有一个不是群的6阶群必有3阶元子群，怎么办？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2024-01-06 06:45 标签： 6阶群必有3阶元
题1： 设H，K是群G的正规子群，证明： \\(1)HK=KH \\(2)HK是G的正规子群 \\(3)若H\cap K=\{e\}，那么HK/H与K同构 证明： 先证明(2)，仅需注意到gHKg^{-1}=gHg^{-1}gKg^{-1}=HK，\forall g\in G,故HK是G的正规子群，故HK=KH(HK是G的子群)，(3)由同态基本定理即得. 题2：写出阶数720的Abel群在同构意义下的分类。解： 由有限Abel群结构定理可得8个同构类。 题3： p为素数，G是阶为p^2的群，我们将证明G同构于\mathbb{Z}_{p^2}或\mathbb{Z}_p\oplus \mathbb{Z}_p \\(1)假设G不是Abel群，证明G有一个阶为p的正规子群H. \\(2)假设G是Abel群，证明G也有一个阶为p的正规子群H. \\(3)设a是群H的生成元，b是G中元素满足在自然同态\pi:G\to G/H映射下，\pi(b)是G/H的生成元，证明:\exists k\in N^+ ,s.t.b^p=a^k. \\(4)若k\equiv 0(modp)，证明G\cong \mathbb{Z}_p\oplus \mathbb{Z}_p；否则，G\cong \mathbb{Z}_{p^2}.
证明： (1)取e\neq g\in G,则由Lagrange定理知<a>为p阶子群，正规性可考虑G在p阶子群集合上的共轭作用，或由Sylow定理得 \\(2)若G是p^2阶循环群，则取e\neq g\in G,<g^2>为p阶正规子群，否则同(1) \\(3)G/H的阶为p，故(bH)^p=b^pH=e，即\exists a\in H,s.t.b^p=a^k \\(4)若k\equiv 0(mod p)，则b^p=a^k=e，G=<a,b>=<a><b>\cong \mathbb{Z}_p\oplus \mathbb{Z}_p，反之，则b^p=a^k是H的生成元，进而是G的生成元，故G是循环群，G\cong \mathbb{Z}_{p^2}. 题4：证明阶为 p^2q 的群必可解，其中 p,q 是不同的素数。证明： ①若p=q，容易知道p群是可解群。 \\②若p>q，则群G有唯一正规的p^2阶Sylow子群，其可解，其导出的商群为q阶循环群，亦是可解群，故G是可解群。 \\③若p<q，若群G有唯一正规的q阶子群，同②理知G可解，若群G有p^2个q阶子群，则剩余元素同1_G一起构成G的唯一的p^2阶Sylow子群，仍同②理知G可解。 注：①若G为B过A的扩张，则G可解当且仅当A，B可解。②实际上，p群为幂零群，幂零群过幂零群的中心扩张仍是幂零群，自然是可解群。题5：证明不存在阶为148的单群。证明： 148=2^2\cdot37，p^2q阶群不是单群(由Sylow定理可得有唯一37阶正规子群).

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