如何用初等数学证明矩阵的2范数怎么求例子一个范数公式？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-16 12:03 标签： 矩阵的2范数怎么求例子
本章内容是后面几章的基础，还是相当重要的，是历年考题的选择判断题的主打部分。2.1 向量范数首先会证明向量范数，就是证明正定性（
X
大于等于0，当且为0时取等）、齐次性（数值 \lambda 可以提到模外面）、三角不等式（两数相加的模小于等于两数的模相加）通常2范数的证明，会用到柯西施瓦兹不等式，这在之后的矩阵范数证明中又会用到，而它最早是出现在第一章的内积空间中，你还有印象么（手动滑稽）向量范数：1-范数、2-范数、无穷范数是常见的，分别是全部求和、平方项全部相加再开根号、选最大的元素2.2 矩阵范数关于矩阵范数，它是向量范数的推广，矩阵1-范数就是对所有元素求和，矩阵2-范数就是对所有元素的平方项求和在开根号，矩阵无穷范数就是找出最大的元素项同时引入相容范数的概念
AB
\leq
A
\cdot
B
简单说下，相容性相容性是对于诱导范数性质的推广或者说弱化，引进的主要目的还是为了方便不等式的缩放，给出简单的误差上界，或者说就是为了对变量进行一定程度的分离。因为最理想化的性质
AB
=
A
B
一般不成立，所以只能退而求其次。注意三角不等式
A+B
<=
A
+
B
又叫次可加性，而相容性
AB
<=
A
B
又叫次可乘性，两种性质的技术用途大同小异。最后说下（详见上图打钩处），矩阵2-范数又叫Frobenius范数，F-范数；通常表示：定义法（证明相容性时用）、特征值法（证明
A|_{a} 算子范数的大小会用上），用tr（ \bullet ）表示（利用酉不变性）酉不变性，在后面第三章的SVD分解中会用到，简单说就是引入酉矩阵后不影响范数的长度（下图）Hermite矩阵可以相似化对角阵，正规阵（第三章会说）可以相似化三角矩阵。2.3算子范数算子范数的定义很好理解：由于
AX
=
\lambda X
=\lambda
X
，所以
A
_{a}=max
\lambda ，算子范数的意义：（1）给出了由向量范数构造矩阵范数的一种具体方法；（2）是所有与向量范数
x
_{a} 相容的最小矩阵范数其中最常用的是谱范数，又叫算子2-范数。
A|_{2} 是取A的最大奇异值（ max(\sigma_{i}) ）。注意特征值和奇异值还是有不少区别的：（1）首先特征值只有方阵才有，奇异值只要是个矩阵就有。（2）矩阵的奇异值与特征值有什么相似之处与区别之处？同时谱范数和谱半径还是有区别的，只是有可能在某些情况下数值相等而已。
A
_{2}=\sqrt{\rho(AA^{H}}) 。
A
_{m2}=
A
_{F}=(\sum_{i=1}^{r}{\sigma^{2}_{i}})^{\frac{1}{2}} 特别注意下，以上基本概念 在相容矩阵中，谱半径不大于任何一种矩阵范数，这个在选择题中非常好用。然后就是算子1-范数，又叫极大列和，算子-无穷范数又叫极大行和。还是非常好记吧！！最后，证明矩阵范数与向量范数相容，核心就是利用模和绝对值不等值的放缩（后面例题会具体解释下）2.4 向量与矩阵范数的应用说一个重要的思想，利用模来判断矩阵的可逆构造Ax=0的形式，证明没非零解。习题：1.证明矩阵范数和向量与范数的相容分别使用绝对值不等式、以及G范数的定义放缩；使用了柯西施瓦兹不等式2.利用F范数的定义进行放缩。构造的思想，为了构造出类似于矩阵范数定义的形式，采用乘上E，展开成逆。还有些是加减一个数，来进行构造。其他：本题错误，因为矩阵无穷范数是不相容矩阵范，举出反例。小结向量范数和矩阵范数的大小比较：
x|_{\infty} \leq
x|_{2} \leq
x
_{1}
x|_{2} \leq
x|_{1} \leq \sqrt{n}
x
_{2}
A|_{2} \leq
A
_{\infty}=
A
_{1} \leq n
A
_{2} 利用定义和不等式放缩还是很容易证明的，在此略去。针对矩阵理论怎么学习，本文以考试和应用为导向，侧重概念的理解和套路的总结。由于本人水平有限，有些解释不到位或者有纰漏的地方，还望指出。同时，字写的不好，还请见谅。最后，由于不同学校不同老师出题风格和难度不同，该专栏只能帮助初学者在短时间内，更好的理解课本内容。最后的落脚还是要以书本和PPT为主。对于想取得高分的同学，务必熟悉书上的定义和主要定理的证明。还觉得满意话，请给一个赞~

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