家人们第六题我根本做不出来，有友友能为我解惑吗？所属范畴为大一数学分析求极限的证明题太难了问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-10 06:15 标签： 大学高数两个重要极限
思维导图软件——xmind求极限的八种方法1.利用有理运算法则求极限若lim f(x)=A,lim g(x)=B,那么：1）lim[f(x)±gx]=limf(x)±lim g(x)=A±B2）lim[f(x)·g(x)]=lim f(x)·lim g(x)=AB3）lim[f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)=A/B两个极限都存在则加减乘除也都存在推论：存在+不存在=不存在
存在-不存在=不存在
不存在+不存在=不一定
不存在-不存在=不一定函数有理运算法则2.利用基本极限求极限常用基本极限常用基本极限3.利用等价无穷小等价无穷小注意：等价代换乘除无条件换，加减在一定条件下（无穷小同量级）可以换4.利用洛必达法则求极限可以求七种类型的不定式的极限， \frac{0}{0}，\frac{\infty}{\infty}，0·{\infty}，{\infty}-{\infty}，1^{\infty}，{\infty}^{0}，0^{0} 注意：后面三种可以化为第三种，采用取指数的方式5.利用泰勒公式求极限重要极限的泰勒公式泰勒公式求极限的准则：写到子项相减不为0，分母和分子的次数可以约掉 例如：\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\frac{x^{2}}{2}+1-\sqrt{1+x^{2}}}{(cosx-e^{x^{2}})sin^{2}x}} 6.利用夹逼准则右边化为最大的分母，右边化为最小的分母注意：夹逼准则左右极限都应该相等，不相等时，看是否能使用定积分定义求极限7.利用定积分的定义求极限顾名思义，要利用定积分的极限。无穷项的和先提”可爱因子“ \frac{1}{n} ，然后确定被积函数和积分区间例如：求极限 \lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+···+\frac{1}{n+n})} 解答过程8.利用单调有界准则求极限两步走：第一步：证明极限存在（难点）第二步：求极限常见函数极限的做题方法1. \frac{0}{0} 型极限常用的方法有1）洛必达2）等价无穷小3）泰勒公式2. \frac{\infty}{\infty} 型极限常用的方法有1）洛必达2）分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大3. \infty-\infty 型极限常用的方法有1）通分化为 \frac{0}{0} （适用于分式差）2）根式有理化（适用于根式差）注：有时候根次较高使用 (1+x)^\alpha -1\sim \alpha x 3）提无穷因子，然后等价代换或变量代换，泰勒公式4. 0·\infty 型极限常用方法是化为 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty} 注：常常处理无穷小，利用等价无穷小的等价代换使得题目更简单5.重点： 1^\infty 型极限1）凑基本极限2）改写成指数3）利用结论三部曲做题（要熟练）·写成标准形式
\lim[1+\alpha(x)]^{\beta(x)} ·求极限
\lim\alpha(x)\beta(x)=A ·写结果
e^A 6. \infty^{0}，0^0 型极限常用方法\lim[f(x)]^{g(x)}=\lim e^{g(x)\ln f(x)}
常见数列极限的做题方法1.不定式的极限注：用洛必达，但是不能直接使用洛必达，应该先把它变为函数，即用x代替n”大题里面如果直接n用洛必达，则会丢一半的分“2.n项和的数列极限1）夹逼定理2）定积分定义（提“可爱因子”）3）级数求和（前面两个不符合时，用此方法）注：但是拿到具体题目时，如何判断是使用夹逼或者定积分定义若变化部分是主体的次量级，用夹逼若变化与主体是同量级，用定积分定义重要结论： \lim \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+···a_{m}^{n}}=\max a_i,1\leq i\leq m 可以秒杀，例如 \lim\sqrt[n]{1+2^n+3^n}=3
, \lim (a^{-n}+b^{-n})^{\frac {1}{n}}(0<a<b)=\frac{1}{a} 3.n项连乘的数列极限常用方法1）夹逼2）取对数化为n项和4.递推关系（难点）一般都是大题的求极限，难分值大常用的两种方法1）证明数列单调有界，然后令 \lim x_n=A ,根据等式可以求出来A的值。一般适合{ x_n }具有单调性的情况，也是最常用的方法。2）如果{ x_n }不具有单调性，令 \lim x_n=A ，然后根据f(x)求出A，最后证明极限等于A。一般常用
x_n-a
。注意的是在求数列是否单调性常见有三种方法①后一项减前一项（简单但是做题基本没用到）②后一项比前一项③重点：数列 x_{1}=a ， x_{n+1}=f(x_{n}) 如果f(x)单增，则若 x_{1}\leq x_{2} ，则{ x_{n} }单增，当 x_{1}\geq x_{2} ，则{ x_{n} }单减如果f(x)单减，则{ x_{n} }不单调确定极限中的参数本题一般都是正常求极限，然后根据极限的关系，求出参数。注意这种题是选择题的话，就可以直接代入选项的数字，加快做题速度。无穷小量阶的比较奇技:对于 F(x) =\int_{0}^{\varphi（x）}f(t)dt 判断阶数，假如 \varphi(x) 的阶数为n，f(t)的阶数为m，则F(x)的阶数为n(m+1)例如： \int_{0}^{1-cosx}\sin t^2dt ,n=2.m=2,所以阶数为2（2+1）=6（6阶）

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