证明f(x)=x设fx是cosx的一个原函数在(-∞，+∞)上无界，且当x→∞。时，f(x)不是无穷大量．

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-23 02:48 标签： 设fx是cosx的一个原函数
%PDF-1.6
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753 0 obj
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769 0 obj
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.
二、填空题（本大题有4小题，每题4分，共16分）
1.
2.
2
lim(13x)sinx
x0.
已知cosx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosxdx
xx
.
lim
(cos2
cos22
cos2
n
1
)
3.
n
n
n
n
n
.
1
2x2arcsinx
1
1
x2
dx
4.
－1
.
2
三、解答题（本大题有
5小题，每题
8分，共
40分）
5.
设函数y
y(x)由方程exy
sin(xy)
1确定，求y(x)以及y(0).
x7
求x(1x7)dx.
xex，
x
0
1
设f(x)
求f(x)dx．
7.
2x
x2，0
x1
3
1
g(x)
f(xt)dt
limf(x)
A
8.设函数f(x)连续，
0
，且x0x
，A为常数.求
g(x)并议论g(x)在x
0处的连续性.
1
9.
求微分方程xy
2y
xlnx知足
y(1)
9的解.
四、解答题（本大题
10分）
10.已知上半平面内一曲线yy(x)(x
0)，过点(01,)，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与
x轴、y轴、直线xx0所围成面积
的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
11.
过坐标原点作曲线
ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面
图形D.
(1)求D的面积A；(2)
求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题（本大题有
2小题，每题4分，共8分）
12.设函数f(x)在
0,1上连续且单一递减，证明对随意的q
[0,1]，
q
1
f(x)dxqf(x)dx
0
0
.
;..
.
13.
f(x)
0,
f(x)dx
0f(x)cosxdx0
设函数
在
上连续，且
0
0
.
，
证明：在0,
内起码存在两个不同的点1,
2，使f(1)
f(2)0.（提
x
F(x)f(x)dx
示：设0）
二、填空题（本大题有4小题，每题4分，共16分）
5.e
6
1(cosx)2
c
.6.2
x
.7.2.8.3.
三、解答题（本大题有
5小题，每题8分，共40分）
解：方程两边求导
exy(1y
)
coxys(
xy)(y
)
y(x)
ex
y
ycos(xy)
ex
y
xcos(xy)
x
0,y
0，y(0)
1
10.解：u
x7
7x6dx
du
原式
1
(1
u)
du
1
1
2
7
u(1
u)
(
u
u
)du
7
1
1(ln|u
2ln|u
1|)
c
7
1ln|x7
2ln|1x7|C
7
7
1
f(x)dx
0
xexdx
1
2xx2dx
11.解：
3
3
0
0
ex)
1
1
(x
1)2dx
xd(
0
3
xex
e
x
0
0
cos2
d(令x
1sin)
3
2
4
2e3
1
12.解：由f(0)
0，知g(0)
0。
x
1
xt
u
f(u)du
g(x)
f(xt)dt
0
x
(x
0)
0
x
xf(x)
f(u)du
g(x)
0
(x
0)
x2
;..
.
x
f(u)du
limf(x)
A
g(0)lim0
x2
x
0
x
0
2x
2
x
xf(x)
f(u)du
A
A
limg(x)
lim
0
x
2
A
2，g(x)在x
0
处连续。
x0
x
0
2
dy
2
y
lnx
13.解：dx
x
2
2
ye
dx
dx
lnxdx
C)
x(
ex
1
xlnx
1
x
Cx2
3
9
y(1)
1C,
0y
1xlnx
1x
9
，
3
9
四、解答题（本大题
10分）
y
2
x
y
14.解：由已知且
0
ydx
，
将此方程对于x求导得y
2y
y
特点方程：r2
r
2
0
解出特点根：r1
1,
r2
2.
其通解为
y
C1ex
C2e2x
C1
2
C2
1
代入初始条件y(0)
y
(0)
1，得
,
3
3
故所求曲线方程为：
y
2
ex
1
e2x
3
3
五、解答题（本大题
10分）
y
lnx0
1(xx0)
15.解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：
x0
y
1
由于切线过原点，解出x0
e，进而切线方程为：
x
e
1
1e
A
(ey
ey)dy
1
则平面图形面积
0
2
（）三角形绕直线
一周所得圆锥体体积记为
1，则V1
1
2
x=e
3
e
2
V
曲线ylnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2
1
V2(eey)2dy
0
VV1V2
(5e2
12e3)
D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积
6
;..
.
六、证明题（本大题有2小题，每题4分，共12分）
q1qq1
f(x)dx
qf(x)dx
f(x)dx
q(
f

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