我们经常可以看到这样的问题： \frac{1}{x} 的不定积分到底是什么？要不要加C，要加几个C？还有这样的问题：为什么我不定积分计算出来的东西和答案不一样，但是求导确实是原来的函数？这样的问题来来回回问，也许永远没有结果。所以我决定写一个从围道积分角度看不定积分的文章，可能解决不了任何问题，但是至少可以让陷入不定积分泥潭的同学们看到一点希望。本人水平有限，很多地方是臆测的不严谨的胡言乱语。为简单起见本文讨论的函数最多是半纯函数，讨论的围道都是 Jordan 曲线听说加图片有人看一、基本初等函数和初等全纯函数出现“不定积分结果与答案不一样”的问题基本上都是反三角函数公式不熟练造成的，在高数里面我们学习的是魏尔斯特拉斯钦定的五个基本初等函数，平常看见的初等函数都是这些函数加减乘除复合而成的，它们是：幂函数 x^a 指数函数 e^{x} 对数函数 \ln x 三角函数 \sin x \ \cos x 反三角函数 \arcsin x \ \arccos x 在复变函数里面，因为欧拉公式连接了指数和三角，所以4、5可以划归到2、3里面去，而幂函数其实本来就是指数函数和对数函数复合的结果( x^a=e^{a\ln x} )，所以最基本的其实就是指数函数和对数函数。三角函数完全可以用指数函数替代，即\displaystyle \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} 这个已经被说烂了。对数函数稍微复杂一点，我们用 \ln x 表示原来实变的对数函数，它的定义域就是正数，用 \text{Ln} z 表示复变里面的对数函数，它的定义域就拓宽到复数了，有如下计算方式：\displaystyle \text{Ln}z=\ln|z|+iArg(z) \text{Ln} z 是多值函数，其多值性表现在 Arg(z)=arg(z)+2k\pi 上面，其实基本函数里面也就对数函数一个是多值函数，有人会说根号啊什么的，其实前面说了，幂函数本身是由对数函数复合而成的，所以其反映的还是对数函数的多值性。反三角函数就有趣了，其实我懂作为大学生，大家对函数的概念其实也就停留在高中，对反三角函数有种莫名的陌生与恐惧，比如说下面的一个简单的公式，你能主动想到吗：\displaystyle \arctan x+\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} 但是在复变里面反三角直接没有了，用对数函数代替了：\displaystyle \text{Arcsin}z = -i\text{Ln}(iz+\sqrt{1-z^2})\\ \text{Arccos}z = -i\text{Ln}(z+i\sqrt{1-z^2})\\ \text{Arctan}z = \frac{1}{2i}\text{Ln}(\frac{i-z}{i+z}) 有了这个式子，上面那些公式都可以转化为对数函数计算了，比如\displaystyle \arctan z+\arctan \frac{1}{z} = \frac{1}{2i} \text{Ln} \left(\frac{(i-z)(i-1/z)}{(i+z)(i+1/z)}\right)=\frac{1}{2i}\text{Ln}(-1) 当然可能有一点限制，大家想想限制是什么。上面的式子需要我们代入-1的值，这里取其幅角为 \pi \displaystyle \frac{1}{2i}\text{Ln}(-1)=\frac{1}{2i}(\ln|-1|+i\pi)=\frac{\pi}{2} 这就直接算出上面的公式了。同样的，在计算积分之后就全部化成对数函数就行了，不会存在任何其他形式，举一个最简单的例子有人问： \displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x 算出来究竟是啥？我们看看\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x=\arctan x+C 是毋庸置疑的\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\text{d}x = \frac{1}{2i}\int \frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i}\text{d}x=\frac{1}{2i}\text{Ln}\left(\frac{x-i}{x+i}\right)+C 跟上面就差一个负号，自动跑到C里面去了，其他的积分情况也是一样，本质上都是对数函数，根本没有反三角什么事情。(当然，在最后求结果的时候需要考虑复数的幅角，找一个单值的全纯分支，但是不定积分的时候情况就很麻烦，这里先不取分支化简了)有人会说：“又吸收到C里面去了，C就跟个垃圾堆一样，我怎么知道什么常数应该往里面塞？”所以我接下来提供一种从围道积分角度看不定积分C的看法，具体而言就是围道起始的点和围道本身决定了这个C\displaystyle \int f(x)\text{d}x=F(x)+C \sim \int_C f(z) \text{d}z 二、不定积分与变上限积分我们首先想一下不定积分到底在什么地方用到了。仔细想想，我只能想到两个地方：牛顿莱布尼茨公式与分部积分法。然而后者最后还得代值算牛莱，所以其实也就只有一种情况。如果有人说“考试时候会考不定积分”，认为考不定积分是不定积分的应用，那我只能说句说的道理了(。回到正题，不定积分的用处是代入牛莱计算，那我不如直接用变上限积分来替代不定积分不就行了？如下：\displaystyle \int f(x) \text{d}x \to \int_a^x f(z)\text{d}z 不论是从牛顿-莱布尼茨的角度还是从分部积分的角度来看，变上限积分都能完全胜任，以我的经验来说，从应用上面来讲，变上限积分完全可以替代不定积分。这看起来差别不大，但是背后的思想是完全不同的不定积分出来的结果是一个函数族，我们对积出来的函数变量所知甚少，有没有定义都不知道，而且这积出来的函数前不见古人后不见来者，想把握它都把握不了(不定积分的定义也有些奇怪，原函数、反导数，似乎就是一笔带过，并没有像极限、求导、定积分之类的有 \varepsilon - \delta 套餐)。最让人感到不适的是这个似乎是一个从一个函数到多个函数映射，也就是多函数算子，这跟我们前面的Ln函数很像。多值的情况我们是很不好处理的，而不定积分似乎也没有给出一个很好的办法确定映射出来的函数的“支”，就比较无语变上限积分就不一样了。首先，它是定积分，有充足的定义和性质，我们可以把积出来的东西看成一个确定的函数，又或者看成(固定了x以后的)一个确定的数，这是因为我们将积分变量和积分出来函数的变量分开了，后者去到了积分号上面，这就让我们对整个积分的意义有了理解，这就是块变的面积，结果是唯一的，而不是像不定积分一样像是一个虚无缥缈的幽灵。综上，变上限积分总是比不定积分好，有充足的定义和意义，有唯一的答案，能兼容不定积分所有的性质与运算，在牛莱公式和分部积分里面可以完全取代不定积分。但是有人会问这样一个问题“那你的常数a究竟应该取啥呢？”，我们觉得，这里的常数a的地位似乎与不定积分里面的C是一样的，我们可以随意取积分的起点，每取一个固定的起点，就得到了一个确定的有意义的原函数，让这个起点动起来，我们就得到了一族原函数，这让我们至少知道两点：这里的“C”究竟是什么意思(函数的“根”在哪里)，整个积分的过程(或路径)是什么样的(函数的“茎”是什么样的)。但是这里有一个巨大的破绽：a的取值并不是完全任意的，其受x的限制。比如，我现在就想用变上限积分表示 \frac{1}{x} ，那我能选择 a=-1 吗？\displaystyle \int \frac{1}{x} \text{d}x \to \int_{-1}^x f(z)\text{d}z
\ \ \ ???? 如下图所示这明显是不行的，因为当 x >0 的时候我们会遇到0这个奇点，有人用打补丁的办法抢救不定积分：\displaystyle \int \frac{1}{x} \text{d}x =\ln x+C_1 (x>0) \displaystyle =\ln (-x)+C_2 (x<0) 那是不是意味着我们需要根据x的正负选取a呢？如果是那样，那 \tan x 的积分怎么办，到处都是奇点，你怎么选呢？幸运的是，在复变函数里面情况会有巨大的变化。三、不定积分与围道积分上面我们说，变上限好是好，就是奇点会阻碍我们选择合适的下限。但是如果路上有一个坑，你会直走往里跳吗？绕过去不就完事了复变函数的积分是围道积分，就是选取一条路径C，让要积分的函数在这条线上面走，我们讨论半纯函数，所以两点间总有一条线上面是没有奇点的。如图所示，我们直接走0不通，可以选择复变飞升，从上面走，其实选择线的差别并不是很大，因为大家知道根据柯西积分公式，只要这个围道不要绕着奇点转圈，也就是缠绕数为0，那么两点之间的积分是与路径无关的。意思就是说，现在我们可以在整个复平面上面任意选择a，我们叫它P吧，从P随便画一个不经过0的围道跑到x，那么这个围道积分也就对应原本的不定积分，也就是说\displaystyle \int \frac{1}{x} \text{d}x \sim \int_{C:P\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\text{Ln}(x)-\text{Ln}(P) 后面那个P我们先不去管，然后因为x在实轴上，我们取其幅角为0(正实轴)或者 \pi (负实轴)，那么就有\displaystyle \int \frac{1}{x} \text{d}x \sim \int_{C:P\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\ln|x|+i\text{arg}(x)-\text{Ln}(P) 这个结果与不定积分的结果是一样的，而且不需要分段，什么 C_1,C_2 的，都是没有啥意义的，从本质上来说所谓的积分常数就是选取的围道不同而已(所谓围道不同，意思是起点不同+路径不同)，我们简单的取P=1，那么结果是\displaystyle \int_{C:1\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\ln|x|+i\text{arg}(x) 如果取P=-1，那么结果是\displaystyle \int_{C:-1\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\ln|x|-i\pi+i\text{arg}(x) 所以说我们甚至有\displaystyle \int_{C:-1\to 1} \frac{\text{d}z}{z}=-i\pi 所以说一个简单的 \displaystyle \int_{C:P\to x} \frac{\text{d}z}{z}=\text{Ln}(x)-\text{Ln}(P) 就可以完全概括所有的不定积分分段结果(取绝对值？只是取复数的模而已，很奇怪吗？)围道积分是变上限积分的升级版，我觉得它做的比不定积分本身还好，所以我们可以说，所谓的不定积分实际上就是变围道积分，这里的不定常数C其实就是依赖围道的选取而已，大家说的“局域常数”也没有什么问题，但是我觉得用变围道的角度看会更容易理解一些。那么说了这么多，有啥实际用处吗？其实并没有太大的实际用处，只是提供了一个新的角度而已。复变函数远比这里说的复杂，至少有两个重要的东西：留数和分支，在这里并没有太关注，大家看一乐就好。最后说几句实在话：纠结不定积分不如去看裴礼文，有时间纠结不如往后学，有奇点堵着不如绕过去，说不定多绕几圈又会出来一个新的世界。