求数列的下极限点与聚点的区别（最小聚点）

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-29 13:00 标签： 极限点与聚点的区别
下面是陶哲轩实分析对上下极限的比喻，真的是棒极了补充说明：假定存在数列 \{a_n\} ，令 b_k 表示 \{a_n\} 去掉前k项后的子列的上确界，定义 \{a_n\} 的上极限为序列 \{b_0,b_1,b_2,\dots \} 的下确界。我们可以将数列a_n做图如下，并进行分析上面的红色箭头表示数列a_n删掉前k项的子列的上确界。直观来看1、由于子集上确界不增，下确界不减，故而删掉的项数越多，红色箭头只可能保持不动或向左移动；2、由于红色箭头表示上确界，因此红色箭头左侧(含红色箭头位置)有a_n的无穷项。请注意，我们的数列a_n的每一项均为有限实数，据此初始时可分为3个情况，1、数列a_n的上确界为+\infty。考虑a_n=n。2、数列a_n的上确界为-\infty。这种情况并不合理，因为数列a_n的每一项均为有限实数。3、数列a_n的上确界为某个有限实数c。对于情况1，1)、数列a_n的上确界为+\infty，说明a_n必然是无上界的数列，则a_n的 任意删掉前k有限项的子列必然是无上界的数列，则上确界均为+\infty；2)、故而数列a_n的上极限为+\infty 。对于情况3，1)、数列a_n的上确界为某个实数c，说明a_n是有上界的数列，则a_n的所有删掉前k有限项的子列必然是有上界的数列，则上确界均为某个有限实数；2)、由于子集上确界不增，下确界不减，因此a_n的所有删掉前k有限项的子列的上确界构成的序列是单调减的，由此可分为2个情况，单调趋于-\infty和单调趋于某个实数c，前者说明a_n的上极限为-\infty，典型例子为a_n=-n，后者说明a_n的上极限为某个实数c，典型例子为a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}，它的上极限为1(显然a_n可以写为0,1+\frac{1}{2},-1+\frac{1}{3},\dots，故而去掉前k项的上确界构成的序列为1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{2},1+\frac{1}{4},,1+\frac{1}{4}\dots，其下确界为1)。陶哲轩的活塞比喻对应的就是上面提到的，去掉前k项的子列上确界们 构成的 单调递减序列(注意不一定是严格单调递减哦)。设\{x_n\}是一个数列，记 \alpha_k=\inf\limits_{n\geq k}x_n, \beta_k=\sup\limits_{n\geq k}x_n 则可以知道 \{\alpha_n\} 单调递增， \{\beta_n\} 单调递减，现分以下几种情况来讨论：(1)如果 \{x_n\} 有下界，则由单调有界收敛原理知 \{\alpha_n\} 收敛或发散于 +∞ ，我们把\lim\limits_{k\rightarrow\infty} a_k
记作 \mathop{\lim\inf}\limits_{n\rightarrow\infty}{x_n} 或 \begin{align}\varliminf_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align} 并称之为\{x_n\}的下极限(inferior limit).(2)若\{x_n\}有上界，则由单调有界收敛原理可以知道\{\beta_n\}收敛或发散于 -∞ .我们把 \lim\limits_{k→∞}\beta_k 记作 \mathop{\lim\sup}\limits_{n\rightarrow\infty}{x_n} 或 \begin{align}\varlimsup_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align} ，并称之为 \{x_n\} 的上极限(superior limit).如果\{x_n\}没有下界，则 a_k=-∞\ \ (\forall k≥1) ，此时我们记 \begin{align}\varliminf_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}=\mathop{\lim\inf}\limits_{n\rightarrow\infty}{x_n}=-\infty如果 \{x_n\} 无上界，则 \beta _k=+∞\ \ (\forall k≥1) ，此时我们记 \begin{align}\varlimsup_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}=\mathop{\lim\sup}\limits_{n\rightarrow\infty}{x_n}=+\infty上极限判定的充要条件：设\left\{
x_{n}\right \}\subset \mathbb{R}，则a=\varlimsup_{n \to \infty} x_n的充要条件是：\exists子列\left\{
x_{n_{k}}\right \}，使得\varlimsup_{n \to \infty} x_{n_{k}}=a;对于任意有广义极限的子列\left\{
x_{l_{k}}\right \}，有\varlimsup_{j \to \infty} x_{l_{j}}=a^{'} \leq a.简单来说，上极限是所有单调收敛子列极限的最大值.下极限判定的充要条件：设\left\{
x_{n}\right \}\subset \mathbb{R}，则b=\varlimsup_{n \to \infty} x_n的充要条件是：\exists子列\left\{
x_{n_{k}}\right \}，使得\varliminf_{n \to \infty} x_{n_k}=b;对于任意有广义极限的子列\left\{
x_{l_{k}}\right \}，有\varliminf_{j \to \infty} x_{l_{j}}=b^{'} \geq b.简单来说，下极限是所有单调收敛子列极限的最小值.\mathbf{\color{red}{在此，必须区分一下数列的上下极限、上下确界以及上下确界数列}}下图直观地说明了三者的关系红线（其实不是一条线，是许多红色的点，因为太密了就像一条线了，在第一次下降的地方可以看出来，而且红点与对应的蓝点横坐标相等）是上下确界数列，上下确界数列是一个数列；黑色虚线是数列的上下极限，对于某一确定数列，上下极限分别是一个确定不变的数字；当它们相等的时候假设是 x ，数列就是收敛的，极限就是 x . 当它们不相等的时候，在任意一点之后都有某一项的值达到这两条线的值.而上下确界是数列的最值(这么说不太准确，最值和上下确界是有区别的，最值不一定能取到，上下确界在最值取不到的时候是其极限值)，在图片中就是第一次波峰值、波谷值，对于某一确定数列，上下极限也是一个确定不变的数字.区别：数列的上下极限是从数列无穷远项这一层面定义的一个概念，与有限项无关，也就是说列举是不可能找到数列上下极限的；而上下确界是从数列整体这一层面定义的一个概念，可能在有限远处，这是能知道第几项取到，也有可能在无限远处.联系：有界数列去掉前有限项后(具体多少项，跟特定的数列有关)，上下确界跟上下极限一致.举例：设 x^n=(-1)^n .因为 x^{2n}=1,\ \ x^{2n-1}=-1 ，所以对任意的正整数 k 均有 \alpha_k=-1,\ \ \beta_k=1 .因此 \begin{align}\varliminf_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}=-1 ， \begin{align}\varlimsup_{n\rightarrow \infty}{x_n}\end{align}=1.

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