 证明证明,1为对角阵为对角阵使使假设存在可逆阵假设存在可逆阵 APPP .,21npppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为把把.)( 2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApApp5、ppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于是有于是有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证., PAPPnnnA使使阵阵个特征向量即可构成矩个特征向量即可构成矩这这个特征向量个特征向量得得并可对应地求并可对应地求个特征值个特征值恰好有恰好有由于由于反之反之说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nA6、An如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得方程组得方程组代入代入将将, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础7、解系解之得基础解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321线性无关线性无关所以所以 .,3 化化可对角可对角因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求8、求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线性无关线性无关由于由于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111 012 109、0. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P);det()det(,)1(BABA 则则相似相似与与;,)2( 11相似相似与与且且也可逆也可逆则则可逆可逆且且相似相似与与若若 BABABA;,)3( 为为常常数数相相似似与与则则相相似似与与kkBkABA.)()(,)(,)4( 相似相似与与则则是一多项式是一多项式而而相似相似与与若若BfAfxfBA相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除10、了课堂内介绍的以外，还有：相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 P,111111111 A.00100100 nB.,是否相似是否相似判断下列两矩阵判断下列两矩阵BA. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的特征值为的特征值为因因解解使得使得矩阵矩阵存在可逆存在可逆是实对称矩阵是实对称矩阵又又, 1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,
假设一个 n 阶厄米特矩阵 A\in C^{n \times n} ，（1）厄米特矩阵的特征值均为实数若 A 的特征值为 \lambda ，对应的特征向量是 \boldsymbol{x} ，即:A \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x} \tag{1} 公式（1）两边取共轭转置，可得：\boldsymbol{x}^HA^H = \boldsymbol{x}^H \lambda^H = \boldsymbol{x}^H \overline{\lambda} \tag{2} 其中， \overline{\lambda} 表示 \lambda 的共轭。公式（2）两边同时乘以 \boldsymbol{x} ，可得：\boldsymbol{x}^H A^H \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}^H \overline{\lambda} \boldsymbol{x}
\\ \Rightarrow
\boldsymbol{x}^H A \boldsymbol{x} =\overline{\lambda} \boldsymbol{x}^H
\boldsymbol{x}
\\ \Rightarrow \boldsymbol{x}^H \lambda \boldsymbol{x}=\overline{\lambda} \boldsymbol{x}^H
\boldsymbol{x} \\ \Rightarrow \lambda \boldsymbol{x}^H
\boldsymbol{x}=\overline{\lambda} \boldsymbol{x}^H
\boldsymbol{x}
\tag{3} 从公式（3）可知，因为\boldsymbol{x}不是零向量，所以要使公式（3）中的等式左右两边成立，则必有：\lambda = \overline{\lambda} \tag{4} 也就是说 \lambda 是实数。（2）属于不同特征值的特征向量正交假设厄米特矩阵 A 两个不同特征值分别为 \lambda_1 和 \lambda_2 （ \lambda_1 \ne \lambda_2 ），对应的特征向量分别为 \boldsymbol{x} 和 \boldsymbol{y} ，即：A \boldsymbol{x} = \lambda_1 \boldsymbol{x} \\ A \boldsymbol{y} = \lambda_2 \boldsymbol{y} \\ \tag{5} 将公式（5）中的第二个式子两边同时取共轭转置，可得：\boldsymbol{y}^H A^H = \lambda_2 \boldsymbol{y}^H \tag{6} 注意： \lambda_1 和 \lambda_2 都是实数，取共轭转置后不变。公式（6）两边再同时乘以 \boldsymbol{x} ，可得：\boldsymbol{y}^H A^H \boldsymbol{x} = \lambda_2 \boldsymbol{y}^H
\boldsymbol{x} \\ \Rightarrow
\boldsymbol{y}^H A \boldsymbol{x} = \lambda_2 \boldsymbol{y}^H
\boldsymbol{x} \\ \Rightarrow
\boldsymbol{y}^H \lambda_1 \boldsymbol{x} = \lambda_2 \boldsymbol{y}^H
\boldsymbol{x} \\ \Rightarrow
\lambda_1 \boldsymbol{y}^H
\boldsymbol{x} = \lambda_2 \boldsymbol{y}^H
\boldsymbol{x} \\
\tag{7} 因为\lambda_1 \ne \lambda_2，所以要使公式（7）成立，必有： \boldsymbol{y}^H
\boldsymbol{x} =
0
\tag{8} 也就是 \boldsymbol{x} 和 \boldsymbol{y} 正交。证毕！
根据特征值的定义，对于矩阵 A=(a_{ij})_{n\times n} ,若存在向量 e .使得 Ae=\lambda e\\ 那么 e 是 A 的特征向量，\lambda 是 A 的特征值.所以我们知道要求特征值，只需要解方程
\left( A-\lambda E \right) x=0\\ 由于 x 要求是非零向量，所以 \text{det}(A-\lambda E)=0 即
\left
\begin{matrix}
a_{11}-\lambda&
a_{12}&
\cdots&
a_{1n}\\
a_{21}&
a_{22}-\lambda&
\cdots&
a_{2n}\\
\cdots&
\cdots&
&
\cdots\\
a_{n1}&
a_{n2}&
\cdots&
a_{nn}-\lambda\\ \end{matrix} \right|=0 \\ \Rightarrow \lambda ^n-\left( a_{11}+a_{22}+....a_{nn} \right) \lambda ^{n-1}+.....+\det \left( A \right) =0\\ 根据韦达定理，矩阵中迹是特征值之和

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